Base canonique d'un espace vectoriel complexe ...

LocalStone · 25/04/2006, 13h06

Bon ... Je suis désolé de pourrir le forum avec mes questions débiles ... Mais j'en ai encore une

...
J'ai un exercice qui traite de l'espace vectoriel C^n. Et l'énoncé donne la base canonique C = (e_1, e_2 ... e_n).
Mais y a pas un problème ? Parce que, si je ne me trompe, dim(C^n) = 2 * n, non ?
Et si je me trompe (ce qui est surement le cas), c'est quoi une base canonique de C^n ?
Donc je ne comprends pas trop ... Si quelqu'un peut m'expliquer ... Merci

!
++ !
L.S.

rvz · 25/04/2006, 13h12

Salut,

C^n, c'est un espace vectoriel sur le corps C, et pas sur le corps R.
C'est-à-dire que via le choix d'une base, C^n s'identifie à (z1,...,zn) où tous les zi sont des éléments de C.
La base canonique est donc tout simplement
(1,0,...,0)
(0,...0,1,0,...,0)
(0,.....,0,1)
comme dans le cas usuel. C'est juste que tu t'autorises à les mulitplier par des nombres complexes.
Mais, sinon, en effet, C est de dimension 2 sur R, de base 1,i. Donc tu peux voir C^n comme un R espace vectoriel de dimension dim((R^2)^n) = 2n.

__
rvz

doudache · 25/04/2006, 13h15

Salut,

Il faut faire attention sur la structure d'espace vectoriel que tu mets sur $\mathbb{C}^n$ , car il y en a plusieurs. Par exemple

- la structure usuelle de $\mathbb{C}$ -espace vectoriel : dans ce cas, la base canonique est la base fomée des $e_1 = (0, \ldots,0,1, 0, \ldots)$ . Plus généralement, si K est un corps quelconque, on peut de mêm définir la base canonique du K-espace vectoriel $K^n$

- la structure de $\mathbb{R}$ -espace vectoriel, obtenue par restriction des scalaires à $\mathbb{R}$ ; dans ce cas, la dimension est 2n, et une base canonique est donnée par les $e_i$ et les $f_j = (0, \ldots,0,i, 0, \ldots)$ .

Pour mieux comprendre les chose, regarde le cas où n vaut 1 : tu as deux façons de voir $\mathbb{C}$ , soit comme une droite complexe, soit comme un plan réel.

LocalStone · 25/04/2006, 13h17

En fait, je m'étais pas rendu compte que la dimension était 2 * n si le corps des scalaires était R. Mais du coup, je ne comprends pas trop ... Quels sont ces scalaires de C z1, z2 ... zn qui forment une base de C^n ? En fait, si tu pouvais même faire un petit exemple pour C^3, par exemple ... Ce serait vraiment sympa. Merci encore !
++ !
L.S.
[EDIT]Crossposting avec Doudache ... Mais mes questions sont encore valables ! [/EDIT]

jibounet · 25/04/2006, 13h19

C^n est l'espace vectoriel C, dont le corps de base est le corps des complexes. posons e_n un n-uplet de C^n
e_1=(1,0,0,...,0)
e_2=(0,1,0,...,0)
.
.
.
e_k=(0,0,...,0,1,0,..0) n-uplet avec 1 en k-ième position.
.
.
.
e_n
on définit la famille (e_1,e_2,...e_n) .
Card(e_1,e_2,...,e_n)=n et dim(C^n)=n
pour montrer que la famille (e_1,e_2,...,e_n) est une base de C^n (base=famille génératrice ET libre), il suffit de montrer que la famille est libre OU génératrice car Card(e_1,e_2,...e_n)=dim(C^n).
et on montrer facilement que la famille (e_1,e_2,...,e_n) est libre. C'est une base de C^n! On l'appelle BASE CANONIQUE de C^n. Pour la dimension de C^n, c'est du cours. Elle est appelée base CANONIQUE car elle chacun de ses vecteurs est défini comme précédement
un vecteur de cette base canonique est un n-uplet de C^n avec un 1 et que des 0. C'est la base la plus simple d'un K-ev où K=R ou C.
Ciao!!
jibounet

doudache · 25/04/2006, 13h19

Citation:

Posté par LocalStone

Quels sont ces scalaires de C z1, z2 ... zn qui forment une base de C^n ?

Attention, ce ne sont pas des scalaires qui forment une base, mais des vecteurs. Relis le message de rvz, dans lequel il explicite la base.

LocalStone · 25/04/2006, 13h25

Citation:

Posté par doudache

Attention, ce ne sont pas des scalaires qui forment une base, mais des vecteurs.

Hum ... Heuresement que mon prof n'a pas lu ça. Je crois que je me serais fait lapider

.
Euh ... En fait, je crois que j'ai compris d'où vient ma confusion. Je cherche absolument à expliciter les vecteurs de la base avec i ... Mais c'est pas une bonne idée. Le truc, c'est que vu que le corps des scalaires est C, i fait parti des scalaires (Je sais pas si c'est très propre ce que je suis en train de dire). Du coup, le i n'est pas un vecteur, mais un scalaire ... C'est ça ?
Merci !
++ !
L.S.

doudache · 25/04/2006, 13h31

Citation:

Posté par LocalStone

Le truc, c'est que vu que le corps des scalaires est C, i fait parti des scalaires (Je sais pas si c'est très propre ce que je suis en train de dire). Du coup, le i n'est pas un vecteur, mais un scalaire ... C'est ça?

Oui, et grâce à ça, tu peux passer du vecteur (0,...,1,...,0) au vecteur (0,...,i,...,0) en multipliant par le scalaire i.

Dans un cadre plus général, je te propose de réfléchir à l'exercice suivant : soit $K \subset L$ deux corps.

1) Montrer que l'on peut munir $L$ d'une structure naturelle de $K$ -EV

2) On suppose que $L$ est un $K$ -EV de dimension finie $d$ . Montrer que $L^n$ est un $K$ -EV de dimension $nd$ .

rvz · 25/04/2006, 14h02

Après avoir résolu ce petit exo, tu pourras même t'attaquer au début d'un cours sur la théorie de Galois, ou, au moins, un vrai cours sur la théorie des corps...

__
rvz, pour montrer qu'on peut aller toujours plus loin...

LocalStone · 25/04/2006, 14h26

En fait ... Grrr ... C'est chiant parce que je vois le truc, mais je suis incapable de le rédiger correctement ...
1) K est un corps, donc on peut parfaitement dire que K est K-espace vectoriel (de dimension 1, je dirais même ...). On suppose maintenant L non nul. Il est stable par les même lois que K, donc on peut dire que c'est K-espace vectoriel ...
2) Pour définir un vecteur de L, il faut d variable (puisqu'il cet espace est de dimension d). Donc si on définit un vecteur de n coordonnées, il y aura n variables * le nombres de variables nécéssaires pour définir un vecteur de L, soit d * n. D'où dim(L^n) = d * n.
Le truc, c'est que j'ai compris ... Mais alors pour rédiger ...
Merci !
Et c'est quoi - en gros - la théorie de Galois. Je veux dire, ça porte sur quoi, etc. ?

doudache · 25/04/2006, 14h35

Citation:

Posté par LocalStone

1) K est un corps, donc on peut parfaitement dire que K est K-espace vectoriel (de dimension 1, je dirais même ...). On suppose maintenant L non nul. Il est stable par les même lois que K, donc on peut dire que c'est K-espace vectoriel

Il faut plutôt dire que L est un L-EV, et donc un K-EV par restriction des scalaires.

Citation:

Posté par LocalStone

Et c'est quoi - en gros - la théorie de Galois. Je veux dire, ça porte sur quoi, etc. ?

La théorie de Galois, c'est essentiellement l'étude des extensions de corps, c'est à dire des situations $K \subset L$ .

Si tu veux une excellente introduction, accessible à un taupin, il y a des notes d'un cours de Nicolas Tosel (destiné à des élèves de prépa), mais je ne sais pas si les notes sont disponibles sur le web.

rvz · 25/04/2006, 14h50

Plus précisément, la théorie de Galois établit un lien entre les extensions comprises entre K et L, où K et L sont deux cors, et le groupe des automorphismes de corps de L qui fixent K.
Je ne connais pas le cours de Tosel, mais je pene que c'est pas mal (ses bouquins d'agreg se défendent...). Ma référence, c'est plutot le Théorie de Galois, de J. P. Escofier.

Mais ça met en jeu pas mal de notions d'algèbre, et notamment les groupes, les corps, les algèbres. Je te conseille donc de travailler ces notions avant d'aller voir ce qu'est la théorie de Galois...

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rvz

julien_4230 · 03/07/2007, 20h36

Désolé, mais sur celà, ça ne m'aide pas à savoir ce qu'est la base canonique de C... Merci de me donner un coup de main là-dessus

Ledescat · 03/07/2007, 20h43

Citation:

Posté par julien_4230

Désolé, mais sur celà, ça ne m'aide pas à savoir ce qu'est la base canonique de C... Merci de me donner un coup de main là-dessus

Bonjour.
Si tu considères C comme C-ev, alors il est de dimension 1 (par définition, si K est un corps, alors K comme K-ev est de dim 1). Donc tu peux prendre comme base n'importe quel complexe non nul.

En revanche, si tu considères C comme R-ev, alors il est de dimension 2, et (1,i) (base canonique) ou (1,j) sont entre autres des bases de C (comme R-ev).