Les lagrangiens équivalents

[PopolAuQuébec]

Bonjour à tous,

On sait que deux lagrangiens qui ne diffèrent l'un de l'autre que par la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction quelconque des coordonnées généralisées et du temps mènent aux mêmes équations du mouvement.

Ma question : Est-ce que l'inverse est vrai, c'est-à-dire si deux lagrangiens mènent aux mêmes équations du mouvement alors ils diffèrent l'un de l'autre tout au plus par la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction des coordonnées généralisées et du temps ?

Merci

[champunitaire]

Envoyé par PopolAuQuébec

Bonjour à tous,

On sait que deux lagrangiens qui ne diffèrent l'un de l'autre que par la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction quelconque des coordonnées généralisées et du temps mènent aux mêmes équations du mouvement.

Ma question : Est-ce que l'inverse est vrai, c'est-à-dire si deux lagrangiens mènent aux mêmes équations du mouvement alors ils diffèrent l'un de l'autre tout au plus par la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction des coordonnées généralisées et du temps ?

Merci

salut

oui popol la réciproque est vraie, ca se démontre.


a pluche

[PopolAuQuébec]

Envoyé par champunitaire

salut

oui popol la réciproque est vraie, ca se démontre.


a pluche

Merci Champ, au niveau intuitif c'est bien ce que je pensait.

Sinon, aurais-tu davantage de détails ?

A+

[champunitaire]

resalut

bon ecoute comme ce soir j'ai pas envie de faire du latx que vais vite te dire comment faire , les grandes lignes a suivre.

L1 et L2 les deux lagrangiens


Si L1 et L2 donnent les même equations de mouvements alors les deux action S1 et S2 sont egales.bon. la variation de delta(S1-S2)=o.appellons .
alors

delta (integrale entre t1 et t2) de(L1-L2) dt =o
appellons f(q,qpoint,t)=L1-L2

après tu exprime la variation de l'integrale de f en fonction des q et des q point.
or df/dqpoint *qpoint=o
ainsi delta s= df(q,qpoint,t)/dqpoint *dq |(entre t1 et t2) =o, forcement ,(et comme dq different de zero en general)
f(q,qpoint,t) est une fonction de q et de t seulement appellons la B(q,t)
c'est a dire qu'en vérité on doit poser
f(q,qpoint,t):=B(q,t)

alors de ce qui est dit plus haut (et comme dq different de zero en general)
S1-S2=df(q,qpoint,t)/dqpoint =B(q,t)

en exprimant l'action grace a l'integrale sur le temps des lagrangiens

S1-S2=(integrale entre t1 et t2)de [L1(q,qpoint,t)-L2(q,qpoint,t) ]dt= B(q,t)

ainsi il suit en dérivant que

L1(q,qpoint,t)-L2(q,qpoint,t)=dB(q,t)/dt

CQFD.

[PopolAuQuébec]

Envoyé par champunitaire

...appellons f(q,qpoint,t)=L1-L2

après tu exprime la variation de l'integrale de f en fonction des q et des q point.
or df/dqpoint *qpoint=o

Salut,

J'imagine que df/dqpoint est la dérivée partielle de f(q,qpoint,t) par rapport à qpoint.
Tu dis : "or df/dqpoint *qpoint=o" mais je ne vois pas sur quoi tu te bases pour affirmer cela.

Peux-tu m'éclairer là-dessus ?

A+

[champunitaire]

salut oui ça mérite une petite explication.il ya peut etre eu confusion de ma part ou faute de frappe je ne comprends pas...


ceci dit en effectuant la variation de S
on a par integration par partie du deuxieme terme que multiplie le dqpoint ,soit (integrale de)df/dqpoint*dqpoint
que
delta S=df(q,qpoint,t)/dqpoint * dq (entre t1 et t2) + (integrale entre t1 et t2 de) (equation de lagrange de f(q,qpoint,t)dqdt=o

comme l'integrale ou apparait l'equation de lagrange est nulle par definition ,puisque les deux lagrangiens L1 et L2 et donc f est sol de ces equations, alors on a que

delta S=df(q,qpoint,t)/dqpoint * dq (entre t1 et t2)=o

comme dq est quelconque forcement
f ne depend pas de qpoint

ainsi S=(integrale entre t1 et t2 de )L1(q,qpoint,t)-L2(q,qpoint,t)=f(q,t) dt


pfffoiouffff....


bon ben si tu ne comprends encore pas, crois moi moi non plus je n'y comprends plus rien!

voila je voulais juste t'aider, si c'est de la merde donne moi un


a plus

[champunitaire]

erratum, il fallait lire

S=(integrale entre t1 et t2 de )L1(q,qpoint,t)-L2(q,qpoint,t) dt=f(q,t)

et non


S=(integrale entre t1 et t2 de )L1(q,qpoint,t)-L2(q,qpoint,t)=f(q,t) dt

[PopolAuQuébec]

Envoyé par champunitaire

voila je voulais juste t'aider, si c'est de la merde donne moi un

Salut champunitaire,

J'apprécie très sincèrement que tu prennes le temps de m'aider à résoudre ce problème.
J'étudie ta solution.

A+

[frenatchl]

Envoyé par PopolAuQuébec

Bonjour à tous,

On sait que deux lagrangiens qui ne diffèrent l'un de l'autre que par la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction quelconque des coordonnées généralisées et du temps mènent aux mêmes équations du mouvement.

Ma question : Est-ce que l'inverse est vrai, c'est-à-dire si deux lagrangiens mènent aux mêmes équations du mouvement alors ils diffèrent l'un de l'autre tout au plus par la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction des coordonnées généralisées et du temps ?

Merci

Bonjour, la question m'a aussi taraudé pendant des mois
Je crois avoir enfin trouvé la solution :

Tout d'abord mettons au clair ce qu'on veut démontrer : deux actions sont égales si et seulement si les lagrangiens différent d'un dérivée temporelle d'une fonction f(q(t),t).

C'est à peu près la même chose que votre énoncé, à une petite subtilité près : des actions égales amènent aux mêmes équations du mouvement (bien sûr), mais le contraire n'est pas vrai : si S est une action, -S, aS, S^n donnent des éq de langranges équivalentes.

La démonstration maintenant :

La condition suffisante est évidente par intégration.
Pour la condition nécessaire, posons L=L1-L2 la différence des deux lagrangiens et S=S1-S2 la différence des deux actions.
Comme S=0, elle est extrémale pour n'importe quel chemin, et donc l'équation de lagrange de L est vérifiée sur n'importe quel chemin (qui respecte la condition aux bords bien sûr).

Or, pout tout (x,y,z) on peut trouver un chemin qui vérifie les conditions aux bords (q(t1)=q1 et q(t2)=q2), et aussi q(z)=x et qpoint(z)=y. En effet, on peut toujours trouver un chemin passant par trois points et ayant une vitesse donnée en un des trois.

Conclusion : l'équation de lagrange pour L donne une équation aux dérivées partielles de L :

où L=L(x,y,z)

on peut ré-écrire cela en


d'où on déduit

et


d'où il vient qu'il existe une fonction A telle que
et
d'où enfin, L(x,y,z) = A(z).y + A'(z).x + B(z)

on pose maintenant f(x,z) = A(z).x + C(z) où C est un primitive de B
on obtient


appliqué à un chemin q(t), cela donne

[omicron]

Bonjour,

Je n'apporte pas d'éléments nouveaux au raisonnement, je me demande seulement dans quel(s) cas pratique utilise t-on les équations de Lagrange ?
Dans mon maigre parcours scientifique je ne les ai jamais rencontré...

Si j'ai bien compris ce sont une reformulation des équations de Newton ...

Merci

[Gwyddon]

Bonjour,

Toute la formulation du Modèle Standard, ainsi que la formulation de la mécanique quantique par intégrale de chemin (donc par extension toute la mécanique statistique "moderne" ) repose sur la formulation lagrangienne donc sur des lagrangiens

[omicron]

Ah quand même !! C'est étrange, mais en fac on doit s'en servir sans savoir ce que s'est vraiment !! Merci de ta réponse modo