une propriété de la fonction Gamma

The Artist · 25/08/2006, 06h20

Bonjour!

La fonction est définie par Gamma(x) = int(t^(x-1)exp(-t), t=0..infinity)

Je désire montrer que x*Gamma(x)=Gamma(x+1) par différentiation paramétrique de la fonction I = int ( t^(x-1)*exp(-a*t), t=0..infinity ) avec a comme paramètre.

Je trouve dI/da (a=1) = -Gamma(x+1)

Mais pour le reste je ne vois pas du tout.. Donc si quelqu'un pouvait bien m'éclaircir, ce serait sympa !

A+

doudache · 25/08/2006, 07h01

Citation:

Envoyé par The Artist

Je désire montrer que x*Gamma(x)=Gamma(x+1)

Le plus simple je pense est de faire une intégration par parties.

The Artist · 25/08/2006, 07h28

Citation:

Envoyé par doudache

Le plus simple je pense est de faire une intégration par parties.

Oui je connais cette méthode mais j'aimerais connaitre la stratégie par différentiation paramétrique

Sinon comment montre-t-on la convergence pour x>-1 et la divergence pour x<-1 ?

Scorp · 25/08/2006, 10h00

Citation:

Envoyé par The Artist

Oui je connais cette méthode mais j'aimerais connaitre la stratégie par différentiation paramétrique

Sinon comment montre-t-on la convergence pour x>-1 et la divergence pour x<-1 ?

$t->t^{x-1}e^{-t}$ est Cpm sur $\mathbb{R}_+^*$ . En 0, tu as que $t^{x-1}e^{-t} \sim \frac{1}{t^{1-x}$ donc d'intégrale convergente sur ]0,1] si et seulement si 1-x<1, donc pour x>0 (la fonction gamma est bien définie pour x>0, pas pour x>-1, enfin, il me semble...). Il te suffit de faire (a peu près) la même chose en +oo.
Sinon, pour la propriété de la fonction gamma, je ne sais le faire que par Ipp, donc pour pour la différentiation paramétrique, je ne peux pas t'aider.

The Artist · 25/08/2006, 10h26

Merci pour la réponse !
Mais que veut dire "une fonction Cpm"?

fritzlm · 25/08/2006, 10h49

Citation:

Envoyé par The Artist

Merci pour la réponse !
Mais que veut dire "une fonction Cpm"?

Continue par morceaux je pense.

Scorp · 25/08/2006, 11h35

oui, désolé, j'aurais dû écrire en toute lettre. Cpm=Continue par Morceau.

doudache · 25/08/2006, 13h08

Citation:

Envoyé par The Artist

Oui je connais cette méthode mais j'aimerais connaitre la stratégie par différentiation paramétrique

Alors peut-etre que tu peux faire un changement de variable dans I (u = at) pour faire sortir le a et ensuite deriver. Je pense qu'en calculant ainsi de deux facons la derivee de I tu auras ton egalite.

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