Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

Skippy le Grand Gourou · 05/11/2005, 20h34

Salut,

J'ai encore quelques petits problèmes de familiarisation avec les tenseurs et la notation covariante... Toute tentative d'aide serait la bienvenue.

1) Tout d'abord, une question facile : $\Lambda^\nu_\mu$ , écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ? (Ce qui expliquerait pourquoi $\Lambda^\nu_\mu \gamma^\mu = \gamma^\mu \Lambda^\nu_\mu$ ...)

2) Ensuite, j'ai le générateur I₃ défini par
$I_{i,\nu}^\mu=-(g^\mu_0 g^3_\nu+g^\mu_3 g^0_\nu)$ .
Si j'ai bien compris, on peut le représenter par la matrice
$I_3=\left(\begin{array}{cccc}0 &0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0& 0&0\end{array} \right)\,\,avec\,\,g_{\mu\nu}= \left(\begin{array}{cccc}1&0&0 &0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array} \right)$ ).
Le problème c'est que je suis censé prouver l'égalité :
$exp(\eta I_3) =\left(\begin{array}{cccc} ch\eta &0&0&-sh\eta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-sh\eta&0&0&ch\eta\end{array} \right)$ .
Or à partir de la matrice précédente, je n'arrive qu'à :
$exp(\eta I_3) =\left(\begin{array}{cccc} ch\eta &0&0&sh\eta\\0&0&0&0\\0&0&0&0\ \sh\eta&0&0&ch\eta\end{array} \right)$ ...
Quelqu'un peut me dire où sont passés les 1 et les signes - ?

Pour les signes -, je pense qu'en fait on doit avoir $g_{00}=g_0^0$ et $g_{ii}=-g_i^i$ (ce qui les ferait apparaître dans I₃ , et j'aurais ainsi I₃
sous la forme telle que je l'ai trouvée dans un cours en ligne), mais j'aimerais qu'on me le confirme. Par contre, pour les 1, j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je ne comprends pas...

3) Enfin, mon dernier problème ressemble un peu au deuxième : il s'agit cette fois-ci de démontrer l'égalité :
$exp(-i\Phi J_3) =\left(\begin{array}{cccc}1&0& 0&0\\0&\cos\Phi&-\sin\Phi&0\\0&\sin\Phi&cos\Phi &0\\0&0&0&1\end{array} \right)$ ,
avec $J_{i,\nu}^\mu = i\epsilon_{ijk}g^\mu_j g_{k\nu}$ . J'en déduit que J₃ s'écrit sous forme matricielle :
$J_3=\left(\begin{array}{cccc}0 &0&0&0\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\0&0&0&0\end{arra y} \right)$ .
Mais je me retrouve alors avec le même problème que pour la question précédente : je trouve
$exp(-i\Phi J_3) =\left(\begin{array}{cccc}0&0& 0&0\\0&\cos\Phi&\sin\Phi&0\\ 0&-sin\Phi&\cos\Phi&0\\0&0&0&0\en d{array} \right)$ ...
Pour le signe -, je pense définitivement que l'explication que j'ai avancée est la bonne, mais les 1 ont encore disparu !...

Si quelqu'un pouvait me venir en aide... Merci.

PS : Je sais, je sais, il faudrait que je cherche dans des bouquins. Mais on est samedi soir... Et pis j'en ai pris un, de bouquin (Field quantization, de Greiner et Reinhardt), mais ça m'aide pas beaucoup...

Michel (mmy) · 05/11/2005, 20h54

Des réponses pour ce qui est à mon niveau!

Citation:

Posté par Skippy le Grand Gourou

Salut,

1) Tout d'abord, une question facile : $\Lambda^\nu_\mu$ , écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ? (Ce qui expliquerait pourquoi $\Lambda^\nu_\mu \gamma^\mu = \gamma^\mu \Lambda^\nu_\mu$ ...)

Non, ce n'est pas un scalaire, mais un tenseur d'ordre (1,1). Et l'égalité est vraie parce que dans cette notation tensorielle, la multiplication est commutative (parce que la multiplication l'est dans R).

Citation:

$g_{00}=g_0^0$ et $g_{ii}=-g_i^i$ (ce qui les ferait apparaître dans I₃ ,

C'est ce que je dirais aussi.

Sinon, mais ça va pas t'aider, mais tes notations sont difficiles... le ,\nu est utilisé par certains auteurs pour différentier, et utliser i comme indice avec le i complexe dans la même formule, ça trouble...

Cordialement,

Michel (mmy) · 05/11/2005, 20h57

Sinon, pour l'exponentielle (point 2), la formule c'est I + M + 1/2 M² + 1/6 M³+.... Le I du début va te donner les 1 manquants, non???

Cordialement,

Skippy le Grand Gourou · 05/11/2005, 23h58

Citation:

Posté par mmy

Non, ce n'est pas un scalaire, mais un tenseur d'ordre (1,1). Et l'égalité est vraie parce que dans cette notation tensorielle, la multiplication est commutative (parce que la multiplication l'est dans R).

D'accord, merci. C'est encore un peu flou dans ma tête, mais y'a du mieux.

Citation:

Posté par mmy

Sinon, mais ça va pas t'aider, mais tes notations sont difficiles... le ,\nu est utilisé par certains auteurs pour différentier, et utliser i comme indice avec le i complexe dans la même formule, ça trouble...

Oui, je sais, on a eu cette notation dans un autre cours, et je ne serais pas étonné que le prof de cette matière l'utilise également d'ici à la fin de l'année (la virgule-dérivée)... Pour le double-emploi du i, c'est vrai que le nombre de lettres relativement peu élevé de notre alphabet ne permet pas de varier énormément (quand on y réfléchit, à peu près toutes les lettres sont attribuées...). On fait des efforts en utilisant l'alphabet grec, mais il y aurait peut-être moins de confusions si on utilisait les caractères chinois !

Citation:

Posté par mmy

Sinon, pour l'exponentielle (point 2), la formule c'est I + M + 1/2 M² + 1/6 M3+.... Le I du début va te donner les 1 manquants, non???

Bien vu ! J'avais oublié le M⁰... Merci de ton aide !

gatsu · 06/11/2005, 19h48

Citation:

Posté par Skippy le Grand Gourou

$\Lambda_{\mu}^{\nu}$ écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ?

Citation:

Posté par mmy

Non, ce n'est pas un scalaire, mais un tenseur d'ordre (1,1).

Rigoureusement il me semble $\Lambda_{\mu}^{\nu}$ n'est pas non plus un tenseur, c'est la composante d'un tenseur une fois covariant et une fois contravariant par rapport à une base de l'espace E et à une base de son dual E*, c'est donc un nombre réel, ce qui explique la commutativité dans l'écriture (comme l'a dit mmy). La dénomination "scalaire" est habituellement utilisée pour parler d'un tenseur (0,0) c'est à dire un tenseur qui n'a qu'une seule composante qui de surcroit est invariante par changement de base.

Skippy le Grand Gourou · 06/11/2005, 19h53

D'accord, je comprends mieux maintenant, merci.

Michel (mmy) · 06/11/2005, 19h53

Citation:

Posté par gatsu

Rigoureusement il me semble $\Lambda_{\mu}^{\nu}$ n'est pas non plus un tenseur, c'est la composante d'un tenseur une fois covariant et une fois contravariant par rapport à une base de l'espace E et à une base de son dual E*, c'est donc un nombre réel, ce qui explique la commutativité dans l'écriture (comme l'a dit mmy). La dénomination "scalaire" est habituellement utilisée pour parler d'un tenseur (0,0) c'est à dire un tenseur qui n'a qu'une seule composante qui de surcroit est invariante par changement de base.

Il y peut-être un problème de notation, mais je ne crois pas. Cette notation est celle d'un tenseur à n² composantes, n étant la dimension de l'espace (ici n=4). C'est une fonction bilinéaire à deux arguments, un dans E, un dans E* et à résultat dans R. Les matrices carrées correspondent à trois sortes de tenseurs, (2,0), (1,1) et (0,2), et les trois on droit au nom "tenseur"...

Cordialement,

Skippy le Grand Gourou · 06/11/2005, 19h57

Bon, du coup je ne suis plus sûr de rien... Dans ce cas, je ne vois pas trop pourquoi ça commute...

Michel (mmy) · 06/11/2005, 20h14

Citation:

Posté par Skippy le Grand Gourou

Bon, du coup je ne suis plus sûr de rien... Dans ce cas, je ne vois pas trop pourquoi ça commute...

Les multiplications tensorielles commutent. Sans contraction, une composante d'un produit est le produit de deux composantes: ça commute. Avec contraction, une composante est la somme de produits de composantes, ça commute encore...

La multiplication matricielle ne commute pas, mais il suffit de noter pour voir pourquoi.

$C^i_k = A^i_j B^j_k =B^j_k A^i_j$

$D^i_k = B^i_j A^j_k =A^j_k B^i_j$

C et D sont différentes et correspondent aux deux multiplications matricielles entre A et B. En notation tensorielle, la multiplication tensorielle est commutative. Mais la multiplication matricielle demande une contraction: c'est le choix de l'indice qui permet de choisir l'ordre de la multiplication matricielle...

Skippy le Grand Gourou · 06/11/2005, 20h25

Donc lorsque j'écris Aⁱ_jB^j_k, j'ai deux interprétations possibles : soit je sais que ce sont des tenseurs et dans ce cas ça commute, soit je sais que ce sont des matrices, auquel cas ça ne commutent pas. Il n'y a aucune différence au niveau de l'écriture. C'est ça ?

gatsu · 06/11/2005, 20h39

Citation:

Posté par mmy

Il y peut-être un problème de notation, mais je ne crois pas. Cette notation est celle d'un tenseur à n² composantes, n étant la dimension de l'espace (ici n=4). C'est une fonction bilinéaire à deux arguments, un dans E, un dans E* et à résultat dans R. Les matrices carrées correspondent à trois sortes de tenseurs, (2,0), (1,1) et (0,2), et les trois on droit au nom "tenseur"...

Cordialement,

Je pense qu'on est pas d'accord sur les notations (c'est meme clair).
Pour moi, si je considère un tenseur $\Lambda$ deux fois covariant par exemple (qui agit donc sur deux vecteurs de E) et si $X, Y$ sont deux vecteurs de E, $\Lambda_{\mu \nu}(X,Y)$ ne veux rien dire du tout...donc $\Lambda_{\mu \nu}$ n'est pas un tenseur (d'apres ce que je sais). En revanche normallement par définition $\Lambda_{\mu \nu} = \Lambda (e_{\mu},e_{\nu})$ est un nombre réel et est la composante du tenseur $\Lambda$ dans la base $e^{\mu} \otimes e^{\nu}$ ce qui une fois encore explique la commutativité.

Michel (mmy) · 06/11/2005, 20h41

Citation:

Posté par Skippy le Grand Gourou

Donc lorsque j'écris Aⁱ_jB^j_k, j'ai deux interprétations possibles : soit je sais que ce sont des tenseurs et dans ce cas ça commute, soit je sais que ce sont des matrices, auquel cas ça ne commutent pas. Il n'y a aucune différence au niveau de l'écriture. C'est ça ?

Pas dans ce que je comprends... J'interpréte une notation comme celle-ci comme tensorielle. Cela correspond, si je regarde en composantes, à une multiplication matricielle. Mais c'est le choix de l'indice de contraction qui m'indique si c'est AB ou BA en matricielle, pas l'ordre dans lequel est écrit la multiplication tensorielle. Dans un cas on contracte l'indice haut de A avec l'indice bas de B, et dans l'autre cas on contracte l'indice bas de A avec l'indice haut de B. Les deux contractions sont bien distinctes en notation tensorielle, et donne des résultats distincts, et cela correspond aux deux cas de la multiplication matricielle.

Cordialement,

Michel (mmy) · 06/11/2005, 20h46

Citation:

Posté par gatsu

Je pense qu'on est pas d'accord sur les notations (c'est meme clair).
Pour moi, si je considère un tenseur $\Lambda$ deux fois covariant par exemple (qui agit donc sur deux vecteurs de E) et si $X, Y$ sont deux vecteurs de E, $\Lambda_{\mu \nu}(X,Y)$ ne veux rien dire du tout...

Je ne comprends pas. Ce n'est pas une écriture usuelle, mais je l'interpréte sans hésiter comme

$\Lambda_{\mu \nu}(X,Y) = \Lambda_{\mu\nu}X^\mu Y^\nu$

Ecrire un tenseur (et non une des ses composantes) sous la forme $\Lambda_{\mu \nu}$ est tout à fait courant... Où est le problème?

Cordialement,

Michel (mmy) · 06/11/2005, 20h58

En reprenant le texte d'origine, la question tourne autour de

Citation:

Posté par Skippy le Grand Gourou

$\Lambda^\nu_\mu$ , écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ? (Ce qui expliquerait pourquoi $\Lambda^\nu_\mu \gamma^\mu = \gamma^\mu \Lambda^\nu_\mu$ ...)

Le mot clé c'est scalaire. Si on interprète $\Lambda^\nu_\mu$ comme une composante, c'est un réel mais pas un scalaire (c'est une valeur qui dépend du choix de base, donc pas un scalaire). Considérer que $\Lambda^\nu_\mu$ dénote le tenseur ne pose pas de problème. On peut aussi le voir comme une composante, mais le contexte fait la différence... Ici, la question me semblait parler de tenseurs, pas de composante.

Cordialement,

gatsu · 06/11/2005, 21h04

Citation:

Posté par mmy

Je ne comprends pas. Ce n'est pas une écriture usuelle, mais je l'interpréte sans hésiter comme

$\Lambda_{\mu \nu}(X,Y) = \Lambda_{\mu\nu}X^\mu Y^\nu$

Ecrire un tenseur (et non une des ses composantes) sous la forme $\Lambda_{\mu \nu}$ est tout à fait courant... Où est le problème?

Cordialement,

Ok, si je veux écrire les choses comme toi j'obtient:
$\Lambda_{\mu \nu } (X,Y)=\Lambda_{\mu \nu} (X^{\mu}e_{\mu},Y^{\nu} e_{\nu}) = X^{\mu} Y^{\nu} \Lambda_{\mu \nu}(e_{\mu},e_{\nu}) => \Lambda_{\mu \nu}(e_{\mu},e_{\nu})=\Lambda_ {\mu \nu}$ ....tu trouves pas qu'il y a une coquille dans l'écriture?

cordialement,

**mtheory** · 06/11/2005, 21h11

Citation:

Posté par Skippy le Grand Gourou

Salut,

J'ai encore quelques petits problèmes de familiarisation avec les tenseurs et la notation covariante... Toute tentative d'aide serait la bienvenue.

1) Tout d'abord, une question facile : $\Lambda^\nu_\mu$ , écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ? (Ce qui expliquerait pourquoi $\Lambda^\nu_\mu \gamma^\mu = \gamma^\mu \Lambda^\nu_\mu$ ...)

Hum...j'ai l'impression que $\Lambda^\nu_\mu$ c'est une matrice de changement de repère et donc pas un tenseur,ce que tu écrit ressemble à la loi de transformation des $\gamma^\nu$ de Dirac

Michel (mmy) · 06/11/2005, 21h12

Je discute tout seul...

Je crois comprendre le problème, qui est juste un problème de notation entre une même écriture qui peut être vue comme dénotant une composante particulière ou tout le tenseur.

Un extrait d'un texte pris comme exemple

Citation:

Posté par http://www.astrosurf.org/lombry/relativite-concepts-tenseur-rc.htm

Le tenseur de Riemann-Christoffel, dit tenseur de courbure est le tenseur-clé de la théorie généralisée d’Einstein. Il dispose de quatre indices et est symbolisé par $R^\lambda_{\mu\nu\kappa}$ (l,m,n et k en notation latine). Le tenseur de courbure $R_{\alpha\beta[\mu\sigma]}$ se décompose en deux parties, le tenseur de Weyl, $C_{[\alpha\beta][\mu\tau]}$ et le tenseur de Ricci, $R_{\beta\nu}$ comportant chacun 10 composantes, 10 rayons de courbure différents[9]

Dans ce texte on voit que l'écriture indicée dénote le tenseur directement, c'est clair par le sens des phrases. C'est peut-être un peu "libre" comme écriture, mais courant me semble-t-il...

On peut trouver d'autres textes disant que la notation est celles des composantes. L'une ou l'autre des conventions, ou le mélange, ne pose pas de problème, à mon sens...

Cordialement,

Michel (mmy) · 06/11/2005, 21h16

Citation: