Q est dénombrable

max2357 · 11/03/2006, 19h18

Bonjour,

J'aimerais beaucoup trouver une démonstration montrant que Q est démontrable. Etant une partie dense dans R, je ne vois pas comment faire.
Juste pour la culture...
___________________
La succession de chercheurs est comparable à un seul homme qui apprend indéfiniment. Blaise Pascal

**Rincevent** · 11/03/2006, 19h20

s'lut...

repense à sa définition et cherche une bijection avec un autre espace dont tu montres trivialement qu'il est dénombrable...

max2357 · 11/03/2006, 19h22

Mais comment montrer qu'il existe une bijection de N dans Q? C'est là le problème...

**Rincevent** · 11/03/2006, 19h25

Citation:

Envoyé par max2357

Mais comment montrer qu'il existe une bijection de N dans Q? C'est là le problème...

ok, alors disons qu'il faut têt que tu cherches pas directement entre Q et N mais entre Q et autre chose... après avoir montré que cet "autre chose" est aussi en bijection avec N... autre chose pouvant être par exemple (mais vraiment pas exemple

) un truc construit à partir de N ou de plusieurs copies de lui-même...

max2357 · 11/03/2006, 19h47

d'accord, en raisonnant avec N et Z qui sont dénombrables, on peut créer une application de N*Z vers Q. Mais ce n'est pas une bijection....

jarjarbinks · 11/03/2006, 19h48

Bonjour à tous

Je pense à NxN vers Q, mais NxN est-il dénombrable simplement parce que N l'est ?

Là j'en sais pas assez en math pour répondre...

max2357 · 11/03/2006, 19h53

Citation:

Envoyé par jarjarbinks

Bonjour à tous

Je pense à NxN vers Q, mais NxN est-il dénombrable simplement parce que N l'est ?

Là j'en sais pas assez en math pour répondre...

Si deux ensembles sont dénombrables, leur produit cartésien l'est. L'ennui, c'est qu'une application de NxN vers Q n'est pas surjective.

**Rincevent** · 11/03/2006, 19h57

Citation:

Envoyé par max2357

L'ennui, c'est qu'une application de NxN vers Q n'est pas surjective.

j'ai dit "bijection" moi ?

têt que l'un des deux aspects de la bijection est suffisant pour montrer que c'est dénombrable, non ?

max2357 · 11/03/2006, 20h06

C'est vrai. La surjectivité suffit pour montre que l'on peut associer à tout rationnel un élément de ZxN*

**homotopie** · 11/03/2006, 22h51

Bonjour,

Quelques éléments de piste (presque complet mais ce n'est pas un exercice trivial de mettre Q en bijection avec N) :
1) D'abord se simplifier la vie:
Les rationnels se divisent en nombres strictement positifs, en nombre strictement négatifs et en 0.
Les deux premiers sont en bijection, le dernier est tout seul.
On peut peut-être trouver une décomposition de N du même type N=N1 "+" N2 "+" 1 élément tout seul.
Reste à mettre N1 en bijection avec les rationnels strictement , imiter entre N2 et les négatifs (il suffit de dire qu'on le fait) et relier les deux éléments esseulés.
2) Tout nombre rationnel strictement positif s'écrit de manière unique p/q avec p et q premiers entre eux, p et q strictement positifs.
3) Faire un grand tableau N* $\times$ N*, mettre $Q^{+*}$ en bijection avec une partie des cases. Puis attribuer un nombre unique de N1 à chaque case de l'image de l'application précédente.

PS : c'est peut-être inutile de le préciser mais l'exposant "+" signifie qu'on ne prend que les positifs, l'exposant "*" signifie que l'on ne prend pas 0.

g_h · 12/03/2006, 11h05

Hello,

Peut-être en commençant par montrer que tout entier relatif N non nul se décompose de façon unique sous la forme $N = (2p+1)2^n$ et en déduisant une bijection de $\mathbb{Z}^*$ sur $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ (avec l'application N -> (p, n) )

Ensuite touver une surjection $\mathbb{Z} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ ne devrait pas trop poser de problèmes.... je crois

g_h · 12/03/2006, 11h37

Pour détailler un peu plus :

Existence de la décomposition :

Si N est impair, il s'écrit N = 2p+1 soit (2p+1)2⁰

Si N est pair on le divise par la plus grande puissance de 2 possible (que je note P) pour que le reste euclidien soit nul, et on trouve un nombre impair Q qui est le quotient de cette division (sauf si N = 0, la décomposition n'existe pas car Q = 0 n'est pas impair)

N = P*Q avec Q = 2p+1 et Q = 2ⁿ

Ensuite, un simple théorême de Gauss permet de conclure sur l'unicité.

On tient donc notre bijection $\mathbb{Z}^* \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$

Il existe une bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{N}^*$ : n -> n+1

D'où une bijection de $\mathbb{Z}^* \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$

Et on vérifie que l'application $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{Q} \; : \; (n, p) \rightarrow \frac{n}{p}$ est une surjection.

D'où une surjection entre $\mathbb{Z}^*$ et $\mathbb{Q}$ et la dénombrabilité de $\mathbb{Q}$

11/03/2006, 19h18	#1
max2357 Date d'inscription: mars 2006 Messages: 72	Q est dénombrable Bonjour, J'aimerais beaucoup trouver une démonstration montrant que Q est démontrable. Etant une partie dense dans R, je ne vois pas comment faire. Juste pour la culture... ___________________ La succession de chercheurs est comparable à un seul homme qui apprend indéfiniment. Blaise Pascal

11/03/2006, 19h20	#2
Rincevent Date d'inscription: octobre 2003 Localisation: Europe Messages: 7 953	Re : Q est dénombrable s'lut... repense à sa définition et cherche une bijection avec un autre espace dont tu montres trivialement qu'il est dénombrable... __________________ Life is divided into the horrible and the miserable. W.A.

11/03/2006, 19h22	#3
max2357 Date d'inscription: mars 2006 Messages: 72	Re : Q est dénombrable Mais comment montrer qu'il existe une bijection de N dans Q? C'est là le problème...

11/03/2006, 19h47	#5
max2357 Date d'inscription: mars 2006 Messages: 72	Re : Q est dénombrable d'accord, en raisonnant avec N et Z qui sont dénombrables, on peut créer une application de N*Z vers Q. Mais ce n'est pas une bijection....

11/03/2006, 19h48	#6
jarjarbinks Date d'inscription: octobre 2005 Âge: 39 Messages: 268	Re : Q est dénombrable Bonjour à tous Je pense à NxN vers Q, mais NxN est-il dénombrable simplement parce que N l'est ? Là j'en sais pas assez en math pour répondre...

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11/03/2006, 20h06	#9
max2357 Date d'inscription: mars 2006 Messages: 72	Re : Q est dénombrable C'est vrai. La surjectivité suffit pour montre que l'on peut associer à tout rationnel un élément de ZxN*

11/03/2006, 22h51	#10
homotopie Date d'inscription: janvier 2006 Localisation: Lille Âge: 38 Messages: 2 523	Re : Q est dénombrable Bonjour, Quelques éléments de piste (presque complet mais ce n'est pas un exercice trivial de mettre Q en bijection avec N) : 1) D'abord se simplifier la vie: Les rationnels se divisent en nombres strictement positifs, en nombre strictement négatifs et en 0. Les deux premiers sont en bijection, le dernier est tout seul. On peut peut-être trouver une décomposition de N du même type N=N1 "+" N2 "+" 1 élément tout seul. Reste à mettre N1 en bijection avec les rationnels strictement , imiter entre N2 et les négatifs (il suffit de dire qu'on le fait) et relier les deux éléments esseulés. 2) Tout nombre rationnel strictement positif s'écrit de manière unique p/q avec p et q premiers entre eux, p et q strictement positifs. 3) Faire un grand tableau N* $\times$ N, mettre $Q^{+}$ en bijection avec une partie des cases. Puis attribuer un nombre unique de N1 à chaque case de l'image de l'application précédente. PS : c'est peut-être inutile de le préciser mais l'exposant "+" signifie qu'on ne prend que les positifs, l'exposant "*" signifie que l'on ne prend pas 0.

12/03/2006, 11h05	#11
g_h Date d'inscription: décembre 2004 Âge: 21 Messages: 844	Re : Q est dénombrable Hello, Peut-être en commençant par montrer que tout entier relatif N non nul se décompose de façon unique sous la forme $N = (2p+1)2^n$ et en déduisant une bijection de $\mathbb{Z}^*$ sur $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ (avec l'application N -> (p, n) ) Ensuite touver une surjection $\mathbb{Z} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ ne devrait pas trop poser de problèmes.... je crois

12/03/2006, 11h37	#12
g_h Date d'inscription: décembre 2004 Âge: 21 Messages: 844	Re : Q est dénombrable Pour détailler un peu plus : Existence de la décomposition : Si N est impair, il s'écrit N = 2p+1 soit (2p+1)2⁰ Si N est pair on le divise par la plus grande puissance de 2 possible (que je note P) pour que le reste euclidien soit nul, et on trouve un nombre impair Q qui est le quotient de cette division (sauf si N = 0, la décomposition n'existe pas car Q = 0 n'est pas impair) N = PQ avec Q = 2p+1 et Q = 2ⁿ Ensuite, un simple théorême de Gauss permet de conclure sur l'unicité. On tient donc notre bijection $\mathbb{Z}^ \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ Il existe une bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{N}^$ : n -> n+1 D'où une bijection de $\mathbb{Z}^ \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^$ Et on vérifie que l'application $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^ \rightarrow \mathbb{Q} \; : \; (n, p) \rightarrow \frac{n}{p}$ est une surjection. D'où une surjection entre $\mathbb{Z}^*$ et $\mathbb{Q}$ et la dénombrabilité de $\mathbb{Q}$

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