matrice dans espace euclidien

[myboo45]

Bonjour a tous,
soit e un espace euclidien orienté de dimension 3 rapporté à une base orthonormale directe B. Pour tout a réel on considère l'endomorphisme f dont la matrice b est :
A=1/3 ( a 2 -2
2a 1 2
-2a 2 1 )
Démontrer qu'il existe deux valeurs de a pour laquelle f est un endomorphisme orthogonal.
Pour chacune de ces deux vameurs, déterminer la nature géométrique de f.


Je trouve 1 et -1 est ce correct? et merci de m'indiquer la nature car je ne sais pas.

[rvz]

Salut,

En tout cas, pour 1 et -1, ça marche, ça c'est sûr. Un truc pour le prouver vite fait :
Une matrice orthogonale a ses colonnes de norme 1 et le produit scalaire de 2 colonnes distinctes est 0 (en fait, c'est équivalent puisque X'X = (<X_i,X_j>), où les X_i sont les vecteurs colonnes.)
Donc, dans ton cas, tu te demandes quels sont les a tels que
a^2+4a^2+4a^2 = 9 a^2 = 9
Facile, non ?
Ensuite, la vérification est facile.
Bon, pour déterminer la nature de ces deux endomorphismes, tu peux commencer par essayer de calculer les valeurs propres (Hint : En général, 1 ou -1 est souvent valeur propre d'un endomorphisme orthogonal ) Et le reste doit être dans ton cours.

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rvz