Vecteurs vitesse et accélération en coordonnées sphériques

g_h · 01/11/2005, 23h22

Hello !

Je n'ai pas de schéma sous la main pour que ce soit bien clair, mais je crois qu'il y a un "standard" pour la dénomination des angles en coordonnées sphériques... !

Donc voici mon problème :
Ma base locale sphérique est constituée des 3 vecteurs $\vec{u_r}, \vec{u_{\theta}}, \vec{u_{\phi}}$

Je peux les exprimer à l'aide des vecteurs fixes d'une base cartésienne :
$\vec{u_r} = sin(\theta) cos(\phi)\vec{u_x} + sin(\theta)sin(\phi)\vec{u_y} + cos(\theta)\vec{u_z} \\ \vec{u_{\theta}} = cos(\theta) cos(\phi)\vec{u_x} + cos(\theta)sin(\phi)\vec{u_y} - sin(\theta)\vec{u_z}$

Or, $\phi$ est indépendant de $\theta$ , et la base cartésienne est fixe.
Donc on remarque que :
$\frac{d\vec{u_r}}{d\theta} = \vec{u_{\theta}} \\ \frac{d\vec{u_{\theta}}}{d \theta } = -\vec{u_r}$

Mais ce qui importe pour nous c'est de connaître les dérivées de ces vecteurs par rapport au temps.
J'écris donc :
$\frac{d\vec{u_r}}{dt} = \frac{d\vec{u_r}}{d\theta} \times \frac{d\theta}{dt} = \dot{\theta} \vec{u_{\theta}}$ (le point n'est pas très visible mais il y est

)
$\frac{d\vec{u_{\theta}}}{dt} = \frac{d\vec{u_{\theta}}}{d\the ta} \times \frac{d\theta}{dt} = - \dot{\theta} \vec{u_r}$

Le vecteur position d'un point M par rapport au centre O de ma base cartésienne s'écrit :
$\vec{OM} = R \vec{u_r}$ où R est le rayon, ou la norme du vecteur OM.

J'ai donc :
$\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \frac{d (R\vec{u_r})}{dt} = \dot{R}\vec{u_r} + R\dot{\vec{u_r}} = \dot{R}\vec{u_r} + R\dot{\theta}\vec{u_{\theta}}$

Je trouve donc "presque" ce qu'il faut... : il me manque $Rsin(\theta)\dot{\phi}\vec{u_{ \phi}}$ pour que mon vecteur vitesse soit correct !

Je me doute donc que je fais une erreur de raisonnement, mais laquelle ?

Merci pour votre aide !

Major_PR · 02/11/2005, 00h15

je suis a peu pres certain que c'est ta definition du vecteur OM qui est fausse, et je cherche pourquoi... et tu donne la dérivée des vecteurs unitaires EN POLAIRES, et pas en sphériques : la dérivée de ur par rapport a t vaut : sin(théta)*(phi)°*u(phi) (desole pour l'ecriture, je ferais dans les details et le propre si tu ne trouves pas ton erreur comme ca et si je trouve l'erreur !

(il faut aussi dire que si je savais comment on insere une image, un schéma pourrait aider.... :s)

zoup1 · 02/11/2005, 00h20

Je pense que ton erreur vient du fait que les vecteurs de base $\vec{u_r}$ et $\vec{u_\theta}$ sont des fonctions de $\theta$ et $\phi$ . Du coup, quand tu cherches à écrire leurs dérivées temporelles, il vient : $\frac{d \vec{u_r}}{dt} = \frac{\partial \vec{u_r}}{\partial \theta} \times \frac{d \theta}{dt} + \frac{\partial \vec{u_r}}{\partial \phi} \times \frac{d \phi}{dt}$ .
Cela te fait clairement apparaitre le $\dot \phi$ puis en poursuivant un peu le calcul, cela devrait faire apparaitre le $\vec{u_\phi}$

Major_PR · 02/11/2005, 00h23

ah ? je te fais confiance, mais peux tu s'il te plait detailler un peu plus, parce que mon ds de physique de jeudi prochain sera bourré de ce genre de choses !!

merci d'avance !!

zoup1 · 02/11/2005, 00h24

Citation:

Posté par Major_PR

je suis a peu pres certain que c'est ta definition du vecteur OM qui est fausse, et je cherche pourquoi...

Sur ce point, je ne suis pas d'accord, la définition du vecteur OM est tout à fait correcte...

Citation:

et tu donne la dérivée des vecteurs unitaires EN POLAIRES, et pas en sphériques : la dérivée de ur par rapport a t vaut : sin(théta)*(phi)°*u(phi) (desole pour l'ecriture, je ferais dans les details et le propre si tu ne trouves pas ton erreur comme ca et si je trouve l'erreur !

(il faut aussi dire que si je savais comment on insere une image, un schéma pourrait aider.... :s)

Sur ce point là, je pense que je suis d'accord même si j'arrive pas vraiment à lire ce que tu as écrit.

zoup1 · 02/11/2005, 00h27

Citation:

Posté par Major_PR

ah ? je te fais confiance, mais peux tu s'il te plait detailler un peu plus, parce que mon ds de physique de jeudi prochain sera bourré de ce genre de choses !!

merci d'avance !!

Je veux bein détailler un peu, mais il faudrait que tu précises ce que tu veux que je détaille... Je dois bien avouer que développer les calculs dans le forum est un peu fastidieux...
Pour l'heure, je ne vais pas tarder à aller me coucher...

Major_PR · 02/11/2005, 00h40

c'est pas tres grave, je reposterai si j'ai un probleme APRES avoir apres mon cours.... malin, non ?? merci quand meme !

g_h · 02/11/2005, 11h36

Merci à tous les 2 !

Citation:

Posté par zoup1

Je pense que ton erreur vient du fait que les vecteurs de base $\vec{u_r}$ et $\vec{u_\theta}$ sont des fonctions de $\theta$ et $\phi$ . Du coup, quand tu cherches à écrire leurs dérivées temporelles, il vient : $\frac{d \vec{u_r}}{dt} = \frac{\partial \vec{u_r}}{\partial \theta} \times \frac{d \theta}{dt} + \frac{\partial \vec{u_r}}{\partial \phi} \times \frac{d \phi}{dt}$ .

Donc si je comprends bien, si j'avais eu seulement comme données :
$\frac{d\vec{u_r}}{d\theta} = \vec{u_\theta} \\ \frac{d\vec{u_\theta}}{d\theta } = -\vec{u_r} \\ \vec{OM} = R(t)\vec{u_r}$

Ça aurait été insuffisant pour calculer $\frac{d\vec{OM} }{dt}$ ?

C'est assez bizarre quand même... enfin apparemment ce n'est qu'un problème mathématique !

Major_PR · 02/11/2005, 11h46

mathematique pour toi, peut etre, mais pour moi, ca doit etre un probleme de fond !... bon alle, je vais reviser mon cours, c'est plus possible !!

zoup1 · 02/11/2005, 12h24

Citation:

Posté par g_h

Merci à tous les 2 !

Donc si je comprends bien, si j'avais eu seulement comme données :
$\frac{d\vec{u_r}}{d\theta} = \vec{u_\theta} \\ \frac{d\vec{u_\theta}}{d\theta } = -\vec{u_r} \\ \vec{OM} = R(t)\vec{u_r}$

Ça aurait été insuffisant pour calculer $\frac{d\vec{OM} }{dt}$ ?

C'est assez bizarre quand même... enfin apparemment ce n'est qu'un problème mathématique !

Je sais pas pourquoi tu trouves cela bizarre...
Par ailleurs, ces données sont suffisantes en coordonnées polaires ou cylindriques.

g_h · 02/11/2005, 13h57

Citation:

Posté par zoup1

Je sais pas pourquoi tu trouves cela bizarre...

Parce que je trouve "naturel" d'écrire $\frac{d\vec{u_r}}{dt} = \frac{d\vec{u_r}}{d \theta }\times\frac{d \theta }{dt}$ , alors que c'est faux ! (en coordonnées sphériques)
Si il n'était pas dit dans l'énoncé que $\vec{u_r}$ dépendait de $\phi$ , on n'aurait pas pu arriver au bon résultat !

zoup1 · 02/11/2005, 16h04

Citation:

Posté par g_h

Parce que je trouve "naturel" d'écrire $\frac{d\vec{u_r}}{dt} = \frac{d\vec{u_r}}{d \theta }\times\frac{d \theta }{dt}$ , alors que c'est faux ! (en coordonnées sphériques)
Si il n'était pas dit dans l'énoncé que $\vec{u_r}$ dépendait de $\phi$ , on n'aurait pas pu arriver au bon résultat !

A vrai dire c'est le principe même d'une base locale. Ses vecteurs de bases dépendent a priori des coordonnées d'espace, de toutes d'ailleurs donc par exemple a priori $\vec{u_r}(r,\phi,\theta}$ et ce qui définit ce vecteur c'est $\vec{OM}= r.\vec{u_r}$ . Ensuite les autres vecteurs de base sont définit comme indiquant le déplacement du point M lorsque l'on fait varier la coordonnée correspondante.

$\vec{u_\theta}=\frac{\vec{OM}( r,\theta+d\theta,\phi) - \vec{OM}(r,\theta,\phi)}{\|\ve c{OM}(r,\theta+d\theta,\phi) - \vec{OM}(r,\theta,\phi)\|}$ et $\vec{u_\phi}={\vec{OM}(r,\thet a,\phi+d\phi - \vec{OM}(r,\theta,\phi)}{\|\ve c{OM}(r,\theta,\phi+d\phi - \vec{OM}(r,\theta,\phi)\|}$

Ensuite, ou plutôt avant, il faut choisir ton système de coordonnés de sorte que le trièdre formé par les trois vecteurs de base soit orthonormé...

Je ne suis pas tout à fait sur que cette facçon de présenter les choses soit tout à fait classique, mais je pense qu'elle est parfaitement opérationnelle.

ouafae207 · 31/12/2007, 15h53

Bonjour a tous, j'ai des petites question:
soit R(o;x,y,z) un repère orthonormè direct
en coordonnées sphériques on a :
x=(rou)sin(teta)cos(phi)
y=(rou)sin(teta)sin(phi)
z=(rou)cos(teta)
quelqu'un peut me donner la methode pour dèmontrer l'expression du vecteur vitesse