Conformité de deux bandes

Quinto · 16/08/2006, 15h42

Salut,
on sait que deux bandes du plan complexe sont nécessairement conformes.
Ce que j'appelle bande ouverte, c'est tout simplement un ensemble de la forme
$Ban(a,b)=\left\{z \in \mathbb{C} a<Re(z)<b,\right\}$
à une rotation + translation près, mais sans perte de généralité, on peut prendre ces bandes ci.

Il est clair que les applications $h^+(z)=\frac{R}{r}z+iy$ et $h^-(z)=-\frac{R}{r}z+iy+R$ envoient la bande ban(r,0) sur ban(R,0), mais je me demandais s'il y'en avait d'autres.

En fait on sait qu'un domaine $\Omega$ du plan, différent de $\mathbb{C}$ tout entier, est nécessairement conforme au disque unité, via une et une seule application f telle que pour $z_0$ fixé, $f(z_0)=0$ et $f'(z_0) \in R^+$
En fait, on voit bien que pour un vecteur u fixé, on peut remplacer la condition f'(z0) dans R+, par f'(z0) colinéaire à u.
Je me demandais si on pouvait avoir des conditions similaire dans mes bandes, à savoir:
il existe une seule application conforme g telle que g(z0)=0 et g'(z0) vérifie une condition.
Quelle pourrait être cette condition?
Si je la trouve, ca pourrait me permettre d'infirmer ou de confirmer l'unicité des fonctions que je cite plus haut.
Toute proposition constructive est la bienvenue.
Merci.

Quinto · 17/08/2006, 16h57

Re-salut,
notons que si quelqu'un peut m'aider à trouver une application conforme entre une bande Ban(a,b) et le disque unité, ou le demi plan supérieur, alors je peux résoudre mon problème assez simplement.
Alors si quelqu'un a des idées sur ce sujet, je suis également preneur.
Merci d'avance.
a+

Quinto · 17/08/2006, 18h15

Sauf erreur de ma part, $\frac{z+1}{z-1}$ fait l'affaire pour envoyer la bande Ban(0,1) sur le disque unité.
Je vous tient au courant à propos du résultat que j'énoncais.
a+

Quinto · 17/08/2006, 21h32

Visiblement ca n'intéresse personne, mais tant pis:
Mon but était de trouver toutes les applications conformes entre Ban(r,0) et Ban(R,0) pour r<0 et R<0.
Voilà chose faite, si je n'ai pas dit de bétise, et celles ci sont de la forme:
$-\frac{i(zd-icr)R}{bz-iar}$ où ad-bc=1
Merci tout particulièrement à Martini_Bird.
a+

martini_bird · 18/08/2006, 12h28

Salut,

je suis tombé hier soir par hasard sur un passage qui pourrait t'intéresser : c'est dans La géométrie algébrique - recherches historiques de C. Houzel, p.136.

Citation:

H. Villat (1912) a donné des formules explicites pour résoudre le problème de Dirichlet dans une couronne limitée par deux cercles de rayon 1 et q (q<1) en se servant de la fonction $\frac{\sigma^'}{\sigma}$ où $\sigma$ est la fonction de Weierstrass construite sur des périodes $2\omega_1$ et $2\omega_3$ telles que $q=e^{\pi i \omega_3/\omega_1$ ; il en a déduit des formules pour la représentation conforme d'une aire annulaire (comprise entre deux courbes fermées simples) sur une couronne circulaire (1921).

Malheureusement la bibliographie donne deux réfs sur des travaux de Villat (1929 et 1931) mais pas sur ce sujet.

C'est dans le cadre de la théorie des fonctions elliptiques : $\sigma$ est la fonction qui vérifie $\sigma^'(0)=1$ et $\frac{d^2}{du^2}\log \sigma(u)=-\wp (u)$ (fonction $\wp$ de Weierstrass). Elle s'écrit aussi

$\sigma(u)=u\prod_{w\neq 0}\left(1- \frac{u}{w}\right)\exp\left( \frac{u}{w}+ \frac{u^2}{2w^2}\right)= u-\frac{1}{2}g_2\frac{u^5}{5!}-6g_3\frac{u_7}{7!}+\cdots$

le produit portant sur les points du réseau sauf l'origine.

Je ne sais pas si ça te sera utile mais comme on en discutait hier...

Cordialement.

Quinto · 18/08/2006, 14h46

Excellent, ca m'intéresse beaucoup, je vais prendre la référence.
Sinon j'ai dit une bétise sur les applications conformes d'une bande vers une autre, ce ne sont pas les bonnes fonctions, mais comme personne n'est intéressé, je ne m'embeterai pas à les donner ici

Merci pour ta référence martini.
a+

martini_bird · 18/08/2006, 15h09

Citation:

Posté par Quinto

Sinon j'ai dit une bétise sur les applications conformes d'une bande vers une autre, ce ne sont pas les bonnes fonctions, mais comme personne n'est intéressé, je ne m'embeterai pas à les donner ici

Comme c'est la composition d' homothéties, d'inversions et d'homographies, on obtient donc une homographie, mais j'avoue ne pas avoir eu la patience de vérifier...

Juste une remarque : c'est pas parce que personne ne répond aujourd'hui que ça ne pourra pas intéresser quelqu'un plus tard...

Bien à toi.

Quinto · 18/08/2006, 15h50

Citation:

Posté par martini_bird

Juste une remarque : c'est pas parce que personne ne répond aujourd'hui que ça ne pourra pas intéresser quelqu'un plus tard...

Bien à toi.

Je sais, et par honneteté intellectuelle, je ne peux m'empecher de donner ce que j'ai trouvé (à prendre sous toute reserve cependant):
la bande ban(r,0) est envoyée sur la bande ban(R,0) par toutes les applications $-R\frac{az-br}{cz-dr}$ où ad-bc=1 et a,d sont réels, b,c imaginaires purs.

Quinto · 21/08/2006, 16h09

Salut,
je viens de trouver article dudit chercheur.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AS..._38__183_0.pdf
Sur la représentation conformes des aires doublement connexes, si jamais ca en intéresse ici...
En tout cas, ca m'intéresse

a+ et merci Martini_Bird.