Ensemble ordonné et treillis

Bleyblue · 10/06/2006, 12h05

Bonjour,

J'essaie de montrer que tout treillis fini (c'est à dire un ensemble ordonné fini E,R tel que toute paire d'élements admette une borne supérieur et une borne inférieur) admet un maxium (c'est à dire un élement x tel que aRx pour tout a de E) et un minimum (un élément y tel que yRa pour tout a de E)

Bon, j'essaie de montrer que :

(pas de maximum ou pas de minimum) => E n'est pas un treillis

a) Je suppose que E ne possède pas de minimum. J'affirme que cet ensemble admet au moins deux éléments minimaux distincts (c'est à dire des éléments x tels que tRx => x=t pour tout t de E) parce que :

-S'il n'en admettait qu'un seule alors ce dernier serait un minimum (par définition)
-S'il n'en admettait aucun alors l'ensemble serait infini car :
pour tout x de E il existerait t tels que tRx et t différent de x, en d'autres termes le nombre d'éléments serait infini)

Si je sélectionne deux éléments distincts a et b parmis les éléments minimaux j'aurais :

pour tout t de E :

tRa => t = a
tRb => t =b
(a différent de b)

Nous n'avons pas ni aRb ni bRa sinon a et b ne seraient pas minimaux.
Ce couple d'éléments n'admet pas de minimum, un élément y tel que yRa et yRb ne pourrait pas exister (sinon a et b ne seraient pas minimaux)

Donc l'ensemble n'est pas un treillis

b) Je suppose que E ne possède pas de maximum et le raisonnement est similaire

Ca va ça ?

merci

**matthias** · 10/06/2006, 12h47

Si le minimum existe, alors c'est l'unique élément minimal, mais on peut avoir un unique élément minimal sans avoir de minimum (avec une relation d'ordre partiel).

Par exemple, tu prends l'ensemble $\left( \mathbb{R} \times ]0;+\infty[ \right) \cup {(0;0)}$ , muni de la relation d'ordre :

$(x;y) \mathfrak{R} (x';y') \ \Longleftrightarrow \ (x=x') \text{ et } (y \leq y')$

(0;0) est l'unique élément minimal, mais n'est pas un minimum.

Bleyblue · 10/06/2006, 13h04

Mais ton ensemble est infini ...
C'est aussi possible pour les ensembles finis ?

merci

**matthias** · 10/06/2006, 13h07

Je n'ai jamais dit que mon ensemble satisfaisait tes hypothèses. Ce que je conteste, c'est cette phrase :

Citation:

-S'il n'en admettait qu'un seule alors ce dernier serait un minimum (par définition)

Cela ne découle pas directement de la définition.

Bleyblue · 10/06/2006, 13h14

Ah ok, je vais essayer de justifier mais sinon pour ton exemple moi il me semble que (0,0) n'est pas minimal vu que (0,0) R (a,b) n'implique par (a,b) = (0,0)

on a (0,0) R (0,0) mais aussi (0,0) R (0,a) a réel positif

non ?

Bleyblue · 10/06/2006, 13h18

Ouille non pardon je m'embrouille dans mes définitions

**matthias** · 10/06/2006, 13h19

Oui mais c'est (a;b) R (0;0) qui implique (a;b) = (0;0)

Bleyblue · 10/06/2006, 13h23

Ok oui je me suis emmêlé les pinceaux.
Bon je vais essayer de justifier ça un coup ...

merci

Bleyblue · 10/06/2006, 13h38

Mais en fait c'est aussi possible avec les ensemble finis parce que si je remplace ton ensemble par :

{-2,-1,0,1,2} x {0,1,2,3,4}

par exemple, le même problème se présente.

C'est peut-être bien faux ce que j'essaie de montrer alors

Bleyblue · 10/06/2006, 13h47

Ah non parce que dans ce cas la on a plusieurs éléments minimaux

Bleyblue · 10/06/2006, 13h57

Ah mais attend, dans ton exemple aussi il y a plusieurs minimaux non ?

Si a est un réel fixé alors (a,0) est minimal je pense

Merci

**matthias** · 10/06/2006, 14h25

Citation:

Posté par Bleyblue

Ah mais attend, dans ton exemple aussi il y a plusieurs minimaux non ?

Si a est un réel fixé alors (a,0) est minimal je pense

Non, puisqu'il n'appartient pas à l'ensemble. y est forcément non nul sauf si x est lui-même nul.

Bleyblue · 10/06/2006, 14h31

Ahhhh mince, j'ai mal interprété tes notations alors.
Pour moi c'était équivalent à $\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}^+$ ce qui aurait tout changé

merci

**homotopie** · 10/06/2006, 14h38

Cherche à montrer proprement le résultat (vrai au demeurant) signalé par Matthias, tu verras que ça va tout seul mais en appliquant trois définitions (élt minimal, minimum et treillis)

Bleyblue · 10/06/2006, 15h09

Mais je ne peux pas utiliser la définition de treillis vu que je cherche à démontrer justement que l'ensemble n'est pas un treillis.

C'est bien de ce résultat la :

$(\exist ! b \in E : aRb \Rightarrow a = b \forall a \in E) \Rightarrow bRt \forall t \in E$

que tu parles ?

merci

**matthias** · 10/06/2006, 16h07

Personnellement, ce que je commencerais par montrer, c'est que E étant fini, pour tout élément x de E, il existe un élément minimal a tel que aRx. Ensuite il n'y a plus grand-chose à faire.

Bleyblue · 10/06/2006, 16h18

Citation:

Posté par matthias

Personnellement, ce que je commencerais par montrer, c'est que E étant fini, pour tout élément x de E, il existe un élément minimal a tel que aRx. Ensuite il n'y a plus grand-chose à faire.

Ah, mais c'est évident vu que R étant un ordre, c'est réflexif et donc xRx pour tout x de E.

merci

**homotopie** · 11/06/2006, 00h01

Citation:

Posté par Bleyblue

Ah, mais c'est évident vu que R étant un ordre, c'est réflexif et donc xRx pour tout x de E.

merci

Je crois que Matthias parle d'un élément x quelconque d'un ensemble ordonné quelconque (seule la propriété finie joue un rôle ici donc autant montrer en tooute généralité).
Donc c'est un peu moins évident que ce que tu écris.

Sinon je précise mon idée, il est facile de montrer qu'un élément minimal d'un treillis est un minimum. Ce qui suffit largement (le cas deux élts minimaux distincts, ou plus, est immédiatement exclus par le fait évident qu'un minimum est unique)
Néanmoins, il est plus simple de l'ajouter au fait qu'il existe au moins un élt minimal dans un ensemble ordonné fini.