Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

Tofu · 06/06/2006, 18h00

Bonjour,
sauriez vous quel critère utiliser pour savoir si l'approximation de la loi binomiale par la loi normale est bonne ? Je cherche en fait à calculer un nombre minimum de tirages indépendants, connaissants la probabilité de réussite p, pour pouvoir utiliser la loi normale.
Merci pour toute réponse.

zinia · 06/06/2006, 23h22

Bonsoir,
On note n le nombre d'expériences binaires, p la proba de l'évènement élémentaire le moins probable et 1-p celle de l'évènement complémentaire.
Il existe une règle empirique pas très rigoureuse qui est la suivante :
Dès que n dépasse 30, on remplace la loi binomiale par
- une loi de poisson si np<5
-une loi normale si np >5
Bien entendu, ces seuils de 5 et de 30 ne garantissent pas une précision très forte.
En prenant 7 et 50, on aura de meilleures approximations.
ce qu'il faut noter , c'est que si la valeur de la proba autour de la moyenne est assez bonne, elle devient de plus en plus absurde au fur et a mesure que l'on s'en éloigne, surtout si on raisonne en valeur relative.
Par exemple avec n=30 et np =5, les erreurs sont les suivantes
pour k=5 exact = 0,192 approchée =0,195
pour k=0 exact = 0,004 approchée =0,010
pour k=10 exact = 0,013 approchée =0,010
pour k=20 exact = 1,3 10^(-9) approchée =4 10^(-13)

on voit que c'est pas mal pour k=5 (valeur la plus probable) mais que pour 0 et 10 (à 2,5 écart-type de distance) on a des erreurs importantes et que pour k =20, la valeur approchée est dix mille fois plus faible..
Il est vrai que les erreurs en valeurs absolues sont insignifiantes.

Tofu · 07/06/2006, 13h52

Salut Zinia,
merci de m'avoir répondu. Finalement on dirait qu'on a une assez bonne approximation pour un petit nombre d'essais. Y a-t'il d'autres raisons d'augmenter le nombre de tirages ?

ambrosio · 07/06/2006, 14h08

tout dépend de ce que tu veux faire. Les théorèmes de convergence concernent en général, soit la densité autour de la moyenne, soit des probabilités d'intervalles pas trop grands autour de la moyenne. Dans ces cas tu as des convergences en $n^{-1/2}$ .

zinia · 07/06/2006, 14h14

Bonjour,
Je ne comprends pas ta question.
En général, si on augmente le tirage, c'est pour estimer p et l'erreur se divise par racine (n)
On n'est pas obligé de passer par une loi normale pour faire les calculs, la loi binomiale marche bien.
Sur excel par exemple, on l'obtient sans problème pour des valeurs de n jusqu'à 1000

ambrosio · 07/06/2006, 14h43

c'est légitime d'utiliser une approximation gaussienne, parce qu'il n'y a pas d'expression simple pour les intervalles de confiance dans le loi binomiale, donc typiquement, tu testes $n$ sujets, tu estimes $p$ par la proportion observée $\hat{p}$ et la variance de cet $\hat{p}(1-\hat{p})/n$ et ensuite un intervalle de confiance au seuil $\alpha$ par $[\hat{p}-\zeta_{\alpha/2}\,\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n},\hat{p}+\zeta_{\alpha/2}\,\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}]$ où $\zeta_{\alpha/2}$ est le quantile de la loi normale standard.

zinia · 07/06/2006, 16h56

Citation:

Posté par ambrosio

c'est légitime d'utiliser une approximation gaussienne, parce qu'il n'y a pas d'expression simple pour les intervalles de confiance dans le loi binomiale, donc typiquement, tu testes $n$ sujets, tu estimes $p$ par la proportion observée $\hat{p}$ et la variance de cet $\hat{p}(1-\hat{p})/n$ et ensuite un intervalle de confiance au seuil $\alpha$ par $[\hat{p}-\zeta_{\alpha/2}\,\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n},\hat{p}+\zeta_{\alpha/2}\,\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}]$ où $\zeta_{\alpha/2}$ est le quantile de la loi normale standard.

Je suis entièrement d'accord avec toi sauf que ce n'est pas comme cela que Tofu pose le problème. Il s'intéresse à la qualité de l'approximation mais, semble-t-il, pas du tout à celle d'un estimateur.

Tofu · 07/06/2006, 18h33

Citation:

On n'est pas obligé de passer par une loi normale pour faire les calculs, la loi binomiale marche bien.

si on veut tracer le graph de la densité de probabilité en utilisant la loi binomiale et pour n=1000 l'ordinateur va mettre un temps fou non ? ou alors excell a un code adhoc pour le calcul des factorielles...

Citation:

Il s'intéresse à la qualité de l'approximation mais, semble-t-il, pas du tout à celle d'un estimateur.

maintenant si, merci pour les conseils.

ambrosio · 08/06/2006, 11h24

Citation:

Posté par zinia

Je suis entièrement d'accord avec toi sauf que ce n'est pas comme cela que Tofu pose le problème. Il s'intéresse à la qualité de l'approximation mais, semble-t-il, pas du tout à celle d'un estimateur.

j'avais pas capté. Alors il faut savoir que la convergence vers la densité gaussienne n'est pas uniforme. En gros, ça converge bien dans le centre de la distribution, moins bien pour les queues. Pour avoir des détails, il suffit de consulter un cours de probas, par exemple Chow & Teicher, ou pour un traitement très détaillé, Shorak & Wellner.

Tofu · 08/06/2006, 11h51

Alors pour avoir une très bonne estimation il faut mettre au minimum combien d'écarts-type entre l'espérance et la borne la plus proche ? j'avais lu 6.

ambrosio · 08/06/2006, 12h09

telle que tu la poses, on ne peut pas répondre à cette question. Vraiment, je te conseille de lire un cours de probas: il y a plusieurs modes de convergence, plusieurs versions du théorème central limite, des inégalités de grandes déviations, des lois du logaritme itéré, etc. et de plus, dans la plupart des cas, tu vas trouver des bornes pour la vitesse de convergence, mais il y aura des constantes indéterminées, et donc donner une valeur de n telle qu'on ait une "bonne approximation" c'est difficile. Ou alors, il y a l'approche par simulation.