Multiplicateur de Lagrange

Lucas91 · 29/05/2006, 15h40

Bonjour, voici mon problème :

J'ai le portrait de phase suivant :

c ln x(t) - d x(t) + a ln y(t) - b y(t) = c ln xo - d xo + a ln yo - b yo.

J'aimerais déterminer les valeurs extremales atteintes par x(t) et y(t) en fonction de a,b,c,d,xo,yo qui sont tous des réels positifs.

Il semblerait que c'est possible par le multiplicateur de Lagrange mais je ne vois pas comment faire.

Si quelqu'un peut m'aider svp, avec celle ci ou avec une autre méthode.

Merci d'avance.

**Coincoin** · 29/05/2006, 18h38

Salut,
Si tu appelles h la fonction : h(x,y)=c ln x - d x + a ln y - b y - (c ln xo - d xo + a ln yo - b yo), il te faut maximiser les fonctions x->x et y->y avec la contrainte h(x,y)=0.
Donc tu étudies des trucs du genre $x-\lambda h(x,y)$ et $y-\mu h(x,y)$ où $\lambda$ et $\mu$ sont des multiplicateurs de Lagrange.
Tu as déjà manié les multiplicateurs de Lagrange ou pas ?

Autre question : est-ce que x et y ne dépendent que de t ? Parce que dans ce cas, ce que j'ai dit ne marche pas vraiment, car tu vas trouver la valeur maximale de x, puis celle de y, sans que le t soit le même.

Lucas91 · 29/05/2006, 18h54

Bonsoir,

Manié non. Je ne sais pas comment m'en servir ni comment les trouver.

En réalité x et y sont définis comme tel.

x'(t) = a x(t) - b (x(t)y(t)
y'(t) = - c x(t) + d x(t) y(t)
x(0)=xo
y(0)=yo

On trouve facilement que ça implique
c ln x(t) - d x(t) + a ln y(t) - b y(t) = c ln xo - d xo + a ln yo - b yo

Je sais que x(t0) sera minimal et x(t1) sera maximal pour y(t0)=y(t1)=a/b

et que y(t2) sera minimal et y(t3) sera maximal pour x(t2)=x(t3)=c/d

Ce que je veux ce sont les valeurs de x(t0), x(t1), y(t2) et y(t3).

jreeman · 29/05/2006, 18h58

Puisque x et y dépendent de t, ne peut-on pas remplacer y(t) par f(x(t)) ?

Ensuite, mon idée est de dériver l'expression et trouver une équation différentielle en f.

Lucas91 · 29/05/2006, 19h23

Non rien qui permette une résolution simple il me semble.

On est en présence d'une équation différentielle non linéaire.

Et je corrige le système de mon précédent message je m'étais trompé :

x'(t) = a x(t) - b x(t)y(t)
y'(t) = - c Y(t) + d x(t) y(t)
x(0)=xo
y(0)=yo

Lucas91 · 29/05/2006, 22h09

SVP , comment j'utilise les multiplicateurs de Lagrange pour résoudre mon problème ?

jreeman · 30/05/2006, 12h35

Désolé je ne vois pas moi personnellement, d'ou vient l'exercice en fait, pourquoi penses-tu qu'on peut le résoudre par les mult. de Lagrange ?