Montrer qu'une famille est génératrice

yvesbagot · 08/03/2006, 13h17

Bonjour a tous, j'ai besoin d'aide pour un exercice de devoir, je suis en 1ere année de licence de physique.

J'ai un exercice ou on me donne E l'ensemble des fonctions deux fois dérivables, et F l'ensemble des fonctions f de E telles que:

f''+2f'+f= O (fonction nulle)

on me demande de prouver que
f1(x)= exp(-x) et
f2(x)= x*exp(-x) appartiennent a F

et on me demande d'en déduire que {f1,f2} et une famille génératrice.
j'arrive facilement a montrer que f1 et f2 sont dans F, mais je ne sais pas comment m'y prendre pour montrer qu'elles forment une famille génératrice.
théoriquement je dois montrer que toute fonction de F se met sous la forme de combinaison linéaire de f1 et f2, mais je ne sais pas comment exprimer de maniere générale une fonction doublement dérivable...

J'espere avoir été clair, si vous pouver m'aiguiller, je vous en remercie d'avance

GuYem · 08/03/2006, 13h52

Salut

Saurais tu donner la dimension de F en tant qu'espace vectoriel ?

Si oui tu te rendrais compte qu'il suffit de montrer que f1 et f2 sont linéairement indépendantes dans E pour obtenirle fait qu'elles le génèrent.

yvesbagot · 08/03/2006, 21h30

J'ai tres envie de dire que F est de dimension 2, comme ca en prouvant que F est libre; j'obtiens que c'est une base, je crois que c'est la piste que tu m'indique, mais je n'arrive pas a montrer que F est de dimension 2..
un autre indice ?

GuYem · 08/03/2006, 21h43

Trés bonne idée de dire que F est de dimension 2, que penses-tu de cette application entre les deux espaces vectoriels $\mathbb{R}^2$ et $F$ :
$\displaystyle \ \ \mathbb{R}^2 \ \ \rightarrow \ F$
$\displaystyle (y_1 , y_2) \mapsto \ f$

où f est une (la ?) solution de ton équation telle que $f(0)=y_1$ et $f'(0) = y_2$

yvesbagot · 08/03/2006, 22h59

Cette application est surjective mais ne me semble pas injective ( il existe plusieurs fonctions qui ont meme valeur et meme pente en 0 non ?)
Si elle n'est pas bijective, je ne peux rien conclure sur dim F ,si ?

en meme temps que j'écris ca, je me rappelle que E est défini par les fonctions sur [0,1], cela peut il changer quelque chose ?

aze555666 · 08/03/2006, 23h14

Pour démontrer que {f1,f2} est une famille génératrice, il faut que tu fasses la démonstration en deux parties:
mq f CL de f1 et f2 <=> f solution de (E)
1)implication directe. soient lambda, mu € IR, tu regarde si lambda*f1+mu*f2 est solution.
2)implication réciproque: soit f € F(E,E), montre que f s'écrit sous la forme d'une CL de f1 et f2.

GuYem · 08/03/2006, 23h15

L'apllication m'a pourtant l'air injective, n'oublie pas que l'espace d'arrivée est F, ie l'ensemble des solutions de ton équations différentielle. Il me semble qu'il n'y a qu'une seule solution qui passe par point donné y_1 avec une pente donnée y_2.
Il te reste ensuite à démontrer que l'application est linéaire pour conclure que la dimension de F est celle de R^2.

yvesbagot · 09/03/2006, 13h09

aze je comprends ce que tu veux dire, mais qu'est-ce que je prends comme fonction f, il me faut bien une expression pour montrer qu'elle vaut lambda*f1 +mu*f2

Guyem merci a toi ca correspond a la question qui suit..donc l'application dont on parlait est bijective et donc si c'est une application linéaire, F a meme dimension que R² c bien ca ?

GuYem · 09/03/2006, 13h34

Oui c'est ça, mais si c'est la question d'après, il ne faut pas mettre la charrue avant les boeufs !

**homotopie** · 09/03/2006, 14h34

Citation:

Posté par GuYem

Trés bonne idée de dire que F est de dimension 2, que penses-tu de cette application entre les deux espaces vectoriels $\mathbb{R}^2$ et $F$ :
$\displaystyle \ \ \mathbb{R}^2 \ \ \rightarrow \ F$
$\displaystyle (y_1 , y_2) \mapsto \ f$

où f est une (la ?) solution de ton équation telle que $f(0)=y_1$ et $f'(0) = y_2$

Elle est injective : il y a beaucoup de fonctions f et g égales mais qui différent pour leur valeur en 0 ou par la valeur de leur dérivée en 0 ?

La question est de savoir si cette application est surjective et avant même de savoir si elle est bien définie (ou plutôt de la définir plus rigoureusement en utilisant les deux solutions exhibées par exemple)

Pour s'en sortir, soit un théorème d'existence et d'unicité de solutions d'équations différentielles (contenant au moins les linéaires du second ordre) a déjà été donné en cours. Dans ce cas, il suffit de l'utiliser conjointement avec cette application.

Sinon, à montrer "à la main" que l'équation n'admet qu'une solution telle que f(0)=y0 et f'(0)=y1.
Soient deux solutions de ce type f et g, leur différence h vérifie la même équation et h(0)=h'(0)=0.
Maintenant, la vraie astuce : on pose i(x)=h(x)+h'(x), puis successivement :
a) montrer que la fonction i vérifie une équation différentielle du premier ordre (E)
b) déterminer les solutions de (E)
c) en déduire que i=0
d) en déduire que h=0.

yvesbagot · 14/03/2006, 21h07

Merci a tous, j'ai de quoi me débrouiller avec tout vos indices..
encore merci de votre aide rapide et efficace