Géométrie dans l'espace , vecteurs , 1ère S - Forum Mathématiques du collège et du lycée

StaN_ · 04/02/2006, 12h04

Bonjour à tous !

J'ai la solution de mon devoir de maths , du moins j'espère que c'est juste .
Mais il se trouve que mon professeur est très pointilleux , donc j'aimerais avoir votre avis quant à la rédaction et à la précision de la réponse.

Voici le devoir et ses réponses :

Soit (O;i;j;k) un repère cartésien de l'espace; on considère l'ensemble E des points M(x;y;z) dont les coordonnées vérifient l'équation x - 2y+ 3z - 5 = 0

A-Première Partie

Soit A(7; 1 ; 0), B(5 ; 0 ; 0) et C(2 ; 0 ; 1) trois points de l'espace.

1) Vérifier que A, B et C appartiennent à l'ensemble E
A: 7-2-5=0
B: 5-0-0-5=0
C: 2-0+3-5=0

Donc A,B,C appartiennent à l'ensemble E

2) Démontrer que les points A, B et C déterminent un plan qui sera noté P
3 points déterminent un plan à condition qu'ils ne soient pas alignés. Il faut donc démontrer par exemple que les vecteurs $\vec {BA}$ et $\vec {BC}$ ne sont pas colinéaires.
Calculons les coordonnées de ces vecteurs :
$\vec {BA} : (x_A-x_B, y_A-y_B,z_A-z_B)=(2,1,0)$
$\vec {BC} : (-3,0,1)$
Si ces deux vecteurs étaient colinéaires, il existerait un réel k tel que $\vec {BC}=k\vec {BA}$ . En regardant la troisième coordonnée, on devrait avoir 1=k x 0, ce qui est impossible donc les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points ne sont donc pas alignés et déterminent un plan.

B-Deuxième Partie

1)Calculer les coordonnées du vecteur BM en fonction de y et z
Je fais la question en supposant que M appartient à E

Coordonnées de $\vec {BM} : (x-5,y,z)$ .
Si M appartient à E, x-5=2y-3z donc $\vec {BM} : (2y-3z,y,z)$

2) En déduire l'écriture de BM comme une combinaison linéaire des vecteurs BA et BC
Il faut trouver 2 réels a et b tels que $\vec {BM} =a\vec {BA} +b\vec {BC}$ ce qui donne en termes de coordonnées :
$\left { 2y-3z=2a-3b \\y=a \\ z=b \right$ donc a=y et b=z
$\vec {BM} =y \vec {BA} +z \vec {BC}$

3) Que peut on en conclure ?
Pour tout point M de l'ensemble E, le vecteur $\vec {BM}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec {BA}\ et\ \vec {BC}$ donc tout point M de E appartient au plan P.

C-Troisième Partie

1) On considère dans cette question un point M(x ; y ; z) de l'espace et on suppose que M appartient à P.
Démontrer que les coordonnées de M vérifient l'équation x-2y+3z = 0
Le vecteur $\vec {BM}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec {BA}\ et\ \vec {BC}$ , c'est-à-dire qu'il existe 2 réels a et b tels que $\vec {BM}=a\vec {BA} +b\vec {BC}$ ce qui donne en termes de coordonnées :
$\left { x-5=2a-3b \\ y=a \\ z=b \right$
soit $x-5=2y-3z$ , $x-2y+3z-5=0$

2) Que peut-on en conclure pour l'ensemble E?
On a montré que tout point M du plan P appartient à E et dans la deuxième partie que tout point de E est dans le plan P donc l'ensemble E est le plan P

Tout ce qui est en bleu correspond aux réponses .
Ainsi , est-ce que quelqu'un pourrait vérifier les réponses , leur précision dans les détails et la rédaction?

Merci d'avance

Cordialement , StaN_

martini_bird · 04/02/2006, 15h33

Salut,

j'ai supprimé le doublon.
J'ai essayé de fusionner le message de matthias avec cette discussion mais il apparaissait en premier, ce qui aurait violé le principe de causalité...

Je reproduit donc son intervention.

Pour la modération.
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Citation:

Posté par matthias

Citation:

Posté par StaN_

Si ces deux vecteurs étaient colinéaires, il existerait un réel k tel que [sym]\vec {BC}=k\vec {BA}[/sym].

Seulement en remarquant que $\vec{BA}$ est non nul, sinon les vecteurs pourraient être colinéaires sans qu'il existe un tel réel k.