Division par 0 - Forum Mathématiques du collège et du lycée

zélion · 09/03/2006, 16h06

Bonjour !
Je dis tous les jours que la division par zéro est impossible, que je raisonne avec cet argument mais j'avoue que je ne sais pas pourquoi. Qui pourrait m'aider?
Merci !

nissart7831 · 09/03/2006, 16h17

Bonjour,

Tu peux peut-être commencer par te poser la question : que représente une division par un nombre?

(http://fr.wikipedia.org/wiki/Divisibilit%C3%A9)

Et aussi que signifierait 'diviser par 0' (définition, conséquences) ?

Evil.Saien · 09/03/2006, 17h22

Salut,

Pour etre plus correct et surtout pour mieux comprendre, c'est pas "impossible" de diviser par 0, c'est "non definie".

Ce qui signifie que 2 / 0, on a le droit de l'ecrire si ca nous chante, mais c'est egale a rien.

DamaD · 09/03/2006, 17h35

Salut !

Notre prof de maths nous à dit qu'on ne pouvait pas diviser par 0 car :

on prends un chiffre quelconque, 2 par ex.

2/1 = 2
2/0.5 =4
2/0.05 = 40
...

Il y a une infinitée de chiffre jusqu'a 0, or plus on divise "près" de 0, plus le résultat est grand : si on atteint 0, on aura un résultat infini, d'où diviser par 0 = l'infini ....

GuYem · 09/03/2006, 17h41

Salut.

La non divisibilté par zero se comprends mieux quand on fait un peu de théorie des groupes, corps et autres trucs tordus, mais je crois qu'on peut entrevoir le problème avant de la manière suivante :

Diviser par un nombre a c'est en fait multiplier par son inverse 1/a. Maintenant qu'est-ce-que l'inverse de a ? Et bien c'est un nombre b qui vérifie a*b = 1.

Du coup diviser par zero ce serait multiplier par l'inverse de 0, l'inverse de 0 étant un nombre b qui vérifie 0*b = 1.

Un tel nombre b me parait difficile à trouver n'est-il-pas ?

lolouki · 09/03/2006, 19h19

Ou alors repense tout simplement a la division de primaire ..

Pour diviser 78 par 7 (bon ok on fait pas ca en primaire ^^) tu te dis en 78 combien de fois 7 ?

als pour diviser 78 par 0 , en 78 combien de fois 0 ? bonne question ... ^^

cancrino · 09/03/2006, 21h25

il me semble que l'impossibilité de division apr 0 est un axiome (donc indémontrable), ceci dit je nen suis pas certaine,
en tout cas si il existe a et b (différents de 0) tels que a/0 =b ceci veut dire qu'il existe un nombre différent de 0 qui multiplié par 0 donne un autre nombre différent de 0...
Finalement la notion de division par 0 ne prend sens quavec les limites, ce qui est plutot logique (enfin vous me direz, cets des maths!

)

GuYem · 09/03/2006, 21h32

Citation:

Posté par cancrino

il me semble que l'impossibilité de division apr 0 est un axiome (donc indémontrable), ceci dit je nen suis pas certaine,
en tout cas si il existe a et b (différents de 0) tels que a/0 =b ceci veut dire qu'il existe un nombre différent de 0 qui multiplié par 0 donne un autre nombre différent de 0...
Finalement la notion de division par 0 ne prend sens quavec les limites, ce qui est plutot logique (enfin vous me direz, cets des maths!

)

C'est à peu près ce que j'ai dit plus haut.

L'impossibilité de diviser par zero n'est pas un axiome, ça arrive naturellement dans l'étude des anneaux.

cancrino · 09/03/2006, 21h41

a oui?
je pourrais comprendre ca si je me plonge un peu plus dans le bouquin dalgebrede MPSI que jai acheté???
je suis tres curieuse!

GuYem · 10/03/2006, 09h34

Citation:

Posté par cancrino

a oui?
je pourrais comprendre ca si je me plonge un peu plus dans le bouquin dalgebrede MPSI que jai acheté???
je suis tres curieuse!

Si tu es curieuse et que tu n'as pas peur de l'abstraction oui. Regarde en particulier les définitions de groupes, anneaux, corps et surtout la distributivité de la mulitplication sur l'addition dans un anneau qui implique que 0*n'importe quoi = 0.

Bloud · 10/03/2006, 09h43

Salut!

Je me demande : est-ce que l'on pourrait définir la division par zéro dans R barre. Dans la mesure où la multiplication par zéro n'est pas définie partout ( $0\times+\infty$ par exemple), cela pourrait poser problème ; mais est-ce que ce serait possible ?

Merci d'avance

zinia · 10/03/2006, 10h06

Bonjour,
R barre présente un intérêt en topologie, aucun sur les structures de groupe ou de corps.
Pour revenir à la question initiale, il me semble que le problème n'est pas "pourquoi on ne peut pas diviser par zéro" mais "pourquoi on peut diviser par 2".
Exemple : M et Mme Dupond ont trois enfants, ils divorcent et décident de prendre en charge chacun la moitié des enfants. pas possible.
L'introduction des nombres rationnels a permis de rendre possible l'inversion de la multiplication pour tous les nombres sauf zéro.
On pourrait bien sûr rajouter un nombre supplémentaire (l'infini) qui rendrait possible cette division comme le propose Bloud mais le coût en serait énorme : plus de possibilité de déplacer des termes dans une égalite, par exemple x+a = y + a ne permet plus d'affirmer que x=y
etc

zélion · 10/03/2006, 14h15

Citation:

Posté par GuYem

Salut.

La non divisibilté par zero se comprends mieux quand on fait un peu de théorie des groupes, corps et autres trucs tordus, mais je crois qu'on peut entrevoir le problème avant de la manière suivante :

Diviser par un nombre a c'est en fait multiplier par son inverse 1/a. Maintenant qu'est-ce-que l'inverse de a ? Et bien c'est un nombre b qui vérifie a*b = 1.

Du coup diviser par zero ce serait multiplier par l'inverse de 0, l'inverse de 0 étant un nombre b qui vérifie 0*b = 1.

Un tel nombre b me parait difficile à trouver n'est-il-pas ?

Salut GuYem !
Ta petite démonstration me suffit amplement !

Bloud · 10/03/2006, 19h42

Citation:

Posté par zinia

On pourrait bien sûr rajouter un nombre supplémentaire (l'infini) qui rendrait possible cette division comme le propose Bloud mais le coût en serait énorme : plus de possibilité de déplacer des termes dans une égalite, par exemple x+a = y + a ne permet plus d'affirmer que x=y
etc

Oui effectivement. Enfin, c'était vraiment une question en l'air car j'avais bien vu qu'introduire la division par zéro était "dangereux"

. Je cherchais juste à savoir si ça avait déjà été envisagé ou même défini, histoire d'agrandir ma culture mathématique.

Merci pour la réponse en tout cas.

nairb · 13/03/2006, 17h25

tu peut diviser par 0 il faut juste te demander si c est un 0+ ou un 0-
dans le 1 er cas (n represente un entier relatif)n/0+=+infini
dans le 2 nd cas n/0-=-infini

**kNz** · 13/03/2006, 17h31

On ne peut pas diviser par 0 qui représente un terme ni positif ni négatif..

charly · 13/03/2006, 18h27

il me semble que certains ensemble permettent une division par 0 , mais j'en sais pas plus , et dans le cas general la demonstration de Guyem dit tout

Greyplayer · 14/03/2006, 20h27

un autre moyen de voir la division est de considerer l'integrité:a*b=0<=>a=0 ou b=0
si a*c=b*c, diviser par c équivaut à dire a=b
(a-b)*c=0
ou bien c<>0 et a=b
ou bien c=0 et on ne peut rien dire, on peut avoir a<>b

à noter que cette explication ne fonctionne pas dans les anneaux non intègres(je pense en particuliers aux matrices), mais c'est juste pour faire sentir les choses