Equation trigonométrique !

winphoenix · 05/09/2006, 20h55

Bonjour tout le monde, voilà je viens de rentrer en PREPA MPSI et j'ai déja un petit exo a faire qui a première vu à l'air très simple mais qui pour moi pose problème.
Voilà, j'ai 3 équations trigonométriques à résoudre dans R:

1°) -2(sinx)^2 - 3cosx + 4 = 0
2°) (sinx)^4 - (5/2)(sinx)^2 + 1 = 0
3°) sinx + rac(3)(cosx) = rac(2)

Donc voilà ce que j'ai déjà cherché :

1°) j'ai tout exprimé en fonction de cosx :
-2(1 - (cosx)^2) - 3cosx + 4 = 0
2(cosx)^2 - 3cosx + 2 = 0

J'ai donc remarqué la forme ax^2 + bx + c = 0
J'ai donc fait un changement de variable avec U=cosx
Ai-je bon pour la méthode ?

2°) J'ai aucune idée si vous pouviez me donner juste une petite astuce.

3°) La c'est de la forme acosx + bsinx = c
J'ai vu sur votre forum un post qui parlait de la méthode pour résoudre cette équation, mais il se trouve que je ne connais pas du tout ces methodes.
j'ai divisé les membres par rac(1^2+(rac3)^2) donc par 2
d'ou sinx/2 + rac(3)/2cosx = rac(2)/2
est-ce bon pour la méthode ??

Autre petite question, comment résoud t-on une équation du type tanx - x = 0 ?

Merci par avance pour votre aide.

Winphoenix @+

GuYem · 05/09/2006, 21h00

Salut, et bon courage pour la MPSI, quelques indices

a) tu as l'air bien parti

b) essaye de poser X = sin x, peut-être tu verras quelque chose arriver ...

c) aucune idée

winphoenix · 05/09/2006, 21h12

Le truc pour la 2°) c'est que si je pose X = sinx sa me donne donc X^4 + 5/2X^2 + 1 = 0
Comment on résoud ce type d'équation, c'est du quatrième degré ???

pephy · 05/09/2006, 21h52

Citation:

Posté par winphoenix

Le truc pour la 2°) c'est que si je pose X = sinx sa me donne donc X^4 + 5/2X^2 + 1 = 0
Comment on résoud ce type d'équation, c'est du quatrième degré ???

bonjour
en posant X^2=u çà donne une équation du 2d degré

pephy · 05/09/2006, 22h00

Citation:

3°) La c'est de la forme acosx + bsinx = c
J'ai vu sur votre forum un post qui parlait de la méthode pour résoudre cette équation, mais il se trouve que je ne connais pas du tout ces methodes.
j'ai divisé les membres par rac(1^2+(rac3)^2) donc par 2
d'ou sinx/2 + rac(3)/2cosx = rac(2)/2
est-ce bon pour la méthode ??

oui! par contre pourquoi ne pas diviser tout simplement par 2?
1/2= cos(pi/3) rac(3)/2=sin(pi/3)
on a donc sin(pi/3+x)=rac(2)/2=sin(pi/4)

pephy · 05/09/2006, 22h04

Citation:

Autre petite question, comment résoud t-on une équation du type tanx - x = 0 ?

moi je résoudrais çà par approximations successives ou graphiquement...

winphoenix · 05/09/2006, 23h19

Non en fait j'ai pas été assez précis dans ce que demandait l'énoncé, en fait il demande de montrer que l'équation :
tanx - x = 0 admet une unique solution dans
]-pi/2 + npi ; pi/2 + npi [ avec n appartient à N et on note Xn cette solution.

Au fait pour les équation trigonométriques, grâce à vos conseils j'ai réussi à les boucler sans trop de mal

, il ne me reste que cette question à traiter.
Merci pour votre aide.
Winphoenix @+

volsonges · 06/09/2006, 03h26

Je ne vois pas de méthode analytique simple pour montrer l'unicité de la solution.

En fait, le plus simple est de résoudre ça graphiquement, en te demandemant ce que veut dire f(x) = g(x) en terme de x (que se passe-t-il en un x qui est solution de cette équation).

martini_bird · 06/09/2006, 05h27

Salut,

Citation:

Non en fait j'ai pas été assez précis dans ce que demandait l'énoncé, en fait il demande de montrer que l'équation :
tanx - x = 0 admet une unique solution dans
]-pi/2 + npi ; pi/2 + npi [ avec n appartient à N et on note Xn cette solution.

Comme d'habitude, il faut montrer que la fonction est une bijection de $]-\frac{\pi}{2} + n \pi ; \, \frac{\pi}{2} + n\pi [$ sur un ensemble qui contient 0.

Cordialement.

GuYem · 06/09/2006, 09h27

Bien dit Martini. Je parie fort que la prochaine question consiste à montrer que x_n - n*Pi tends vers Pi/2 ...

winphoenix · 06/09/2006, 13h07

En effet la prochaine question porte sur une limite.
Mais pas celle que tu dis.
Il me demande de prouver que:
lim(n->+inf)(Xn)/(npi) = 1
Lol va falloir que j'y réfléchisse à cela aussi

GuYem · 06/09/2006, 13h18

C'est à peu prés le même esprit, même si le résultat que tu annonces me parait bizarre. Si ça se trouve je ne dois pas voir ça comme il faut.

En gros ce qu'il faut voir sur le graphe de la fonction tangente, c'est que les intersections avec la droite y=x se rapprochent de plus en plus des droites verticales de non-définition de tan quand x grandit.