- Partages d'un quadrilatère quelconque -

[pruno_d_agen]

Ca fait quelques temps que je me ballade sur le NET sur des sites de concours mathématiques français en faisant leurs anciens concours pour le fun, et je me suis aperçus qu'un type d'exercice revenait pas mal de fois, et qu'il serait intéressant, pour ceux qui veulent approfondir leur culture M, de connaitre la 'clé' de ce genre d'exo, avant de vous balancer le théorème qui vous permettra de le résoudre, voici ces types d'exo que vous pourrez rencontrer :

< Partages 1 >

Soit ABCD un quadrilatère quelconque et a,b,c et d les aires respectives des triangles IAD, IDC, IBC et IAB, on a :

a = 210cm²
b = 330cm²
d = 410cm²

Trouver l´aire c.

------------------

< Partage 2 >

Soit ABCD un quadrilatère quelconque et a,b,c et d les aires tels que :

a = 200cm²
b = 150cm²
d = 400cm²

Trouver l'aire de c.

[matthias]

Envoyé par pruno_d_agen

avant de vous balancer le théorème qui vous permettra de le résoudre

"théorème" c'est un bien grand mot.
Il suffit de savoir calculer l'aire d'un triangle, et d'un petit peu d'astuce.

[pruno_d_agen]

Non non, y'a bien un théorème, petit je te l'accorde, du moins c'est même une petite formule qui relie les 4 aires et qui permet de calculer facilement la 4° aire et connaissant les 3 autres

[matthias]

Mouais, on peut toujours appeler ça un théorème, c'est sûr.
Mais bon, regarder ce que donne la somme des aires de deux triangles opposés, ce n'est pas sorcier.

[pruno_d_agen]

C'est pas vraiment ça Bon c'est sûr que pour toi qui doit avoir énormément de connaissances en mathématiques, ce genre d'exo mathématiques ne doit pas être très intéressant mais pour les gens de mon âge (2nd), savoir quelques petits théorèmes par-çi par-là peut-être intéressant, ne serait-ce que pour notre culture

[matthias]

Envoyé par pruno_d_agen

C'est pas vraiment ça

essaye tu verras : base x hauteur / 2, somme des aires de deux triangles opposés et c'est fini.

[pruno_d_agen]

Oui, sauf que tu ne connais pas les côtés de ces quadrilatères, je te demande de travailler que sur les aires

[pruno_d_agen]

** au passage je vais essayer quand même ^^ **

[pruno_d_agen]

Non, la somme de 2 triangles opposés n'est pas égale à la somme des 2 autres

[matthias]

Si la somme des aires de deux triangles opposés est bien égale à la somme des aires des deux autres triangles.

[pruno_d_agen]

Pour cette configuration précise de partages, ta relation ne marche pas, pour preuve : (à part si tu as autre chose à me montrer, je me fonde juste sur ce que je voulais montrer au départ, je n'oserai jamais défier un boss des math voyons ) :

Tout d'abord, il faut connaître le théorème du partage du triangle :

(1) La médiane issue de A coupe le triangle en deux triangle de même aire.

(2) Plus généralement : Aire(ABM)/Aire (ACM) = MB/MC

< Partages de quadrilatère : Variante I >

Données : a = 210cm² ; b = 330cm² et d = 410cm²

- Dans le triangle ADB, on a (AI) qui coupe le triangle en deux autres triangles, d'après la théorème du partage du triangle, on a :

ID/IB = a/d

- Dans le triangle CDB, on a (IC) qui coupe le triangle en deux autres triangles, d'après le même théorème, on a :

ID/IB = b/c

Au final, on a alors a/d = b/c, soit :

ac = bd

Alors,

c = bd / a

[pruno_d_agen]

Rien de spectaculaire je vous l'accorde, c'était juste à titre d'infos pour ceux qui veulent faire des concours de math, on retrouve pas mal ce genre d'exo, pour l'autre variante, je vous laisse chercher

[matthias]

Envoyé par pruno_d_agen

Pour cette configuration précise de partages, ta relation ne marche pas, pour preuve : (à part si tu as autre chose à me montrer, je me fonde juste sur ce que je voulais montrer au départ, je n'oserai jamais défier un boss des math voyons )

Héhé, ça y est je viens de comprendre mon erreur. Je ne sais pas pourquoi, j'étais persuadé que l'on était dans un rectangle.

Toutes mes excuses.

[matthias]

J'étais vraiment à la masse hier, je n'avais pas vu non plus que tu avais mis des lien vers les images dès le premier post.

En plus j'avais pris le point I quelconque dans le rectangle (et pas nécessairement à l'intersection des diagonales comme dans ton quadrilatère).

[pruno_d_agen]

Lol, pas grave, l'erreur est humaine . Mais pouvait-on trouver c à l'aide d'une autre manière que la mienne ? (je prends tout moi ^^)

[pruno_d_agen]

< Partage I >

Tout d'abord, il faut connaître le théorème du partage du triangle :

http://img234.imageshack.us/my.php?i...tagetri7sj.jpg

(1) La médiane issue de A coupe le triangle en deux triangle de même aire.

(2) Plus généralement : Aire(ABM)/Aire (ACM) = MB/MC

< Partages de quadrilatère : Variante I >


http://img181.imageshack.us/my.php?image=partage1xv.jpg

Données : a = 210cm² ; b = 330cm² et d = 410cm²

- Dans le triangle ADB, on a (AI) qui coupe le triangle en deux autres triangles, d'après la théorème du partage du triangle, on a :

ID/IB = a/d

- Dans le triangle CDB, on a (IC) qui coupe le triangle en deux autres triangles, d'après le même théorème, on a :

ID/IB = b/c

Au final, on a alors a/d = b/c, soit :

ac = bd

Alors,

c = bd / a

< Partage II >

-> http://img513.imageshack.us/my.php?image=part24kn.jpg <-

Traçons les diagonales de ce quadrilatère, elles se coupent toutes au point G, nous avons alors cette figure :

< http://img224.imageshack.us/img224/75/partageee6ii.jpg>

D'après le théorème du partage de triangle, on a :

1 = 2 (médiane issue de G, donc deux triangles de même aire) ; 4 = 3 ; 5 = 6 ; 8 = 7

Alors : 1 + 8 + 4 +5 = 2 + 3 + 6 +7,

Donc : d + b = c + a, soit a + c = b + d.

Alors c = (b + d) - a

[matthias]

Envoyé par pruno_d_agen

Mais pouvait-on trouver c à l'aide d'une autre manière que la mienne ? (je prends tout moi ^^)

Pas de manière fondamentalement différente je pense, il faut toujours retromber sur ac=bd de toute façon.
On peut toujours s'amuser à exprimer les aires avec des produits vectoriels, ou inclure la quadrilatère dans un parallélogramme, mais ça ne simplifie pas vraiment la démonstration.

[azt]

On peut modifier le quadrilatère en ne conservant que les aires,

Pour cela il suffit de remarquer que l'aire ne dépend que de la hauteur et de la base,
ce qui permet de dessiner un quadrilatère équivalent avec des diagonales perpendiculaires.
Ce nouveau quadrilatère peutêtre inscrit dans un rectangle d'aire double où chaque petit rectangle a une aire double de chaque triangle.
Une fois que l'on a ce rectangle avec les quatres petits rectangle, la régle de trois s'impose d'elle même.