equation fonctionnelle difficile

zinia · 16/09/2006, 09h10

Bonjour à tous

Un problème qui préoccupe pas mal de monde sur d'autre forums :
trouver f continue définie sur R telle que f(1/x) = f(x+1)-f(x).

posée à l'origine sur ce forum :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=17328
(l'origine de l'équation figure en page 4 message 38)
elle a essaimé sur :
http://les-mathematiques.u-strasbg.f...12862&t=312862
où il y a pas mal de choses intéressantes
et également quelques autres :
http://www.mathematex.net/phpBB2/equ...lle-vt944.html
http://www.mathsland.com/index.php?p...c750c80d4b19c6

Identiquement nulle ou pas ?

zinia · 16/09/2006, 09h38

Quelques compléments :
On sait que la fonction s'annule pour $-\Phi;-1;0;0,5;\Phi^{-1}$ phi=nbre d'or=1,618...
que sa limite en + ou- infini est f(1)
qu'elle vérifie l'équation f(1+x)=f(1+1/x) mais ce n'est pas suffisant
que sa connaissance sur [1;1,5] la détermine sur R
qu'elle a une symétrie par raport au point (1;f(1))
Que l'on a trouvé des exemples non triviaux avec une discontinuité en un point

martini_bird · 16/09/2006, 18h17

Salut,

je crois que la fonction $x\rightarrow (x-1)^{1/4}\left( 1+2\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-n^2\pi(x-1)}\right)$ convient...

Plus précisément : la question revient à chercher g(x)=f(x+1) telle que g(1/x)=g(x), et la fonction bien connue de Jacobi $\varphi(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }e^{-n^2\pi x}$ vérifie $1+2\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{x }} \left( 1+2\varphi \left( \frac{1}{x} \right) \right)$ ...

Cordialement.

EDIT : j'ai rien dit, la fonction n'est pas définie en x=1.