Nombres pyramidaux 1eS

ptitecurieuse · 28/01/2006, 10h29

Bonjour à tous,
Je viens de commencer les suites mais je ne maîtrise pas encore ! donc j'aimerais bien que vous m'aidiez pour ce problème car je me mélange tout entre un et n ! C'est un problème assez guidé mais j'ai du mal avec la suite vous verrez je vous donnerais mes idées à la fin de l'énoncé !

On suppose que la suite des entiers naturels est écrite dans un tableau selon la disposition en pièce jointe.

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Nom : math ex.jpg
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Objectif : préciser la position de 2001 dans le tableau.

1 Etudions la position de ces nombres pour voir comment il est possible de repérer l'un deux. Les nombres sont écrits en ligne et chaques ligne contient des cases. On peut donc repérer un nombre en disant il est dans la ligne n et dans la p-ième case de celle-ci en partant de la gauche. ( par exemple 14 est dans la 4e ligne et dans la 5e case en partant de 10).
Voyons comment sont disposées les cases par ligne : ligne 1, une case ; ligne 2, 3 cases; ligne 3, cinque cases. Il semble que le nombre de cases par ligne est en progression artihmétique.
Appelons don un le nombre de cases de la n-ième ligne.

Que pouvez vous dire de la suite (un)? Préciser ses éléments caractéristiques.

Mois j'avais pensé à fair n = un-1 + 2
car si je prend des exemple la ligne 1 est égale a
n1 = un0 + 2
n1 = 0+2 quoique non ça marche pas pour le 1 mais pour
n2 = un1 + 2= 1 + 2 = 3
n3 = un2 + 2 = 3 + 2 = 5 ça marche
le problème c'est qu'on me parle de la suite (un) donc je pensais changer les termes de cotés mais ça me donne
un-1 = n - 2
donc un = n + 2 - 2 + 2 = n + 2
et si je prend un ex u2 = 2 + 2 = 4 (car u2 est dans la deuxième ligne)donc ça ne marche !
j'espère que vous comprendrez ce que je vous dit car c'est aussi confus ici que dans ma tête et j'ai vraiment du mal je compte sur vous pour me clarifier cet exercice !
merci d'avance.

nissart7831 · 28/01/2006, 10h56

Citation:

Posté par ptitecurieuse

Voyons comment sont disposées les cases par ligne : ligne 1, une case ; ligne 2, 3 cases; ligne 3, cinque cases. Il semble que le nombre de cases par ligne est en progression artihmétique.
Appelons don un le nombre de cases de la n-ième ligne.

Que pouvez vous dire de la suite (un)? Préciser ses éléments caractéristiques.
.

Bonjour,

utilise ce qu'on te donne dans l'énoncé. Vous êtes guidés, il faut en profiter.
Pour comencer ce problème, il faut savoir de quoi on parle. Alors,

n reprèsente le numéro de la ligne de ta pyramide en partant du sommet et
$u_n$ représente le nombre de cases constituant la ligne numéro n en partant du sommet

On te dit qu'"il semble le nombre de cases par ligne est en progression artihmétique".
Qu'est ce que ça veut dire pour toi? Tu dois avoir remarqué comment progresse le nombre de cases d'une ligne à l'autre de la pyramide. Traduis ça en termes mathématiques avec les définitions qu'on a posé pour n et $u_n$

ptitecurieuse · 28/01/2006, 11h17

Citation:

Posté par nissart7831

Qu'est ce que ça veut dire pour toi? Tu dois avoir remarqué comment progresse le nombre de cases d'une ligne à l'autre de la pyramide. Traduis ça en termes mathématiques avec les définitions qu'on a posé pour n et $u_n$

J'avais pensé à une suite arithémtique de raison 2 car d'une ligne à la suivante on ajoute toujours deux cases c'est pour ça que j'avais mis + 2 ! mais je n'arrive pas a organiser mes nombres !
$u_n$ = $u_n - 1$ + 2
ça donnerai ça alors ? mais la je n'ai plus n tout seule représentant le numéro de la ligne ?

martini_bird · 28/01/2006, 11h29

Salut,

le même problème a été posté très récemment.

Cordialement.

nissart7831 · 28/01/2006, 11h34

Voilà tu as bien compris : tu as 2 cases de plus à chaque ligne et donc tu as bien exprimé cela mathématiquement :

$u_n = u_{n-1} + 2$

Ton n est toujours là, il est le n contenu dans $u_n$ .
Pour le moment, tu n'as pas encore exprimé directement $u_n$ en fonction de n, mais tu as déjà une relation entre les nombres de cases de deux lignes consécutives.
C'est une suite arithmétique, donc tu sais exprimer le terme général de cette suite, c'est-à-dire, exprimer $u_n$ en fonction de n. Regarde dans ton cours !!

Et donne, comme cela t'est demandé, les caractéristiques de la suite : premier terme, $u_n$ en fonction de n, ...

ptitecurieuse · 28/01/2006, 11h50

Citation:

Posté par nissart7831

$u_n = u_{n-1} + 2$

$u_n$ en fonction de n, mais tu as déjà une relation entre les nombres de cases de deux lignes consécutives.
C'est une suite arithmétique, donc tu sais exprimer le terme général de cette suite, c'est-à-dire, exprimer $u_n$ en fonction de n. Regarde dans ton cours !!

Et donne, comme cela t'est demandé, les caractéristiques de la suite : premier terme, $u_n$ en fonction de n, ...

Dans mon cours j'ai deux relations mais je pencherais plutôt vers la première comme je n'ai pas de $u_0$ ( la première ligne etant $u_1$ ) !
donc ça me ferait $u_n$ = $u_p$ + (n-p) r
mais le truc c'est que dans l'énoncé au debut il me disait que p etait un nombre d'une ligne ! mais la dans ma relation j'ai quoi comme p ? le premier terme serait $u_1$ = 1 , la raison 2
et les caractériqtiques je ne sais pas exactement ce que c'est il faut en dire d'autre ?

nissart7831 · 28/01/2006, 11h58

Citation:

Posté par ptitecurieuse

$u_n$ = $u_p$ + (n-p) r

Cette relation est générale et signifie simplement que tu peux exprimer le terme $u_n$ de ta suite arithmétique en fonction du terme $u_p$ et de la raison r=2 de ta suite arithmétique.
Comme tu dis justement, tu commences à $u_1 = 1$ . Donc pourquoi ne pas exprimer $u_n$ en fonction de $u_1$ avec la relation ci-dessus. Qu'est ce que cela donne ?

Pour les caractéristiques, tu peux donner le type de la suite, son premier terme et l'expression de $u_n$ en fonction de n.

ptitecurieuse · 28/01/2006, 12h00

Citation:

Posté par martini_bird

Salut,

le même problème a été posté très récemment.

Cordialement.

d'accord mais il a été partiellement traité moi comme formule pour les additions je n'ai pas ça $\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$ car je ne sais pas à quoi correspondent chaque terme mais en formule générale
S =( n + 1 ) ( $u_0$ + $u_n$ ) / 2
et j'en suis encore à la recherche de mon n

ptitecurieuse · 28/01/2006, 12h05

Citation:

Posté par nissart7831

Cette relation est générale et signifie simplement que tu peux exprimer le terme $u_n$ de ta suite arithmétique en fonction du terme $u_p$ et de la raison r=2 de ta suite arithmétique.
Comme tu dis justement, tu commences à $u_1 = 1$ . Donc pourquoi ne pas exprimer $u_n$ en fonction de $u_1$ avec la relation ci-dessus. Qu'est ce que cela donne ?

Pour les caractéristiques, tu peux donner le type de la suite, son premier terme et l'expression de $u_n$ en fonction de n.

$u_n$ = $u_1$ + ( n - p ) r
$u_n$ = 1 + 2n -2
$u_n$ = 2n -1
et j'ajoute suite arithmétique

nissart7831 · 28/01/2006, 12h08

Citation:

Posté par ptitecurieuse

$u_n$ = $u_1$ + ( n - p ) r
$u_n$ = 1 + 2n -2
$u_n$ = 2n -1
et j'ajoute suite arithmétique

Oui, suite arithmétique de raison 2, de premier terme 1 et d'expression ...!

Juste une précision de rédaction, dans ta première ligne tu as pris p = 1, donc il faut aussi le remplacer dans (n-p).

ptitecurieuse · 28/01/2006, 12h23

Citation:

Posté par nissart7831

Oui, suite arithmétique de raison 2, de premier terme 1 et d'expression ...!

Juste une précision de rédaction, dans ta première ligne tu as pris p = 1, donc il faut aussi le remplacer dans (n-p).

Ok merci ça va beaucoup m'aider pour la fin de l'exercice ! Normalement je devrais m'en sortir mais j'espère pouvoir te retrouver lundi ( car je n'ai pas math avant mardi et j'ai des devoirs à préparer pour avant ) si je ne parvins pas toute seule jusqu'au bout...

nissart7831 · 28/01/2006, 12h27

Citation:

Posté par ptitecurieuse

Ok merci ça va beaucoup m'aider pour la fin de l'exercice ! Normalement je devrais m'en sortir mais j'espère pouvoir te retrouver lundi ( car je n'ai pas math avant mardi et j'ai des devoirs à préparer pour avant ) si je ne parvins pas toute seule jusqu'au bout...

OK, à lundi peut être et bon courage !

ptitecurieuse · 30/01/2006, 19h09

Re bonjour,
comme prévu je reviens avec la fin de l'exercice ! je bloque sur une démonstration où je sollicite votre aide.

2- Continuons nos observations. Une ligne contients des nombres consécutifs. Donc pour savoir si un nombre est dans la ligne n, il suffit de savoir s'il est compris entre le premier et le dernier nombre de cette ligne. on note respectivement $a_n$ et $b_n$ , ces nombres.

a) justifiez que $a_1$ = $b_1$ puis que $a_n+1$ = $b_n$ + 1 ( n supérieur ou egal à 1). Il suffit donc d'étudier la suite ( $b_n$ ).
Or $b_1$ = 1, $b_2$ =4= $b_1$ +3 car il y a trois cases dans la ligne 2.
b) Prouvez que $b_n$ = $b_n-1$ + $u_n$ et déduisez en que $b_n$ = $u_1$ +...+ $u_n$ .
c) ( c'est la que je bloque) Démontrer alors que $b_n$ =ncarré ( n supérieur ou egal a 1) et que $a_n$ =ncarré - 2n + 2.

pour le a) et le b) c'est juste des démonstration et je ne pense pas vous pénalisez si je ne vous montre pas comment je m'y suis prise car les relations sont l'essentiel mais si vous voulez je peux vous le refaire. Pour le c) j'avais pensé utiliser ma relation
$u_1$ +...+ $u_n$ = (n+1)( ( $u_0$ + $u_n$ )/2)
mais j'obtiens n(n+1) alors qu'il faudrai juste ncarré. Je pensais que la relaion etait juste mais on ne peut pas suprimer le +1 ? ou alors quel raisonnement dois-je suivre pour démontrer cette égalité ? j'espère que vous pourrez m'aider car j'ai essayé plusieurs autres métodes qui n'aboutissent pas et je ne vois pas comment faire.

nissart7831 · 30/01/2006, 22h03

Citation:

Posté par ptitecurieuse

c) ( c'est la que je bloque) Démontrer alors que $b_n$ =ncarré ( n supérieur ou egal a 1) et que $a_n$ =ncarré - 2n + 2.

Pour le c) j'avais pensé utiliser ma relation
$u_1$ +...+ $u_n$ = (n+1)( ( $u_0$ + $u_n$ )/2)
mais j'obtiens n(n+1) alors qu'il faudrai juste ncarré. Je pensais que la relaion etait juste mais on ne peut pas suprimer le +1 ? ou alors quel raisonnement dois-je suivre pour démontrer cette égalité ? j'espère que vous pourrez m'aider car j'ai essayé plusieurs autres métodes qui n'aboutissent pas et je ne vois pas comment faire.

Bonsoir,

ton erreur est que tu utilises une formule fausse.

Ta suite commence en fait à $U_1$ (revois les posts précédents). Il n' y a pas de $U_0$ .
Et le terme dans ta formule où tu mets (n+1) doit représenter le nombre de termes de la suite que tu comptes. Et ici, de $U_1$ à $U_n$ , il n'y en a pas n+1 !

Donc refais la bonne formule adaptée à ton cas, et, après calcul, tu verras que tu tombes bien sur le n².

ptitecurieuse · 30/01/2006, 22h04

svp un petit peu d'aide

j'aimerais juste savoir sur quoi m'appuyer pour ma demonstration ....

nissart7831 · 30/01/2006, 22h09

... et $a_n$ se déduit en utilisant l'expression que tu viens de trouver pour $b_n$ .

ptitecurieuse · 30/01/2006, 22h14

J'ai une autre formule pour les termes consécutifs qui me dit que la somme des entiers naturels est égal à ( n(n+1) ) / 2 donc ça devrait me donner des calculs justes mais maintenant en dehors de l'exercice je me demande comment on obtient le n+1 dans l'autre formul je ne vois pas ce que ça change de partir de $U_0$ ou $U_1$ ?

ptitecurieuse · 30/01/2006, 22h16

Citation:

Posté par nissart7831

... et $a_n$ se déduit en utilisant l'expression que tu viens de trouver pour $b_n$ .

oui ça j'avais vu c'est avec le a°) qu'on le trouve !