triangle rectangle

Syllys · 04/03/2006, 21h51

bonsoir ,
je sollicite votre aide pour résoudre un problème qui me tient à coeur :
soit un triangle ABC , d'angles a ,b et c
la question est de montrer que sin²a+sin²b+sin²c=2 si et seulement si ABC est rectangle .

les questions precedentes montraient que sin²a=sin²b+sin²c-2*sin a sin b cos c (avec al kashi + formule des sinus).

pour le sens ABC rect => ... ca va mais je ne vois pas comment faire l'autre sens .

merci bien amis mathematiciens pour votre aide !

GuYem · 04/03/2006, 22h40

Suppose l'égalité vérifiée et injecte la dans la formule montrée dans les questions précédentes.

Tu devrait arriver à une identité qui impose que l'un des angles a,b ou c soit droit.

Syllys · 04/03/2006, 22h54

je fais:
sin²a=2-sin²a-2sin b sin c cos a
2sin²a=2-2sin b sinc cos a
sin²a=1 - sinb sin c cos a
0= cos a (cos a - sin b sinc )
cos a =0 ou cos a = sin b sin c et ? je vois pas ...

GuYem · 04/03/2006, 23h26

Toutes tes éuqations sont justes ; mais tu n'as pas encore utilisé l'hypothèse !

Il faut que tu utilises quelque part que sin2a+sin2b+sin2c=2 sinon tu ne risques pas de montre que
sin2a+sin2b+sin2c=2 => ABC rectangle

Syllys · 04/03/2006, 23h31

ben, si je suis parti de la :
sin²a+sin²b+sin²c=2
donc sin²b+sin²c=2-sin²a
donc puisque sin²a=sin²b+sin²c-sin b sin c cos a , sin²a=2-sin²a- sin b sinc cos a et la suite c'est le topic d'avant ...

GuYem · 04/03/2006, 23h52

Autant pour moi (no comment)

Bon alors je crois qu'en fait tu as plus ou moins fini, quand tu arrives à :
cos a =0 ou cos a = sin b sin c

Si cos a qui est nul alors le triangle est rectangle en A (a c'est l'angle opposé à A je suppose ?). Sinon essayer de faire "tourner les lettres" me parait une bonne idée.

Syllys · 04/03/2006, 23h59

oui je suis d'accord avec toi , mais que faire avec le cas cos a = sinb sinc ? il faut montrer que c'est impossible , je pensais utiliser a= pi - (b+c) et tomber sur un truc absurde mais je tourne en rond ....

Syllys · 05/03/2006, 00h11

en fait je crois que j'ai trouvé :
cos a = sin b sin c
=>cos²a= sin²b sin²c
or cos²a = 2 -sin²b -sin²c

donc sin²b sin²c = 2 -sin²b -sin²c
soit sin²b +sin²c + sin²b sin²c=2

or 2> (sin b + sin c)²=sin²b +sin²c+2 sin²b sin²c >=sin²b +sin²c + sin²b sin²c=2
impossible donc cos a = 0.
je sais pas si c'est ca , ca me parrait bien compliqué . quand penses tu ?

Syllys · 05/03/2006, 00h16

Citation:

Posté par Syllys

or cos²a = 2 -sin²b -sin²c

de toute facon c'est meme pas vrai , je dis n'importe quoi .

Syllys · 05/03/2006, 15h22

j'renvoie un p'tit coup si quelqu'un peut m'aider à montrer qu'on peut pas avoir cos a = sinb sin c ce serait super sympa .merci

pgeod · 05/03/2006, 15h34

la nuit a été courte, semble-t-il ?
la résolution du pb a bien démarré...
le reste est plutôt simple, si on en revient à la relation
élémentaire entre les angles d'un triangle : A+B+C = pi
Il te reste effectivement à demontrer à quelles conditions sur A, B ou C, on a cosA = sinB sinC (1)
un petit bout de résolution pour avancer :
cosA = cos (pi - (B+C))
= - cos (B+C) ...> à développer (cos d'une somme)
....> à remplacer dans l'équalité (1)
....> simplifier l'égalité (1)
....> conclure sur valeur de B et C
facile !!

Syllys · 05/03/2006, 15h42

donc on arrive à cos b cos c =0 donc cos b= 0 ou cos c=0 ; ouf le triangle est rectangle.
merci beaucoup pgeod , et guyem aussi ; ca commencait à gravement m'em... cette histoire de sinus et cosinus . ca y est je vais pouvoir dormir ....

agafra · 11/09/2007, 23h02

Je n'ai pas tout suivi, est-il possible d'être plus détaillé :

sin2 A = 2 - sin2 B - sin2 C je ne comprends pas la suite.

Merci.