Hydrogen atom - eigenstate/operator

[gruni1]

Bonjour

J ai une question pour exercice de chimie physique. Je ne comprends pas ce qu'il faut faire.
Un atome d'hydrogene peut etre trouvé dans un état d' orbitale sp tel que:
lΨ> = 1/2^1/2 { lΨ₂₀₀> l+> + lΨ₂₁₀> l-> }.
Je ne comprends pas la question et ce qu'il faut faire lorsqu'il est demandé : "Vérifier si l'état est un eigenstate (en français je crois que l'on dit état propre pour eigenstate) pour les opérateurs suivants: Ê, L², S_z, S² (L², S_z, S² sont des opérateurs).

si qqun peut m aider

Merci

Dan

[moco]

Je vais te répondre par une analogie.
Suppose qu'on te donne une fonction y₁ = A e^3x, et qu'on te demande de vérifier que cette fonction est bien une fonction propre de l'opérateur de dérivée première d/dx. Cela revient à demander si le fait d'appliquer l'opérateur à la fonction est équivalent à multiplier cette fonction par une constante (qu'on appellera alors valeur propre)
Pour y parvenir tu fais le calcul :
dy₁/dx = 3A e^3x = 3 y₁.
Réponse : oui, y₁ est une fonction propre de l'opérateur d/dx, avec 3 comme valeur propre.
De même y₂ = A sin 4x est une fonction propre de l'opérateur de dérivée seconde d²/dx², avec -16 comme valeur propre.
Il ne te reste plus qu'à faire de même pour tes opératuer et ta fonction à tester.

[gruni1]

Merci j ai bien compris la consigne...
mais alors que je sais comment appliquer les opeateur L et S je ne sais pas comment appliquer l'operateur E.
Peux tu m aider ?
Merci
Dan

[philou21]

Ben tu ne peux pas résoudre ce type de problème si tu ne connais pas l’action de ces opérateurs sur les fonctions d’espace |n,l,ml> et de spin |s,ms>.

Faut que tu regardes ton cours…

E est l’opérateur énergie, pour l’hydrogène, sa valeur propre ne dépend que du nombre quantique n : E|n,l,m_l>=E(n)|n,l,m_l>
(je mets les opérateurs en gras, je ne sais pas mettre des chapeaux…)
L² a pour valeur propre l(l+1) (en unité h/2/pi) : L²|n,l,m_l>=l(l+1)|n,l,m_l>
L_z a pour valeur propre m_l (toujours en unité h/2/pi) : L_z|n,l,m_l>=m_l|n,l,m_l>

S² et S_z agissent sur les fonctions de spin |s,m_s> avec comme valeurs propres respectives s(s+1) et m_s (toujours en unité h/2/pi).

Voila, tu devrais t’en tirer avec ça.

[philou21]

Désolé gruni1 ! Je viens de m’apercevoir que j’avais lu trop rapidement ton post…

C’est juste l’opérateur Ê qui te pose problème.
En général, cet opérateur énergie se nomme le hamiltonien et est noté H.
Pour les atomes à un électron (l’hydrogène, ou hydrogénoïde) on montre que l’énergie ne dépend que de la valeur du nombre quantique principal. Pour les atomes polyélectroniques, c’est beaucoup plus complexe.

[moco]

L'opérateur hamiltonien est une somme d'une dérivée seconde d²/dr² et d'un terme en 1/r.
Ce n'est pas très difficile de l'appliquer sur les fonctions d'onde hydrogénoïde de type 1s ou 2s, qui sont toutes des exponentielles de r. C'est un peu longuet, c'est tout. Pour les orbitales de type 2p, c'est un peu plus difficile.

[gruni1]

Merci pour toutes ces reponses...très sympa.
si je veux exécuter la consigne comme il le faut, dois je prouver alors que chacune des fonctions constituants lΨ> c'est-à-dire lΨ200>, mais aussi l+> et lΨ210> et enfin l-> sont des "Eigenstate" pour l'opérateur considéré...c'est cela ?
Merci
Dan

[gruni1]

est ce juste si j ecris:

ÊlΨ> = Ê1/2(1/2) { lΨ200> l+> + lΨ210> l-> }
= 1/2(1/2) { ÊlΨ200> Êl+> + ÊlΨ210> Êl-> }
= 0 car Êl+> = 0
merci
Dan

[philou21]

Envoyé par gruni1

est ce juste si j ecris:

ÊlΨ> = Ê1/2(1/2) { lΨ200> l+> + lΨ210> l-> }
= 1/2(1/2) { ÊlΨ200> Êl+> + ÊlΨ210> Êl-> }
= 0 car Êl+> = 0
merci
Dan

Non car Ê n'agit pas sur les fonctions de spin (au moins à ce niveau d'approximation)