Volume d'un cône? - Forum Mathématiques du collège et du lycée

EspritTordu · 14/04/2006, 11h26

Bonjour,

J'ignore si je poste mon message au bon endroit, mais voilà ma question :

Un dictionnaire indique pour le volume d'un cône non tronqué l'équation suivante :

V=1/3*PI*R^2*h

où
R correspond au rayon de la base du cône
h est la valeur de la hauteur du cône depuis le centre du cercle de la base

Rien que du classique finalement

...

C'est là que le bas blesse : comment arrive-t-on à cette équation s'il vous plaît? Je sais qu'il suffit d'intégrer l'aire variant de la base, mais j'aboutis pas.

Alors n'y arrivant pas par là, j'ai essayé une autre voie qui me semblait tout autant logique :
Soit une tranche du cône pris à part : c'est un triangle rectangle, dont l'aire A est la moitié d'un rectangle. Et puis logiquement, on multiplie le tout par un angle de 2PI, et on devrait avoir le volume final de notre cône :

A(triangle rectangle) *2PI=V(cône)
or A=(h*R)/2
d'où V=h*R*PI

on est loin de l'équation du dico(

) ; peut-être en intégrant au lieu de multiplier :
(intégrale (0-2PI) théta.dthéta)*A où théta est l'angle de rotation du triangle rectange autour de la hauteur du cône ; d'où alors si je ne me trompe pas :

V=((théta)^2)/2 *A => V=1/2*(PI^2)*R*h

Bon là j'arrête : toujours pas l'équation du dico : pourtant je suis convaincu du raisonnement, Et pourtant, pourtant !

Comment détermine-t-on l'équation du volume d'un cône ? Pourquoi mes petites tentatives ne sont-elles pas exactes?

Si vous pouviez me répondre, merci d'avance.

isozv · 14/04/2006, 12h02

Salut

Pour la démonstration du volumen d'un cône et plus regarde à cette adresse

http://www.sciences.ch/htmlfr/geomet...ieformes01.php

Tu as la demonstration de tous les volumes classiques

Cordialement

**matthias** · 14/04/2006, 12h14

Citation:

Posté par EspritTordu

Je sais qu'il suffit d'intégrer l'aire variant de la base, mais j'aboutis pas.

Dis nous ce que tu as fait parce que ça marche normalement très bien.

Citation:

Posté par EspritTordu

Soit une tranche du cône pris à part : c'est un triangle rectangle, dont l'aire A est la moitié d'un rectangle. Et puis logiquement, on multiplie le tout par un angle de 2PI, et on devrait avoir le volume final de notre cône :

[...]

Bon là j'arrête : toujours pas l'équation du dico : pourtant je suis convaincu du raisonnement, Et pourtant, pourtant !

Ca n'a rien de logique. Et un peu de sens physique te dirait que multiplier une surface par un angle (donc un nombre sans dimension) n'a aucune chance de te donner un volume.

martini_bird · 14/04/2006, 12h21

Salut,

une section perpendiculaire à l'axe du cône est un disque d'aire $\pi R(x)^2$ où x est l'abscisse de la section sur l'axe et $R(x)=ax$ est le rayon correspondant. Pour obtenir le volume d'un cône de hauteur h et de rayon R, il suffit d'intégrer :

$V=\int_0^h \pi R(x)^2 dx=\frac{\pi a^2 h^3}{3}=\frac{\pi R^2 h}{3}$

puisque $R=ah$ .

Il y a peut-être plus fin comme méthode ?

Cordialement.

**shokin** · 14/04/2006, 12h54

On voit l'utilité des intégrales !

Shokin

EspritTordu · 15/04/2006, 12h25

Merci à tous.

Grâce à votre lien isozv et l'exemple de martini_bird et aussi peut-être un peu de ténacité, j'ai réussi à retomber sur l'équation : néanmoins si je peux me permettre, n'y a-t-il pas une inexactitude dans votre formule martini_bird ? en effet : R(x)=ax ne devrait-il pas être plutôt R(x)=r(-x/h+1) selon sciences.ch?

Citation:

Ca n'a rien de logique. Et un peu de sens physique te dirait que multiplier une surface par un angle (donc un nombre sans dimension) n'a aucune chance de te donner un volume.

C'est peut-être par là que j'ai choisi mon peudo : une logique tordue...

N'y aurait pas une manière de passer par le triangle rectangle ? A près tout c'est logique de multiplier les triangles rectangles autour de l'axe de rotation, non?

martini_bird · 15/04/2006, 12h40

Salut,

Citation:

Posté par EspritTordu

néanmoins si je peux me permettre, n'y a-t-il pas une inexactitude dans votre formule martini_bird ? en effet : R(x)=ax ne devrait-il pas être plutôt R(x)=r(-x/h+1) selon sciences.ch?

Je fais en général beaucoup d'erreurs mais pour le coup, c'est une juste une histoire de conventions qui différent.

Cordialement.

**matthias** · 15/04/2006, 13h11

Citation:

Posté par EspritTordu

N'y aurait pas une manière de passer par le triangle rectangle ? A près tout c'est logique de multiplier les triangles rectangles autour de l'axe de rotation, non?

Oui il y a moyen, mais on ne peut pas dire que ça simplifie beaucoup. Si tu appelles y la distance du centre de gravité de ton triangle rectangle à l'axe, et A l'aire de ce triangle,le volume du cône est: $2 \pi y A$ (théorème de Guldin)..
Comme A = Rh/2 et y = R/3, tu retrouves bien : $V = \frac{\pi R^2 h}{3}$

Par contre, en faisant ceci tu es obligé de supposer que tu as un cône de révolution, ce qui n'est pas le cas avec la méthode par intégration.

EspritTordu · 18/04/2006, 10h23

Citation:

Oui il y a moyen, mais on ne peut pas dire que ça simplifie beaucoup. Si tu appelles y la distance du centre de gravité de ton triangle rectangle à l'axe, et A l'aire de ce triangle,le volume du cône est: (théorème de Guldin)..

C'est plutôt étrange, n'est-ce pas ? Que vient faire ici le centre de gravité du triangle rectangle?

Citation:

Je fais en général beaucoup d'erreurs mais pour le coup, c'est une juste une histoire de conventions qui différent.

Pourriez-vous m'aiguillier ? Développez vos calculs s'il vous plaît?

**shokin** · 18/04/2006, 14h47

Wikipedia : Thérorème du Suisse Paul Guldin

Je ne sais pas pourquoi, mais c'est légèrement plus décrit en allemand et y en a pas pour les autres langues.

Shokin

**shokin** · 18/04/2006, 14h50

C'était un Suisse-allemand, là est l'explication !

Shokin

EspritTordu · 19/04/2006, 10h26

Citation:

C'était un Suisse-allemand, là est l'explication !

Cà me reste tout indigeste, je ne lis pas l'allemand...

**shokin** · 19/04/2006, 11h32

Un lien très intéressant que je viens de trouver (à partir du point V-1).

Shokin