Inégalité avec des puissances réelles quelconques

alphmore · 20/04/2006, 19h24

Bonsoir,

Voilà je dois démontrer l'inégalité du a. :

j'ai calculé la dérivée :

f'( x ) = (1+y)^béta * alpha * (1+x)^alpha-1 - y^béta * alpha * x^alpha-1

soit :

f'( x ) = alpha * [(1+y)^béta * (1+x)^alpha-1 - y^béta * x^alpha-1]

Je suis bloqué ensuite.

IceDL · 20/04/2006, 19h34

Salut,

Tu n'as plus que le signe de la dérivée à étudier pour pouvoir répondre à la question et tu dois comparer deux produits. Tu peux peut-être utiliser le fait que alpha-1=-bêta.

En espérant que ça te donne des idées.
@+

alphmore · 20/04/2006, 19h58

Avec toutes tes astuces j'en suis réduit à prouver :

(1+x)^-b * (1+y)^b plus grand que x^-b * y^b

(b représente béta)

IceDL · 20/04/2006, 20h00

Certes mais tu n'as plus qu'à comparer (1+y)/(1+x) et y/x pour x,y>0

Etudies la différence,

@+

alphmore · 20/04/2006, 20h46

Excellent tout ça!
Merci.

@+

alphmore · 21/04/2006, 00h43

Soucis !!!

L'étude de la différence donne :

Soient x,y>0.
On a g(x)=(1+y)/(1+x) - y/x=(x-y)/(x+x²)

sgn(g(x)) = sgn(x-y) : non-cst !

On y arrive pas ainsi !

alphmore · 21/04/2006, 00h59

En faisant deux cas :

1er cas x > ou = y : OK

2ème cas x < y : f'<0 sur R+* donc f strictement décroissante sur l'intervalle R+

Avec f(0)>0 (car...) : il faut montrer que la limite en +oo de f est positive pour que f soit positive sur R+
Rappel : y est quelconque dans R+*

Comment la calculer ?

IceDL · 21/04/2006, 10h11

En fait y est quelconque y>0 mais fixé.

Du coup tu peux dire que f est décroissante sur ]0,y] et croissante sur [y,+oo[ ; elle possède donc un minimum (global) atteint en x=y. Que vaut ce minimum (n'oublie pas que alpha+beta = 1 )

@+

alphmore · 23/04/2006, 02h51

curieux (zut et zut :'(...)

Je n'utilise pas le a pour la suite

!!!

Le b se démontre facilement sans le a (ou alors je pêche) :

cas n=1 trivial

et pour l'hérédité :
je fais sortir le terme x(n+1)^alpha*y(n+1)^beta de la somme de gauche, je majore en remplaçant le reste en utilisant l'hypothèse de réccurence et ensuite je conclus directement (par excès de termes strictement positifs pour la somme complète)

Et au c, pas de a non plus :
On applique le b en posant :

alpha=1/p
beta=1/q
|ak|=xi^alpha
|bk|=yi^beta

IceDL · 23/04/2006, 12h07

Citation:

Envoyé par alphmore

curieux (zut et zut :'(...)

Je n'utilise pas le a pour la suite

!!!

Le b se démontre facilement sans le a (ou alors je pêche) :

cas n=1 trivial

et pour l'hérédité :
je fais sortir le terme x(n+1)^alpha*y(n+1)^beta de la somme de gauche, je majore en remplaçant le reste en utilisant l'hypothèse de réccurence et ensuite je conclus directement (par excès de termes strictement positifs pour la somme complète)

Et au c, pas de a non plus :
On applique le b en posant :

alpha=1/p
beta=1/q
|ak|=xi^alpha
|bk|=yi^beta

Pour la fin (passer du b) au c) ) je suis tout à fait d' accord ; au passage tu viens de démontrer l'inégalité de Hölder qui permet de mettre pleins de normes interéssantes sur R^n. Et pour l'anecdote ça marche aussi avec des intégrales ; c'est un peu l'analogue de Cauchy-Shwartz en fait.

Mais pour le b), je suis pas tout à fait sûr de ton passage de n à n+1. Ok tu sors x(n+1)alpha*y(n+1)^beta à gauche mais qu'est ce que tu sors à droite ? Tu est obligé d'utiliser le a) mais avec x et y judicieux. Je te laisse encore chercher...
@+

alphmore · 23/04/2006, 17h18

Ok j'ai réussi.
Sans rentrer dans les détails j'ai conservé mon travail à gauche et à droite j'ai sorti de chacune des sommes le dernier terme et ensuite j'ai tout divisé par x(n+1)alpha*y(n+1)^beta pour ensuite appliquer le a à x = (somme des x jusqu'à n)/x(n+1) et y = (somme des y jusqu'à n)/y(n+1) et je finis ainsi par minorer mon expression de gauche par l'expression obtenue en partant de la gauche en sortant x(n+1)alpha*y(n+1)^beta et par la magnifique transitivité de la belle relation d'ordre inférieur ou égal, j'obtiens le résultat !

Merci encore !

J'ai une question à te poser cependant concernant la démonstration de l'inégalité de Minkowski évoquée sur cette page (avec les sommations) :

http://www.bibmath.net/dico/index.ph.../h/holder.html

Je ne comprends pas la dem (ni le passage de la première ligne à la deuxième avec les sommes), ni de quelle manière utiliser Holder pour arriver au résultat !

alphmore · 23/04/2006, 17h22

Si jamais la page charge mal ou trop lentement :

martini_bird · 23/04/2006, 17h46

Salut,

il faut remplacer les égalités par des inégalités !

Indices :
- pour la première ligne : $|u_k+v_k|^p\leq \left(|u_k|+|v_k|\right)\,|u_k +v_k|^{p-1}$ .

- pour la seconde : $\sum |u_k||u_k+v_k|^{p-1}\leq \left( \sum |u_k|^p \right)^{1/p}\,\left( \sum |u_k+v_k|^{q(p-1) \right)^{1/q}$ (Hölder)

Cordialement.

alphmore · 23/04/2006, 19h30

Ca marche, réussi merci. ^^

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