Help me : tan(x) = x

Kyan · 30/10/2005, 11h59

j'ai un problème je ne comprend pas celà

n entier naturel
tan(x) = x
unique solution sur ]pi/2+npi; pi / 2 + (n+1) pi

on notera xn cette solution
monterr que (Xn ) est une suite croissante tenvdant vers + infini

**shokin** · 30/10/2005, 13h14

Et si tu étudiais la fonction f(x)=tan(x)

Shokin

Kyan · 30/10/2005, 13h16

ba le blem c que je suis un vrai quiche en math donc je comprend vraiment rien :s

**shokin** · 30/10/2005, 13h37

Soit la fonction f(x)=tan(x)

f(x) = tan(x)
f'(x) = 1 + tan(x)^2 = 1/[cos(x)^2]

Soit la fonction g(x)=x

g(x)=x
g'(x)=1

Quand f'(x)=g'(x) ?
1 + tan(x)^2 =1
tan(x)^2 = 0
tan(x) = 0
x=0+kpi (avec k entier)

Pour tout x différent de 0 et compris dans [-pi/2 ; pi/2], tan(x)^2 >0 donc f'(x) > g'(x). Donc sur cet intervalle, il existe un et un seul point d'intersection entre f et g, et celui-ci est (0;0).

NB : raisonnement à peu près similaire dans les autres intervalles, mais le point d'intersection est différent.

Tu peux représenter, dessiner, graphiquement f(x) et g(x) pour t'aider.

Shokin

MagAxX · 30/10/2005, 16h29

En appliquant le même raisonnement à l'équation :

tan(x)=2x ....

on trouve pour f'(x)=g'(x)

1+tan²(x)=2
tan²(x)=1
tan(x)=1 ...... donc x=0.7853981634

Or, on voit graphiquement que le résultat se situe autour de 1.16 ..... Comment faire

Bloud · 30/10/2005, 17h51

Citation:

Posté par MagAxX

En appliquant le même raisonnement à l'équation :

tan(x)=2x ....

on trouve pour f'(x)=g'(x)

1+tan²(x)=2
tan²(x)=1
tan(x)=1 ...... donc x=0.7853981634

Or, on voit graphiquement que le résultat se situe autour de 1.16 ..... Comment faire

Le x que tu trouves est solution de l'équation qui établit l'égalité entre les nombres dérivés mais pas entre les réels f(x) et g(x). En effet, f'(x)=g'(x) n'implique pas f(x)=g(x). C'est pour cela que tu ne trouves pas le même x. Conclusion : le x qui est bon est celui que tu "vois" sur ton graphique.

Daniel75 · 30/10/2005, 23h04

Bonsoir ,

N'importe quoi !

Si tan(x) = 1 , cela signifie tout simplement que : x = 45° , x , étant l'angle formé par l'abscisse représentant l'axe des cosinus et le rayon du cercle trigonométrique qui est égal à l'unité ( théorème de pythagore ) .

Il y a de la révision dans l'air , j'en ai bien l'impression !

A plus tard

GuYem · 31/10/2005, 18h08

Citation:

Posté par Daniel75

Bonsoir ,

N'importe quoi !

Si tan(x) = 1 , cela signifie tout simplement que : x = 45° , x , étant l'angle formé par l'abscisse représentant l'axe des cosinus et le rayon du cercle trigonométrique qui est égal à l'unité ( théorème de pythagore ) .

Il y a de la révision dans l'air , j'en ai bien l'impression !

A plus tard

Salut Daniel

Encore une intervention colorée

Ici le problème n'est pas de résoudre tan(x)=1 mais tan(x)=x.

De plus tu n'as donné qu'une solution parmi l'infinité possible de solutions de tan(x)=1. Que penses-tu de x=225°, et de x=405° ?

Les solutions de tan(x)=1 sont x=pi/4 modulo[pi].

Père Occide · 31/10/2005, 21h02

Bonsoir.
Pour ce problème, on peut étudier la fonction f :
f(x) = tan x - x sur l'intervalle ]pi/2 + npi , pi/2 + (n + 1)pi[, n entier relatif.
On calcule donc f' (facile avec les formules usuelles), on en étudie le signe sur cet intervalle. On construit ensuite le tableau de variations. On regarde alors le SENS DE VARIATON et le SIGNE de f sur l'intervalle choisi.
Rappel : Si une fonction est strictement monotone sur I et qu'elle change de signe sur I, alors il existe x₀, appartenant à I, tel que
f(x₀) = 0.
Au boulot et à plus tard pour les questions suivantes.

Boobooboo · 31/10/2005, 22h04

La hprase qu'on m'obligeai à mettre était:
Comme f (donc ici tan(x)-x) est strictement croissante sur l'intervalle [I;J], alors f réalise une bijection de [I;J] dans [f(I);f(J)] (à calculer...). Comme a appartient à [f(I);f(J)] il existe une seule solution à l'équation f(x)=a dans l'intervalle [I;J].

Après tu calcules f((J-I/)2) pour voir quel valeur tu obtiens... si 0 est dans l'intervalle [[f(I);f((J-I/)2)] tu redivise cet intervalle par deux et ainci de suite jusqu'a s'apporocher de la réponse le plus possible... (dichotomie)

Daniel75 · 31/10/2005, 22h06

Bonsoir , Guyem ,

Citation:

Posté par GuYem

Salut Daniel

Encore une intervention colorée

Ici le problème n'est pas de résoudre tan(x)=1 mais tan(x)=x.

De plus tu n'as donné qu'une solution parmi l'infinité possible de solutions de tan(x)=1. Que penses-tu de x=225°, et de x=405° ?

Les solutions de tan(x)=1 sont x=pi/4 modulo[pi].

Oui , j'ai bien compris qu'il ne s'agissait pas de résoudre l'équation : tan(x) = 1 !

Je ne faisais que commenter le résultat final de : Bloud , qui , de la manière dont il a écrit ce dernier , prête à confusion .
En effet , la tangente d'un angle (x) ne peut pas être égal à l'angle (x) lui-même !

Pour ce qui est de la multitude de solution de l'équation : tan(x) = 1 , soit : x = 45° ou pi/4 , bien évidemment , puisque la fonction tangente comme la fonction cotangente sont périodiques sur : k.pi , alors que les fonctions : sinus et cosinus sont elles périodiques sur : 2k.pi !

A plus tard

Ilùvatar · 01/11/2005, 10h58

Oui c'est sur que la solution la plus simple semble être de poser la fonction f(x)=tan(x)-x, continue.

Il s'agit alors de montrer que cette fonction s'annule sur chaque intervalle ]n*Pi-Pi/2,n*Pi+Pi/2[

On dérive et on trouve que la fonction est strictement croissante sur cet intervalle (même si f'(n*Pi)=0).

En remarquant alors que lim(x->n*Pi-Pi/2)f(x)=lim(x->n*Pi-Pi/2)tan(x)=-infini et lim(x->n*Pi+Pi/2)f(x)=lim(x->n*Pi+Pi/2)tan(x)=+infini, et sachant que f est continue, on en déduit par le théorème des valeurs intermédiaires que f s'annule au moins une fois sur l'intervalle considéré. L'unicité s'en déduit grâce à la monotonie.

Enfin, une fois que tu sais que (Xn) appartient à ]n*Pi-Pi/2,n*Pi+Pi/2[, tu en déduis facilement la limite ...

Par contre Boobooboo, pour quoi faire une dichotomie? Si tu as que f varie de -infini à +infini tu sais déjà que a=0 y est inclus.

Bon salut

Bloud · 01/11/2005, 12h02

Citation:

Posté par Daniel75

Je ne faisais que commenter le résultat final de : Bloud , qui , de la manière dont il a écrit ce dernier , prête à confusion .
En effet , la tangente d'un angle (x) ne peut pas être égal à l'angle (x) lui-même !

Ah bon ? tan 0 = ? Si je ne me trompe pas, le résultat est 0 et 0=(supense...)0!!! Je suis désolé mais je crois bien que l'équation "tan (x) = x" a même une infinité de solution (il suffit de tracer les courbes représentatives des fonctions tan et identité pour s'en convaincre).

Amicalement, Bloud.

Ilùvatar · 01/11/2005, 12h17

Exactement, surtout que le but de l'énoncé est de prouver qu'il y a justement une infinité de valeurs

D'ailleurs sur quel argument repose l'affirmation gratuite que la tangente d'un angle ne peut pas être égale à l'angle lui-même?

Kyan · 02/11/2005, 12h26

Merci beaucoup sa m'aide très fortement !!!!!! Jvous aimes !!!

Daniel75 · 02/11/2005, 23h51

Bonsoir ,

Citation:

Posté par Bloud

Ah bon ? tan 0 = ? Si je ne me trompe pas, le résultat est 0 et 0=(supense...)0!!! Je suis désolé mais je crois bien que l'équation "tan (x) = x" a même une infinité de solution (il suffit de tracer les courbes représentatives des fonctions tan et identité pour s'en convaincre).
Amicalement, Bloud.

Le résultat que tu donnes est un cas particulier comme il en existe beaucoup en mathématique !
Toutefois , le : x , qui est entre paranthèses est un angle et son unité est le : " degré " , alors que le : " x " qui est de l'autre côté de l'égalité est une mesure algébrique de cet angle et n'a pas d'unité !
C'est la raison pour laquelle tu ne peux pas exprimer l'égalité ci-dessus de cette manière !
En effet , si je reprends ton raisonnement , cela signifierait que , par exemple :

tan 45° = 45°

ce qui est complètement absurde , tu le reconnaîtera bien , j'espère !

Par conséquent , je pense que le problème a été mal posé ou bien mal retranscrit , tout simplement !

A plus tard

Daniel75 · 03/11/2005, 00h04

Bonsoir ,

Citation:

Posté par Ilùvatar

Exactement, surtout que le but de l'énoncé est de prouver qu'il y a justement une infinité de valeurs

D'ailleurs sur quel argument repose l'affirmation gratuite que la tangente d'un angle ne peut pas être égale à l'angle lui-même?

Ce n'est pas le fait de démontrer qu'il y a une infinité de solution qui me dérange , c'est la manière dont a été rédigé l'énoncé du problème qui me choc !

L'affirmation sur laquelle repose mon argument se trouve être les définitions même , d'un angle et de sa mesure algébrique !

Ce n'est pas moi qui les ai inventé !
Ce sont des définitions de géométrie et de trigonométrie !

A plus tard

moijdikssékool · 03/11/2005, 00h06

j'aime redonner la signification graphique de tan