Bonjour, je bloque pas mal sur ce problème: je vous ai mis en italique, les questions qui me bloquent...
On pose pour tout réel x,
= \int_{0}^{1} { \text{e}^{-xln(1+t^2)} } \,\text{d}{t} )
1) Montrer que F est définie sur R, c'est bon
2) a- Calculer F(0) et F(1)
b- montrer à l'aide d'une IPP que:
I=
^2} } \,\text{d}{t}=- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}F(1) )
, c'est bon
c- en déduire une relation entre F(1) et F(2).
C'est là que je bloque car dans l'expression de F(2), il n'y a pas de t² comme il y a dans l'expression de l'intégrale qu'on nous fait calculer à la question c.... d) Plus généralement, établir une relation de récurrence entre F(n) et F(n+1) et montrer que l'on peut ainsi calculer F(n) pour tout entier naturel n.
Je pense que le fait de trouver la question c peut m'aider à conjecturer une relation de récurrence que je démontre ensuite par récurrence, non? e) Calculer F(-n) pour tout entier naturel n non nul. Donner les valeurs de F(-1) et F(-2) sous forme de fractions.
Je ne vois pas trop comment faire car j'ai = \int_{0}^{1} { \text{e}^{nln(1+t^2)} } \,\text{d}{t}= \int_{0}^{1} {(1+t^2)^n} \,\text{d}{t} )
Pour F(-1), c'est bon, j'ai F(-1)=4/3 et F(-2)=28/15, mais dans le cas général, comment faire? dois-je développer la puissance en utilisant la formule du binôme?? 3) Montrer que F est décroissante sur R. J'ai du mal dans la mesure où "le x est dans l'intégrale", je ne vois pas trop comment dériver F... et en plus je ne pense pas qu'il faille dériver car c'est ce qu'on nous demande dans la question 6d
4) a- Lorsque x est strictement négatif, déterminer le sens de variation de la fonction
} )
sur [0;1] puis exprimer sa valeur en t=1/2. C'est bon, je trouve que c'est une fonction croissante et que en t=1/2, ça fait (4/5)^x
b- En déduire que : lim en -oo de F =+oo, je ne vois pas trop comment faire ... c- Déterminer lim en -oo de F(x)/x. Qu'en résulte t-il pour la courbe représentative de F quand x tend vers -oo? Je ne vois pas trop comment calculer cette limite, je sais qu'après, ça me permet de trouver une asymptote oblique, mais...
5)a- Montrer que pour t compris entre 0 et 1,
} )
, c'est bon
b- En déduire que :
 {} \, \leq \, { \int_{0}^{1} { \text{e}^{ \frac{-xt^2}{2} } } \,\text{d}{t} } )
c'est bon, il suffit d'utiliser la croissance de l'intégrale.
c- Soit g la fonction définie sur R par = \int_{0}^{x} { \text{e}^{-u^2/2} } \,\text{d}{u} )
Pour x>0, exprimer 
à l'aide de la fonction g. En déduire que lim en +oo de F(x)=0 (on montrera que g admet une limite en +oo en comparant 
et 
pour u supéreieur ou égal à 1.
Je ne vois pas trop comment faire, pour le changement de variable, je n'arrive pas à trouver ce qu'il faut poser comme u, je pensais poser u=xt mais je n'arrive pas au bon résultat...
6) a- Soit
=- \int_{0}^{1} { \text{e}^{-xln (1+t^2)}ln(1+t^2) } \,\text{d}{t} )
. Justifier l'existance de g(x) pour tout réel x. C'est bon.
b) Montrer que 
.
Je ne vois pas trop comment faire... c) Montrer que -F(x0)-hg(x0)| {} \, \leq \, {} h^2 \int_{0}^{2} { \text{e}^{-x0ln(1+t^2)}[ln(1+t^2)]^2 } \,\text{d}{t} )
Je sais pas trop comment m'y prendre... d) En déduire que F est dérivable et préciser F'. Retrouver le résultat de la troisième question. Je vois bien qu'il faut chercher la limite du taux d'accroissement de f mais ce qui me gène, c'est le g(x0)...
e) Calculer F'(0). Je pense qu'une fois la dérivée trouvée, plus de problème!
Merci d'avance pour votre aide
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