Généralisation du grand théorème de Fermat

breukin · 21/08/2006, 17h01

Que sait-on du nombre N(n,p) de solutions entières strictement positives de l'équation :
x₁ⁿ+x₂ⁿ+...x_pⁿ = x₀ⁿ

Le grand théorème de Fermat dit que N(n,2)=0 si n>2

En revanche, N(3,3)>0 puisque 3³+4³+5³ = 6³

rvz · 21/08/2006, 17h04

Bonjour,

Je vais pas faire beaucoup avancer le schmilblick, mais je suis sûr d'avoir déjà vu ça un jour. Je pense que des gens se sont déjà posés cette question (et je pense aussi qu'ils n'ont pas du aller très loin, mais là, j'avoue que c'est plus de l'ordre de l'intuition qu'autre chose).

__
rvz, inutile ?

breukin · 21/08/2006, 23h00

Une petite correction pour que le problème soit plus intéressant : "Que sait-on du nombre N(n,p) de solutions entières strictement positives et indépendantes"
Car sinon, dès qu'il y en a une, il y en a une infinité par homothétie.

zinia · 22/08/2006, 16h59

Bonjour,

Je crois qu'il existe une conjecture affirmant qu'il existe une solution d'ordre n, c'est à dire que l'on peut trouver (n+1) entiers positifs $x_0,x_1,..x_n$
tels que $(x_0)^n=\sum_{k=1}^n (x_k)^n$ .
Une autre conjecture dite d'Euler généralisait le grand théorème de Fermat en affirmant qu'on ne pouvait pas obtenir cette relation avec un nombre de termes inférieurs à n+1. Elle a été contredite par le contre exemple du quintuplet 27,84,110,133,144 pour la puissance 5.
La première reste, de ce que j'en sais, ouverte...

leg · 22/08/2006, 17h42

bonjour.
c'est vrai que la question n'a toujours pas de réponse.
de même celle ci à ma connaissance:

quelque soit le nombres d'entiers à l'exposant N il est toujours à correspondance carrée ou cubique
c'est à dire qu'il existerait un facteur K entier , et 3 cubes somme d'un cube, qui corresponde par exemple au cinq entiers à la puissance 5 que Zinia vient de citer,

où encore le quarté de N=4 il existe un triplet pythagoricien qui est solution de ce quarté

autre exemple avec le triplet de cubes = un cube
comme : 7,14,17 et 20 correspond au triplet 3,4 et 5 avec le facteur K = 20(4²) où encore 20(12²) + 20(16²)= 20(20)²

les 6 entiers 4.5.6.7.9.11 à la puissance 5 somme de 12^5 ont comme égalité le triplet 6,8,10 et 12 exposant 3 et k =144 ou avec K=144(2^3) et le triplet 3.4.5 et 6^3

que sait on la dessus?

Gaétan Mbama · 30/08/2006, 11h12

Salut

Que sait-on du nombre N(n,p) de solutions entières strictement positives de l'équation :
x₁ⁿ+x₂ⁿ+...x_pⁿ = x₀ⁿ

Le grand théorème de Fermat dit que N(n,2)=0 si n>2

Il me semble que l'on peut arriver à répondre à cette question géométriquement en supposant x₁, x₂,...x_p comme étant les côtés d'un polygone irrégulier.

leg · 30/08/2006, 12h15

Citation:

Posté par Gaétan Mbama

Salut

Il me semble que l'on peut arriver à répondre à cette question géométriquement en supposant x₁, x₂,...x_p comme étant les côtés d'un polygone irrégulier.

salut gaétan
quelle différence avec les polygones réguliers?
car sur mon dico, je ne trouve pas de renseignement sur les Poly irré.

Gaétan Mbama · 01/09/2006, 10h24

quelle différence avec les polygones réguliers?
car sur mon dico, je ne trouve pas de renseignement sur les Poly irré.

Salut leg!

Un polygone irrégulier est un polygone dont les côtés sont de mesure différente.

Donc, si on considère les p nombres entiers distincts et non nuls x₁, x₂,...,x_p comme étant les côtés d'un polygone irrégulier, l'équation x₁ⁿ+x₂ⁿ+...+x_pⁿ=x_oⁿ peut se ramener à un système de (p-1) équations de Fermat
x₁ⁿ+x₂ⁿ=z₁ⁿ
z₁ⁿ+x₃ⁿ=z₂ⁿ
...........
z_p-2ⁿ+x_pⁿ=x_oⁿ

Ce système d'équations peut facilement se resoudre géométriquement.

erik · 01/09/2006, 10h35

Citation:

Posté par Gaétan Mbama

[b]l'équation x₁ⁿ+x₂ⁿ+...+x_pⁿ=x_oⁿ peut se ramener à un système de (p-1) équations de Fermat
x₁ⁿ+x₂ⁿ=z₁ⁿ
z₁ⁿ+x₃ⁿ=z₂ⁿ
...........
z_p-2ⁿ+x_pⁿ=x_oⁿ

Non absolument pas, la preuve :
$3^3+4^3+5^3 = 6^3$
Et tu ne trouveras jamais de $z_1\ et\ z_2$ tel que

$3^3+4^3=z_1^3$

$z_1^3+5^3=z_2^3$

leg · 01/09/2006, 12h04

Citation:

Posté par erik

Non absolument pas, la preuve :
$3^3+4^3+5^3 = 6^3$
Et tu ne trouveras jamais de $z_1\ et\ z_2$ tel que

bonjour Erik /gaétan
"citation:
peut se ramener à un système de (p-1) équations de Fermat"

peut être que gaétan entend par là pour (p-1) > 3
non ...?

Pole · 01/09/2006, 12h06

On peut ne pas se limiter aux nombres entiers sauf pour le dernier.
$z1=\sqrt[3](3^3+4^3)$
$z2=6$
Sauf que se limiter aux entiers en géométrie peut poser beaucoup de problème...

Pole.

Gaétan Mbama · 02/09/2006, 15h10

Citation d'érik

Non absolument pas, la preuve :
$3^3+4^3+5^3 = 6^3$
Et tu ne trouveras jamais de $z_1\ et\ z_2$ tel que

$3^3+4^3=z_1^3$

$z_1^3+5^3=z_2^3$

Salut Erik

z₁et z₂ sont des variables fictives.

dans l'exemple que tu as choisi, remplace z₂ par x₀ c'est-à-dire 6 et tu trouveras que tu as tort d'affirmer ce que tu as affirmé.

Gaétan Mbama · 02/09/2006, 15h27

Citation de érik
Non absolument pas, la preuve :
$3^3+4^3+5^3 = 6^3$
Et tu ne trouveras jamais de $z_1\ et\ z_2$ tel que

$3^3+4^3=z_1^3$

$z_1^3+5^3=z_2^3$

Salut érik

z₁ et z₂ sont des variables fictives qui disparaîtront pendant la résolution.

Dans l'exemple que tu as choisi, tu as mal posé les équations. Dans la deuxième équation remplaces z₂ par x₀ c'est-à-dire 6 et tu verras.