Intégration numérique:méthode de Gauss-Legendre

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Je me questionne depuis longtemps au sujet de la méthode de Gauss que je ne comprends pas:

Dans l' expression:

Int de a à b de w(x)*y(x)*dx

Que représentent les expressions w(x) et y(x)?

A quoi servent donc les tables donnant Xk et Ak pour
n=2,n=4,n=6......etc?

Pouvez-vous me conseiller un site ou ce soit bien expliqué? merci d' avance.

le fouineur

[Jeanpaul]

La méthode Gauss-Legendre est très utile pour calculer numériquement une intégrale de la fonction F(x). Voir par exemple Wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...Gauss-Legendre
Le plus simple est de se ramener à une intégrale sur [-1,+1] quand on peut. Si ce n'est pas possible, on doit ajouter une pondération et intégrer F(x) w(x) mais c'est un cas spécial.

On remplace l'intégrale par une somme de termes du genre Ak. F(xk) où les points xk, ainsi que les pondérations Ak sont tirés de tables. Ils sont choisis de manière à donner un résultat exact quand F(x) est un polynôme.
La méthode de calcul est donnée dans :
http://iacs.epfl.ch/asn/Support/support/node17.html

[le fouineur]

Merci Jeanpaul pour ta réponse rapide,

Toutefois pourrais-tu me détailler la méthode pour:

I=Intégrale de -1 à 1 def(x)=(x+1)^3

Avec un exemple concret je comprendrai mieux.

[Jeanpaul]

Prenons 3 points correspondant à :
x = -0.77 et un poids de 5/9
x=0 et un poids de 8/9
x= +0.77 et un poids de 5/9
(ce sont les valeurs de Wikipedia)
Alors l'intégrale vaudra :

5/9 * f(-0.77) + 8/9 * f(0) + 5/9 * f(0.77)

C'est tout, je te laisse vérifier.

[zinia]

Envoyé par le fouineur

Toutefois pourrais-tu me détailler la méthode pour:
I=Intégrale de -1 à 1 def(x)=(x+1)^3

Avec un exemple concret je comprendrai mieux.

Ton exemple n'est pas "parlant", il vaudrait mieux autre chose qu'un polynome. Avec 3 points et un polynome de dégré inférieur à 5, le calcul devient exact.
Je te propose f(x) =1/(1+x^2) sur le même intervalle.
Avec un point I=a1f(x1)=2 f(0) = 2
Avec 2 points
Avec 3 points :

On voit bien que le résultat se rapproche de pi/2, valeur exacte..

[le fouineur]

ça marche sans problème!!

Et si l' intervalle d' intégration est de 2 à 5,ça donne quoi?
C'est ma dernière question,promis,car je n'arrive pas à
adapter la formule avec (b-a)/2 et (a+b)/2

merci d'avance le fouineur

P.S Je me demande bien comment Gauss a t' il pu mettre
ces formules au point?

[zinia]

De manière générale, il est toujours possible de ramener l'intervalle d'intégration à -1;1 en faisant un changement de variable u= [2x-a-b] / (b-a) où a et b sont les bornes d'intégration. Tu peux toujours repasser en x ensuite en faisant attention que tu auras un facteur (b-a)/2 supplémentaire.
En pratique, on commence par fixer le nombre de points (par exemple 3) et selon la précision voulue, on découpe l'intervalle d'intégration en k intervalles plus pétits sur lesquels on applique la méthode.
En effet, multiplier le nombre de points c'est conserver en mémoire pléthore de nombres irrationnels ou les recalculer à chaque fois, ce qui est long et fastidieux.

[le fouineur]

Bonjour zinia,

Pourrais-tu expliciter ta méthode du changement de
variable pour le cas ou a=2 et b=5 de la fonction:

f(x)=(x+1)^3

Je ne demande que l' application numérique our cet
exemple précis

d' avance merci, le fouineur

[zinia]

Par exemple avec 3 points, le changement de variable est u=(2x-7)/3 avec tes bornes Cela se retourne en x =(3u+7)/2. En repassant en x, la formule devient
I= [5/9*f(3,5-1,5*√0,6)+8/9*f(3,5)+5/9*f(3,5+1,5*√0,6)]*(5-2)/2

[le fouineur]

Envoyé par le fouineur

Bonjour zinia,

Pourrais-tu expliciter ta méthode du changement de
variable pour le cas ou a=2 et b=5 de la fonction:

f(x)=(x+1)^3

Je ne demande que l' application numérique our cet
exemple précis

d' avance merci, le fouineur

ça y est, j'ai trouvé par tatonnements la formule générale pour un intervalle d'intégration de a à b
C'est:

I=(b-a)/2*{[w1*f((b-a)/2*x1+((a+b)/2)]
+[w2*f((b-a)/2*x2+((a+b)/2)]
+[w3*f((b-a)/2*x3+((a+b)/2]}
avec w1,w2 et w3 les coefficients de pondération
et x1,x2 et x3 les valeurs des Xi pour 3 points

Reste à savoir quand cette méthode peut s'appliquer?

[Jeanpaul]

Cette méthode marche étonnamment bien, à condition bien sûr que a et b soient finis (pas question d'intégrer de - infini à + infini).
On peut même calculer des intégrales doubles.
La seule servitude est que l'on doit connaître la forme analytique de la fonction (pour la calculer là où on veut).

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Merci à Jeanpaul et zinia pour leurs réponses.

Je souhaiterai savoir maintenant comment Gauss a-t' il
fait pour calculer les poids et fonctions de pondération
de ses polynômes?

[zinia]

Bonsoir,
Tu peux les calculer toi même. Le principe est qu'on choisit le points et les poids de telle sorte que l'intégrale entre -1 et +1 soit exacte pour le polynome de degré le plus élevé possible.
Par exemple avec 3 points et donc 3 poids, tu as 6 valeurs à calculer et il te faut six équations :
avec k=0;1;...5
Cela donne le système :





etc jusqu'à x^5.
La solution n'est pas très compliquée pour trois points, mais le devient avec plus. On peut toutefois simplifier en utilisant les symétries w1=w3 et x1=-x3 qui se généralisent quel que soit le nombre de points...

[le fouineur]

Bonsoir zinia,

Merci pour ta réponse rapide,

J'ai pu calculer les Xi et les Wi pour 3 points à partir des
6 équations obtenues.La résolution du système a quand
mème nécessité 50 secondes de calcul avec la TI 89.
(Le plus long ayant été de saisir les 6 équations)

le fouineur

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J'ai essayé de résoudre en vain (à la main) le système des 6 équations:

w1+w2+w3=2
w1*x1+w2*x2+w3*x3=0
(w1*x1^2)+(w2*x2^2)+(w3*x3^2)= 2/3
(w1*x1^3)+(w2*x2^3)+(w3*x3^3)= 0
(w1*x1^4)+(w2*x2^4)+(w3*x3^4)= 2/5
(w1*x1^5)+(w2*x2^5)+(w3*x3^5)= 0

Mais je ne parviens pas à trouver une méthode d' attaque du problème:ce système est en effet linéaire
en w1,w2,w3 mais non linéaire en x1,x2,x3.Une méthode
est évoquée dans: "analyse numérique" de Francis Scheid mis elle n' est pas explicitée en détail.Quelqu'un
aurait-t'il une idée pour résoudre ce système?

Toutes les réponses seront bienvenues

le fouineur

[zinia]

En fait, on ne cherche pas à résoudre en un coup les 6 équations.
On démontre que les Xi sont solutions d'un polynome de Legendre http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4mes_de_Legendre
et ensuite il reste à calculer les Wi avec une partie des équations (normalement les non nulles).
Cependant avec 3 points on peut facilement résoudre le système.
Il faut utiliser les équations nulles pour eliminer les Wi

[le fouineur]

Bonjour zinia,

Merci pour ta réponse.J' ai en effet pu constater que
x1,x2 et x3 sont les solutions de P3(x).
En ce qui est du calcul des Wi et des Xi,ma modeste
calculatrice TI 89 a pu s'en démerder en 50 secondes
en me donnant leur valeurs exactes avec la fonction
"zeros()".Comment la calculatrice a-t' elle pu organiser
le calcul? Le livre que j'ai cité dans le message #15
propose une méthode pour résoudre un système
similaire de 6 équations avec 6 inconnues:

-introduire le polynôme connu:

P(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)
=x^4+C1*x^3+C2*x^2+C3*x+C4

-obtenir 2 équations linéaires pour le cas particulier ou
x3=1 et x=-1

-multiplier les 5 premières équations par C4,C3,C2,C1 et 1

-les additionner membre à membre

-déterminer les valeurs de C1,C2,C3,C4 et en déduire
l' expression du polynôme P(x)

-résoudre le polynôme,en déduire les valeurs des Xi

-reporter les valeurs des Xi dans les 6 équations originales et en déduire les valeurs des Wi

Ne pourrait-on pas utiliser un schéma similaire dans notre cas?

[zinia]

Pourquoi te casser la tête ?
Le passage par les polynomes de Legendre permet de se ramener à une équation dont le degré est égal au nombre de points et les xi connus, les wi se déduisent facilement des premières équations
Si tu tiens à résoudre à la main le système des six équations, il faut s'y prendre dans le bon ordre.
Pour cela ne pas chercher à éliminer les xi mais d'abord les wi .
Comme je te l'avais conseillé, part des équations avec des x de degré impair (celles qui donnent 0) et à partir des deux premières élimine w1 et w3.
Tu arrives à qualque chose du genre
w2 x2[(x1)²-(x2)²] [(x3)²-(x2)²]=0
comme w2 n'est pas nul et que x1 et x3 ne sont pas égaux à x2 ou à -x2, la seule solution est que x2 soit nul.
Alors tout devient beaucoup plus simple...