Coordonnees de divers centres d'un triangle

[Irian]

Etant donne un triangle ABC , quelles sont les

coordonnees du

Orthocentre, incentre , circuncentre, exinscentres

en fonction des coordonnees de A , B et C.

Pour le barycentre il y a une expression simple et bien

connue. Mais pour les autres " centres " ?

[GuYem]

Salut

Pour les autres il y a bien des coordonnées directement calculables en fonction de celles des points. Mais les formules sont immondes.

Le mieux est de prendre un logiciel de calcul formel comme maple d'implémenter de petites procédures qui permettront de les calculer. C'était plus ou moins l'objet d'un module de L3 que j'animais cette année.

A noter que les coordonénes du centre du cercle inscrit, intersection des bissectrices, n'aura pas d'expression "algébrique" en fonction de celles des points ; ie pas d'expression de la forme P/Q avec P et Q des polynomes en les coordonnées de A,B et C. Il y a une racine quelque part ...
Pour obtenir une telle expression, il faut paramétriser le triangle autrement, cela n'est pas compiqué et a été fait relativement récemment par un monsieur dont j'ai zappé le nom ...

Désolé d'être un peu sorti du sujet !

[rvz]

Salut,

Ca me fait penser au théorème de Morley : Cf Proofs on the book.

Thm :
On considère un triangle quelconque ABC, et on trace les trissectrices de chaque angle. On définit A', B' et C' comme les intersections des 2 bissectrices adjacentes. Alors A'B'C' est un triangle équilatéral.

Une remarque : C'est impossible à faire analytiquement (aucune preuve connue analytique) mais on peut le prouver relativement facilement par des petites propriétés élémentaires sur la somme des angles d'un triangle et compagnie. Ca fait un joli développement d'agreg, et c'est *très* simple.

__
rvz, pour libérer la géométrie élémentaire !!

[GuYem]

Un joli développement d'agrèg dis-tu ? De la géométrie en plus ? Je prends !

Tu peux redonner l'énoncé stp, un coup tu parles de trissecter un angle, ensuite tu parles de bissectrices, moi pas compris ...

Mais est-ce assez long pour un développement d'agrèg ? A-t-on montrer qu'il n'y a pas de preuve analytique ?

[rvz]

Salut,

Tu passes l'agreg, Guyem ?
En fait, je ne voulais parler que de trissectrices... Ma langue a fourché.
Je ne sais pas si quelq'un a montré qu'il n'y a pas de preuve analytique. En fait, je pense qu'on pourrait en faire une avec les ordis d'aujourd'hui, mais personne n'a réussi à en fournir une avant 1950, et ça je crois, c'est vrai. En tout cas, il est quasi impossible de le faire à la main.
Comme développement d'agreg, c'est super, parce que :
Il est long comme il faut
Il est élémentaire, donc à priori, tu diras pas n'importe quoi
Il est original !
Et en plus, il est en géométrie, ce qui doit être le domaine il est le plus dur de trouver des développements accessibles aux non spécialistes.
Enfin, il te permet de glisser au passage, dans une petite phrase perverse, que la trisection de l'angle n'est pas constructible à la règle et au compas

Mais tout ça est expliqué dans Proofs on the book, ou peut-être est-ce Joyaux Mathématiques, de Honsberger. L'agreg, c'était il y a longtemps, désolé ...

[GuYem]

Et comment que je passe l'agrèg !

Je vais regarder les bouquins que tu cites, je ne les ai jamais vus.