complexes

[invitede8a3ed2]

Bonjour j' ai quelques questions sur les complexes que je n'arrive pas à résoudre: J'appelle Z le conjugé de z. Pour tout complexe z, z différent 1, z' = ( z - 1 )/( 1 - Z)

-Montrer que |z'|=1
|z'|= |z-1| / |1-Z|
= |z-1| / |1-z|
= |z-1| / -|z-1| ???
= 1

-Montrer que z' - 1 / z - 1 est réel
Je remplace z' par l'expression de départ, je réduis le tout, trouve un numérateur réel mais pas le dénominateur

-Montrer que z' + 1 / z - 1 est un imaginaire pur.
C'est la même chose je ne trouve que le numérateur imaginaire pur.

Merci de m aider!!
-----

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour l'ensemble de ton exercice, as-tu essayé de poser z=x+iy et Z=... ??

Ca devrait t'aider un peu, normalement
Sachant que si un nombre est un imaginaire pur, il s'écrira sous la forme iY et si il est un réel pur, il n'y aura plus de partie imaginaire...

Duke.

PS :

|z'|= |z-1| / |1-Z|
= |z-1| / |1-z|
= |z-1| / -|z-1| ???
= 1

Mais c'est horrible !... Comment peut-on être aussi cruel envers les complexes et les valeurs absolues ??!

[invitede8a3ed2]

Salut!,

J ai écrit cela car il y a une propriété qui dit que le module d'un complexe z est égal au module de son conjugué mais aussi |z| = | -Z | ,Z conjugé de z

[invitede8a3ed2]

|z'|= |z-1| / |1-Z|
= |z-1| / |1-z|

Jusque là c'est bon normalement!?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

Salut!,

J ai écrit cela car il y a une propriété qui dit que le module d'un complexe z est égal au module de son conjugué mais aussi |z| = | -Z | ,Z conjugé de z

Ca, je le sais bien...
Mais ici les "1" ne te permettent pas d'appliquer ces propriétés telles quelles.

Ce qui était "choquant", c'était :
* le Z qui devient z comme ça
* le "-" devant la valeur absolue à l'avant dernière ligne.

EDIT : Fais ce que je propose dans mon post précédent (juste pour voir)

[invitede8a3ed2]

EDIT : Fais ce que je propose dans mon post précédent (juste pour voir)

Ok, donc |z'|= | a-1 +ib | / | 1-a +ib |
Et aprés comment obtient on 1 ??

Au fait pourquoi tu parles de valeur absolue au lieu de module?

[invite122a3db2]

Ok, donc |z'|= | a-1 +ib | / | 1-a +ib |
Et aprés comment obtient on 1 ??

Hehe c'est trivial

N'as tu pas appris que le module d'un complexe z= x + iy valait ?

En partant de la, tu appliques ça et tu trouveras exactement le même module au dénominateur et au numérateur, qui implique bien que ça soit égal à 1

[invitede8a3ed2]

Oui je m'en suis rendu compte....

Et pour montrer que z' - 1 / z - 1 est réel comment fais tu? J ai un problème pour montrer aprés avoir réduit que le dénominateur est réel. Je trouve : (-2 + z + Z) / (1- Z)(z-1) donc un numérateur réel

[Duke Alchemist]

Oui je m'en suis rendu compte....

Et pour montrer que z' - 1 / z - 1 est réel comment fais tu? J ai un problème pour montrer aprés avoir réduit que le dénominateur est réel. Je trouve : (-2 + z + Z) / (1- Z)(z-1) donc un numérateur réel

Là, tu ne peux pas voir si c'est réel ou imaginaire !!

Le dénominateur aussi, il me semble
Tu as fait le plus le plus dur.
Développe le dénominateur.
Regroupe les z et Z de manière à utiliser les propriétés sur les complexes (z+Z=... et zZ=...).

A force, tu verras que les complexes portent mal leur nom

Au pire des cas, tu peux appliquer encore la méthode précédente (remplacer z par x+iy...) et tu vas voir que tu vas obtenir un réel (que des x, des y et pas de i), mais là, ce serait du "calcul" inutile...

Duke.

[invitede8a3ed2]

Bon j'ai trouvé pour z' - 1 / z - 1 réel,
mais pour z' + 1 / z - 1 imaginaire pur je trouve ib/ (2a-1-a²-b²) donc seul le numérateur est un imaginaire pur ( dénominateur réel )
Que faut il faire ??

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Bon j'ai trouvé pour z' - 1 / z - 1 réel,
mais pour z' + 1 / z - 1 imaginaire pur je trouve ib/ (2a-1-a²-b²) donc seul le numérateur est un imaginaire pur ( dénominateur réel )
Que faut il faire ??

Bah... rien. Tu as fini !
Un imaginaire pur s'écrit z=iy avec y réel, non ?
Ici, b/(2a-1-a²-b²) (qui correspond au y) est réel.

Cela aurait été beaucoup plus gênant si tu avais eu un dénominateur complexe...

Revois toutes ces notions de réel pur, d'imaginaire pur, de complexe,... ça va rentrer.

Courage !

Duke.

[invitede8a3ed2]

Ok , merci à toi Duke Alchemist.
Juste une dernière question, avec tous les résultats obtenus, comment peut on construire le point M', connaissant le point M ?

Déjà on sait que le OM' = 1, donc M' appartient au cercle trigonométrique, mais comment le mettre en relation les derniers calculs??
merci