Signature de la métrique d'une variété pseudo-riemannienne

[Lévesque]

Bonsoir,

je fouille un peu dans mes livres, et partout je trouve que la signature de la métrique d'une variété pseudo-Riemannienne ne change pas suite à un changement de base orthonormale.

Or, personne n'explique pourquoi...

C'est difficile à démontrer?

Je ne sais pas pourquoi, j'ai toujours envie d'utiliser le fait que toute métrique en RG peut être trouvée à partir de la métrique minkowskienne par une transformation de coordonnées. Par conséquent, une métrique quelconque peut s'exprimer à partir de la métrique minkowskienne par un changement de coordonnées. Je me dis que c'est ça le changement de base, et que comme on retombe toujours sur la métrique de Minkowsi, la signature est toujours la même...

Mais ça ma l'air un peu trivial comme argument...



Si quelqu'un pouvait m'aider à clarifier ça...

Merci,

Simon

[martini_bird]

Salut,

c'est simplement le théorème d'inertie de Sylvester, non ?

Cordialement.

[PopolAuQuébec]

Salut Simon,

Pour essayer de répondre à ta question, j'ai cherché sur Google et j'ai trouvé le site suivant : http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node1.html

Je ne sais pas si tu y trouveras la réponse à ta question, mais le site semble contenir beaucoup de matériel relatif à certaines de tes questions. Peut-être le connais-tu déjà, mais je te le cite au cas où.

A+

[Archonon]

Envoyé par PopolAuQuébec

Salut Simon,

Pour essayer de répondre à ta question, j'ai cherché sur Google et j'ai trouvé le site suivant : http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node1.html

A mon avis tu vas le perdre au détour ... d'une fibre.
Pour la démo l'idée est de faire un petit raisonnement par l'absurde et supposer que tu peux trouver 2 bases qui correspondent a des signatures differentes, à partir de la pour un vecteur astucieusement choisi (certaines composantes s'annulent ds les deux bases) tu peux montrer que son carré scalaire est negatif pour une des bases, je te laisse conclure.

[Lévesque]

Envoyé par Archonon

A mon avis tu vas le perdre au détour ... d'une fibre.
Pour la démo l'idée est de faire un petit raisonnement par l'absurde et supposer que tu peux trouver 2 bases qui correspondent a des signatures differentes, à partir de la pour un vecteur astucieusement choisi (certaines composantes s'annulent ds les deux bases) tu peux montrer que son carré scalaire est negatif pour une des bases, je te laisse conclure.

Merci, si tu me permets, je te demande quelques précisions.

Disons, pour faire très simple, je peux choisir de travailler dans le plan xt. Ensuite, avec une signature, j'ai que le produit scalaire du 4-vecteur (avec 2 composantes nulles) est égal à, disons, x^2-t^2? Si je suppose que la même base correspond aussi à une signature différente, alors j'ai que le produit scalaire est aussi égal à t^2-x^2?

[gatsu]

Envoyé par Lévesque

Bonsoir,

je fouille un peu dans mes livres, et partout je trouve que la signature de la métrique d'une variété pseudo-Riemannienne ne change pas suite à un changement de base orthonormale.

La signature est une cactéristique intrinsèque à toute forme quadratique (et la métrique est une forme quadratique). Il existe a priori plus d'une réduction possible d'une telle forme, et le nombre de signes "-" et de signes "+" dans cette forme réduite constitue la signature (il est à noter qu'on ne précise pas à ce moment là devant quel "type" de coordonnées est chaque signe). Comme de toute façon une forme quadratique est invariante par toute transformation passive et que n'importe quel changement de base constitue une transformation passive alors la métrique est () est la même quelle que soit le système de coordonnées. Aussi, en utilisant le raisonnement proposé par Archonon, on trouve que la signature de la métrique est invariante pour tout changement de base, ce qui normalement répond à ta question.