Un exercice sur les Exponentielles, j'aimerai bien que l'on m'explique quelques notio

[stefoufoune]

Partie A:
soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle [0;+00[ par:
f(x)= 20/(1+15e^(-0.4x)

On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle.

1/déterminer la limite de la fonction f en +00
interpréter graphiquement le résultat.

2/démontrer que f est croissante sur l'intervalle [0;+00[.


Réponse apportée à la partie A:

1/ la limite en +00:

lim 15e^(-0.4x)= lim15*(1/e^(0.4x) )= lime (15/e ^0.4x )= 0
x TEND VERS +00
Donc lim 15e-04x=0 quand x tend vers +00

lim 1+15e( ^-0.4x )= 1
quand x tend vers +00

et donc lim 20/1+15e^(-0.4x) = 20
quand x tend vers +00
donc lim f(x)=20

Nous pouvons dire ainsi que la limite de f(x) en +00 converge vers 20.

2/pour étudier le sens de variation d ela fonction f, calculons sa dérivée
car c'est le signe de la dérivée qui donne les variations de la fonction :

20* 1/u sachant que u(x)= 1+15e^(-0.4x) donc u'(x)= -37.5(-0.4e^(-0.4x)donc
20* (-u'/u²)
20* (-37.5e^(-0.4x) / (1+15e^(-0.4x)

je ne trouve pas la dérvée j'ai du mal avec les formules exponentielles...


Partie B:

La fonction f modélise sur l'intervalle [0;14] la fonction coût total de production, en euros, d'un produit.

Pour une quantité de produit q, exprimée en tonnes et comprise entre 0 et 14, on pose donc :

f(q)= 20/(1+15e^(-0.4q)

pour tout q dans l'intervalle [0;14], le quotient f(q)/q est appelé coût moyen de production de q tonnes de produit.

1/p0ur q dans l'intervalle [0;14], soit Q le point d'abscisse q de la représentation graphique de la fonction f.
Montrer que le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal au coût moyen f(q)/q

2/l'entreprise chercher à ùinimiser le coût moyen d eproduction.
indiquer la valeur de q qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum


Réponses apportée à la partie B:

1/ le coefficient directeur c'est Yb-Ya/Xb-Xa
faut-il se rapporter au graphique pour trouve rla réponse?

2/ par lecture graphique.. non?

Merci de votre aide..

[Brikkhe]

lut,

On va commencer par partie A-2...

La dérivée de (j'espère quand même que tu sais ca ^^)

on pose et
u'=...?

Calculons maintenant v'...

exp'(u) = u'*exp(u)

exemple:
exp'(x)=exp(x)
exp'(7x+3)=7*exp(7x+3)

Alors que vaut v'?
et que vaut f'(x) après avoir appliqué la formule ?

[stefoufoune]

partie A

u'(x)=15*(-0.4)e(-0.4x)=-6e(-0.4x)
et f'(x)=-20*(-6e(-0.4x))/[1+15e(-0.4x)]²=
120e(-0.4x)/[1+15e(-0.4x)]²

le dénominateur est strictement positif car un carré est toujours positif.
donc c'est le signe du numérateur qui donnera les variations de la fonction f.
sachant que la fonction exponentielle est toujours positive, f'(x) est supérieur à 0.
donc la fonction f est croissante c'est sa?

Partie B

1/ le coefficient directeur c'est O(0;0) et Q(q;f(q))
Yb-Ya/Xb-Xa
donc coefficient directeur = f(q)/q

2/ JE ne sais pas..

[Brikkhe]

Envoyé par stefoufoune

et f'(x)=-20*(-6[...]

j'imagine que tu voulais dire:
f'(x)=20*(-6[...]

Partie B
1- C'est ca.
(mais attention:

1/ le coefficient directeur c'est O(0;0) et Q(q;f(q))
Yb-Ya/Xb-Xa

un coefficient directeur n'est pas "2 points"; Le coefficient directeur de (OQ), c'est...
et c'est Yq-Yo/Xq-Xo, il faut expliciter car un prof qui cherche la petite bete pourrait venir emebeter son monde pour ca...)

2-L'entreprise veut le cout moyen le plus petit possible dont il faut que f(q)/q qoit le plus petit possible...
Il me semble qu'on puisse le faire par le graphique mais si on étudie les variations de f(q)/q, je crois qu'on peut aussi le trouver...

@pluche!