équa diff vectorielle, type de mouvement

planck · 21/12/2005, 12h38

bonjour à tous!

dans un exercice, je suis amené à déterminer le type de mouvement d'une particule régie par l'équa diff suivante:
$\frac{d^2OP}{dt^2} + \omega_c\frac{dOP}{dt}\times e_z+\omega_0^2OP=0$

avec OP le vecteur position, ez un vecteur de la base (mvt d'un electron ds un champ magnetostatique Bo*ez et de force electrostatique radiale); on considere $\omega_c<<\omega_0$

on me demande de determiner les mvts projetés sur Ox, Oy et Oz

selon Oz, aps de pb, ça se réduit à un oscillateur harmonique, à cause du produit vectoriel; en revanche, sur Ox et Oz, je ne sais pas trop comment faire... j'ai essayé d'écrire les equatiosn différentielles selon Ox et Oy, mais il y a du vy et du vx qui apparaissent, et je ne peux pas séparer ces 2 equas diffs...

quelqu'un aurait-il une petite idée? merci beaucoup!

**Rincevent** · 21/12/2005, 12h49

salut,

y'a une technique assez usuelle pour ce genre de chose: tu introduis une "vitesse complexe" dont la partie réelle est vx et la partie imaginaire vy. Tu écris ensuite tes deux équations comme une seule équation complexe et c'est presque fini

planck · 21/12/2005, 20h02

oki! bah je vais essayer avec ça:

j'obtiens alors
$\frac{d^2x_t}{dt^2} + \omega_c\frac{dy_t}{dt}+\omega _0^2x_t=0$
$\frac{d^2y_t}{dt^2} - \omega_c\frac{dx_t}{dt}+\omega _0^2y_t=0$

je pose z= x+i*y, et en additionnant les deux équations:

$\frac{d^2Z_t}{dt^2} - \omega_c\frac{dconj(Z_t)}{dt}+ \omega_0^2Z_t=0$
(pour les dérivées premières, je remplace y par i*y°, ou bien c'est en multipliant la deuxième équation par i, et dans ce cas j'ai du -i*Z° ?)

ensuite, je cherche des solutions sous la forme A*exp(r*i*t), ça me donne l'équation du second dégré en r, que je résouds, et ensuite je fais une combinaison linéaire A*exp(r1*i*t) + B*exp(r2*i*t), et je prends les parties réelles et imaginaires respectives (qui doivent pas être très sympa....)

est-ce que la méthode est juste? merci de prendre le temps lire!

planck · 22/12/2005, 16h12

nan? personne ne serait prêt à confirmer ou infirmer ce que je dis?

(désolé de me montrer légèrement insistant....)