Le flocon de Koch - Forum Mathématiques du collège et du lycée

monkey · 24/04/2006, 13h01

Bonjour !

J'ai un problème concernant le flocon de Koch et je compte sur vous pour m'aider...
Je sais que ce problème a été posé plusieurs fois, mais je n'arrive malheureusement pas à comprendre et à trouver exactement ce que je cherche.

Voici l'énoncé :

Le triangle est l'étape 1 du flocon.

1. Etude du nombre de côtés $C_n$
J'ai trouvé $C_n = \frac{3}{4}\times4^n$

2. Etude du périmètre sachant que $u_n = 3\times(\frac{1}{3})^n$ (c'est le résultat que j'ai trouvé mais il me semble juste)
$p_n = 3\times(\frac{4}{3})^{n-1}$

3. Etude de l'aire (je bloque...)
On note $a_n$ l'aire du flocon à l'étape $n$ .

a) Calculer $a_1$ (j'ai trouvé $\frac{\sqrt{3}}{4}$ )
b) De l'étape $n$ à l'étape $n+1$ l'aire est augmentée de celle des $C_n$ triangles équilatéraux de côté $u_{n+1}$ . En déduire $a_{n+1} - a_n$ en fonction de $n$ . (c'est cette question que j'aimerais que vous traitiez, le reste, je pense pouvoir me débrouiller seule, mais votre aide ne serait pas refusée

)
c) Calculer $(a_n-a_{n-1})+...+(a_2-a_1)$ de deux façons différentes. En déduire la valeur de $a_n$ pour $n\ge2$ .
d) Donner une valeur approchée de $a_{50}$ arrondie au millième.

Merci beaucoup !

martini_bird · 24/04/2006, 18h50

Salut,

je crois que la réponse est dans l'énoncé : pour trouver l'aire $a_{n+1}$ , on augmente l'aire $a_n$ de $C_n$ triangles de côté $u_{n+1}$ ...

Cordialement.

monkey · 24/04/2006, 22h53

justement, j'éprouvais du mal à comprendre cette phrase, mais je crois voir clair.

a(n+1) - a(n) serait égal à C(n) x u(n+1) alors ?

c'est bien simple à mon goût...

**matthias** · 25/04/2006, 10h32

Citation:

Posté par monkey

ja(n+1) - a(n) serait égal à C(n) x u(n+1) alors ?

Non, Un c'est la longueur du côté. C'est l'aire d'un triangle équilatéral de côté Un dont tu as besoin.

monkey · 25/04/2006, 22h20

ah d'accord ! j'ai trouvé !

maintenant, faut que je fasse les deux dernières questions... ce n'est pas une mince affaire

**matthias** · 26/04/2006, 09h15

Citation:

Posté par monkey

maintenant, faut que je fasse les deux dernières questions... ce n'est pas une mince affaire

Somme des termes d'une suite géométrique ...
Rien de bien méchant.

monkey · 26/04/2006, 21h15

j'ai trouvé
$\frac{\sqrt{3}}{12}\times\frac {4}{9}^n-\frac{\sqrt{3}}{27}$

c'est ça ?

le n est sur la fraction entière et non sur le 9 mais je n'arrive pas à le faire

merci d'avance !

Floboss07 · 28/03/2007, 16h50

Citation:

Posté par monkey

j'ai trouvé
$\frac{\sqrt{3}}{12}\times\frac {4}{9}^n-\frac{\sqrt{3}}{27}$

c'est ça ?

le n est sur la fraction entière et non sur le 9 mais je n'arrive pas à le faire

merci d'avance !

J'ai aussi ce DM à faire...

Je te rappelle la formule de la somme d'une suite géométrique :

S= $\frac{U_{n+1} - U_0}{q-1}$

En utilisant cela, je trouve...
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{12}\time s\frac{4}{9}^n}{\frac{-5}{9}}$

(qu'est ce que c'est le petit signe à droite du X ? Je n'arrive pas à l'enlever :S)

Et donc, ça donne :

$\frac{\left(\frac{9\sqrt{3}}{1 2}\times{\frac{4}{9}^n}\right) }{-5}$

Et après je ne sais pas si on peut le simplifier, c'est pas mon truc, dès qu'il y a des puissances ou des racines ça m'embrouille...

Floboss07 · 28/03/2007, 20h24

Bon j'ai réussi à le simplifier jusque là :

$\frac{3\sqrt{3}}{-20}\times\frac{4}{9}^n$

Et donc, pour $a_{50}$ j'ai trouvé... 0,433
Mais d'autres (de ma classe) ont trouvé 0,69...

Je ne sais pas lequel est juste.

EDIT : Précision, pour calculer $a_{50}$ , n'oublies pas d'ajouter $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Marth · 15/04/2007, 16h52

et finalement...quelle est la réponse?