Calcul de volume

Bleyblue · 16/03/2006, 12h29

Bonjour,

Pour calculer le volume d'un solide il est nécessaire d'utiliser le calcul intégrale.

Intégrale simple ? double ? triple ?

Certains volumes peuvent se calculer avec une intégrale simple comme j'ai apprit à le faire (par exemple les volumes de révolution) mais ce n'est pas toujours le cas n'est ce pas ?

Qu'est ce qui détermine le fait qu'on puisse calculer le volume d'un solide avec une intégrale simple ?
Auriez-vous un exemple à me donner où ce n'est pas possible ?

merci

Sergiocp · 16/03/2006, 13h07

Bonjour,

Un volume est un objet en trois dimension, si tu veux calculer son volume tu dois utiliser une integrale triple. Le truc est qu'il est possible de simplifier ces integrales en fonction des symetries de ton volume et on peut ne se retrouver qu'avec une double, ou une simple integrale.

Donc, avant de se lancer dans le calul d'un volume, toujours regarder les symetries geometriques, ensuite choisir un repere qui mette en avant cette symetrie (coordonnees polaires pour un cylindre, spherique pour une sphere...). Comme ca, tu auras toujours le calcul avec le moins d'integrales (enfin, je crois

).

Pour les exemples, je laisse la place a ceux qui ont plus de souvenirs que moi en geometrie

Jeanpaul · 16/03/2006, 13h36

Exemple : volume délimité par la surface
x^4 + y^4 + z^4 = 1
C'est plein de symétries mais ce n'est pas de révolution.

Bleyblue · 16/03/2006, 13h37

Ah bon ...

Mais pourtant une portion de surface plane c'est en deux dimensions, ça n'empêche pas qu'on sache calculer toutes les aires de portion de surface plane avec l'intégrale simple non ?

merci

Sergiocp · 16/03/2006, 14h37

Comme tu le dis si bien, c'est une surface PLANE. Donc l'integrale double peut etre simplifiee en une integrale simple vu qu'une des deux dimension est constante! Sans le savoir tu as simplifie ton integration parce qu'il y a une "symetrie".

Sergiocp · 16/03/2006, 15h02

oups j'ai ete un peu vite, pas moyen d'editer... bon, oublie le cote "une des deux dimensions constante" ca veut rien dire

Tu peux donner un exemple que tu calcules en integrale simple, et je te donnerai le meme en integrale double ^^

Bleyblue · 17/03/2006, 18h33

Un exemple de calcul d'aire ?

Bah je ne vais pas me casser la tête

L'aire sous le graph de la fonction y = x² de zéro à a (a étant un réel strictement positif) :

$A = \Bigint_{0}^{a} x^2dx = \frac{a^3}{3}$

Je ne connais pas encore les intégrales multiples malheureusement mais je serai curieux de voir ce que ce calcul donne avec des intégrales doubles ...

merci

Sergiocp · 17/03/2006, 18h57

Citation:

Posté par Bleyblue

$A = \Bigint_{0}^{a} x^2dx = \frac{a^3}{3}$

En fait, dans ce cas-la, càd une aire calculee sous une courbe d'un plan, le principe est toujours le meme:

Ton element de surface a integrer est dxdy, tu dois d'abord integrer la partie en y car elle depend de x;

$A = \Bigint_{0}^{a} \Bigint_{y1(x)}^{y2(x)} dydx =$

en integrant selon y tu vas faire apparaitre ta fonction (ici x²) et hop on revient ton integrale.

si $y1(x) = 0$ la borne inferieure selon y (l'axe des x)
et $y2(x) = x^2$ la borne superieure (la courbe sous laquelle on veut calculer l'aire)

$A = \Bigint_{0}^{a} x^2 dx - 0 = \frac{a^3}{3}$

Cette facon est tout a fait generale, le calcul de "l'aire sous la courbe" est un cas particulier de calcul de surface (et une belle simplification, il est vrai

)

Bleyblue · 17/03/2006, 19h57

Ouhh, c'est chouette comme bazard

Donc une "intégrale de surface" (on entend des fois parler de cela dans les cours de physique) ça désigne simplement une intégrale double ?

merci