Système trois équations trois inconnues

[kNz]

Bonjour à tous,

J'ai trois équations :

signifiant modulo 26.

Je mets tout ça sous forme de matrice pour résoudre à la méthode de Gauss :

Mais euh j'ai un peu la flemme de resoudre ça

Un logiciel peut être ??

Merci d'avance

A+

[nostress]

slt,
dis moi T sur d'avoir un systeme 3 equations, 3 inconnues et non pas 3 eq et 2 inconnues ou alors ya un soucy..
Si jamais il y a 3 variables dis moi laquelle est la 3eme
Pour le soft de math, tu peu t'essayer sur scilab qui est gratuit; Tu trouveras certainement une methode pour resoudre un systeme du genre.. a voir
sinon 5 à 10 min pour resoudre ca... ne pas etre trop feneant...
ciao je te souhaite un enorme courage pour resoudre ca..

[kNz]

Salut nostress merci pour ta réponse,

26[26] = 26k, k appartenant à IN,

Je peux pas poser ça comme une inconnue ?

[robert et ses amis]

Envoyé par kNz

Salut nostress merci pour ta réponse,

26[26] = 26k, k appartenant à IN,

Je peux pas poser ça comme une inconnue ?

surtout pas! tu crois vraiment que c'est le même k dans chacune des équation?

et en plus "26[26] = 26k, k appartenant à IN" n'est pas correct, ce serais plutôt
26[26] = 26+26k

c'est pas flagrant ici, mais pour un autre cas, ça donne 15[26]=15+26k.
et donc ta formulation matricielle ne correspond même pas à ce que tu proposes.

[robert et ses amis]

essaie plutôt de manipuler un peu les équations pour faire disparaître des 'a' et des 'b', ça devrait mieux marcher

[hbenalia]

Bonjour kNz

Dans ton écriture, tu n'as que deux inconnues, qui sont a et b. Pour les trouver tu pourras utiliser les propriétés des congruences... En voici une idée:

On a :

16a + b = 26 [26]
7a + 5b = 15 [26]
15a + 18b = 13 [26]

Déjà tu peux remplacer le 26 (deuxième membre de la première) par 0 (reste de la division de 26 par 26).

Tu multiplies ensuite les 2 membres de la première par 3, tu auras:

48a + 3b = 0 [26]
7a + 5b = 15 [26]
15a + 18b = 13 [26]

et en sommant ces trois (équations) membre à membre, on aura:

70a + 26b = 28 [26] c-à-d : 18 a = 2 [26] .... (2)

(en remplaçant 70 , 26 et 28 par leurs restes respectifs 18 , 0 , 2 dans la division par 26)

Il nous reste à trouver le a vérifiant (2); puis l'utiliser pour trouver le b à partir de l'une des équations données précédemment.


En continuant les calculs, j'ai trouvé: (j'espère que je ne me suis pas trompé)

a = 3 [26] , b = 20 [26]

ou

a = 16 [26] , b = 4 [26]

[kNz]

[ edit : annulé ]

D'accord merci hbenalia et robert et tes amis, j'ai compris.

Je repasse bientôt avec un autre exemple

[kNz]

Arf temps d'édition :?

Une petite question, comment trouver les a et b simplement en modulo ?

[hbenalia]

Je n'est pas compris ta question!

Les résultats que j'ai donné pour a et b sont des congruences modulo 26.

L'expression "a = 2 [26]" se lit "a congru à 2 modulo 26"

[kNz]

Envoyé par hbenalia

Je n'est pas compris ta question!

Les résultats que j'ai donné pour a et b sont des congruences modulo 26.

L'expression "a = 2 [26]" se lit "a congru à 2 modulo 26"

Excuse moi je reformule ma question

Il nous reste à trouver le a vérifiant (2); puis l'utiliser pour trouver le b à partir de l'une des équations données précédemment.


En continuant les calculs, j'ai trouvé: (j'espère que je ne me suis pas trompé)

C'est ce passage là que j'aimerais que tu développes pour trouver simplement les a et b.

Merci

[ edit : 1000ème message, ouahou ^.^ ]

[hbenalia]

Bonjour

Résoudre l'équation : 18 a = 2 [26] .... (2), revient à résoudre l'équation :
18 a = 2 dans l'ensemble Z/26Z
(Anneau Z/nZ) (18 , a , 2 dans cette équation sont des classes d'équivalence), on cherchera la classe (les classes) a de telle sorte que le produit 18 a soit égal à la classe 2, sachant que l'ensemble Z/26Z contient 26 classes d'équivalence de 0 à 25, et en faisant des vérifications j'ai trouvé (en s'aidant par le logiciel Excel de Microsoft Office) que : a = 3 ou a = 16 (en classes d'équivalence), en revenant en congruences on aura :
a = 3 [26] ou a = 16 [26]
Et remplaçant respectivement dans la première équation donné en énoncé (après simplification) i.e l'équation 16a + b = 0 [26] : on aura:

Pour : a = 3 [26] on a : b = 4 [26] (Ce couple satisfait les trois équations données)
Pour : a = 16 [26] on a : b = 4 [26] (Ce couple n'est pas valable -ce que je ne comprends pas-, il ne vérifie que la première... et pourtant).

Et non pas ce que j'ai trouvé dans le précédent message, j'ai commis une erreur par précipitations et que je corrige:

En continuant les calculs, j'ai trouvé: (j'espère que je ne me suis pas trompé)
a = 3 [26] , b = 20 [26]
ou
a = 16 [26] , b = 4 [26]

Faites les vérifications... Et corrigez-moi!!!

Merci