[Maths] [L1] Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan) [R] - Forum Exercices pour les concours et examens

martini_bird · 26/07/2005, 00h31

Bonjour,

pour les bacheliers de FSG, je propose un petit aperçu de la théorie des groupes que certains parmi vous verront l'année prochaine.

Ce volet (il y pourra y en avoir d'autres) a pour objet de resituer des acquis de terminale (les similitudes du plan) dans le cadre de la théorie des groupes: cette dernière étant en général abordée de manière très abstraite, il est donc de la plus haute importance de disposer d'exemples concrets et nombreux.

On ne démontrera pas de théorème important en soi. Néanmoins, la structure du groupe des isométries de l'espace porte par exemple en elle la cause profonde du paradoxe de Banach-Tarski (existence d'un sous-groupe libre de rang deux). Il y a donc un intérêt dans ces études, même s'il n'est pas directement visible.

Enfin, les questions ne sont pas particulièrement faciles, mais l'équipe est bien entendu à disposition pour toute demande d'éclaircissement.

On se placera dans le plan $\mathbb{R}^2$ , que l'on identifiera souvent avec le plan complexe $\mathbb{C}$ . L'espace des vecteurs du plan sera noté E.

Rappel

Les similitudes du plan sont les transformations du plan qui conservent les rapports de longueur. Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs.

Les similitudes du plan comprennent:

les translations de vecteur $\vec{v}\in E$ , notées $t_{\vec{v}}$ ;
les rotations de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ , notées $r_{\Omega, \theta}$ ;
les homothéties de centre $\Omega$ et de rapport $\lambda$ , notées $h_{\Omega, \lambda}$ ;
les symétries d'axe $\Delta$ , notées $s_{\Delta}$ ;

ainsi que toutes les compositions de ces transformations élémentaires.

Préliminaire

0 - Pour chaque transformation élémentaire, puis dans le cas d'une similitude quelconque, écrire la transformation $z\mapsto f(z)$ du plan complexe associée. (Reprendre le cours au besoin )

Définition

Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition $\times$ telle que:

i) la loi $\times$ est associative: pour tout $x, \,y, \,z\in G$ , $(x\times y)\times z=x\times(y\times z)$ .
ii) il existe un élément neutre pour $\times$ : il existe un élément $e$ tel que, pour tout $x\in G$ , $x\times e=e\times x=x$ .
iii) tout élément admet un inverse: pour tout $x\in G$ , il existe un élément noté $x^{-1}$ tel que $x\times x^{-1}=x^{-1}\times x=e$ .

Exemple

L'ensemble des translations du plan forme un groupe pour la composition car:
i) étant données trois translations de vecteurs respectifs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ , on a $t_{\vec{u}} \circ (t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{w}})=t_{\vec{u}+(\vec{ v}+\vec{w})}=t_{(\vec{u}+\vec{ v})+\vec{w}}=(t_{\vec{u}}\circ t_{\vec{v}})\circ t_{\vec{w}}$
ii) l'application identique est l'élément neutre de ce groupe.
iii) étant donnée une translation $t_{\vec{u}}$ , son inverse est évidemment $t_{-\vec{u}}$ .

Remarque: on aurait pu passer par l'écriture complexe.

1 - Démontrer que l'ensemble des similitudes muni de la loi de composition $\circ$ forme un groupe.

2 - Démontrer que le sous-ensemble des rotations de centre donné muni de la composition est un groupe.

On dit que le groupe des rotations de centre donné (ou le groupe des translations) est un sous-groupe du groupe des similitudes.

3 - Trouver d'autres sous-groupes du groupe des similitudes.

4 - Que peut-on dire dans le cas général de la composition de deux homothéties? de deux rotations?

Ordre d'un élément

Dans un groupe G on appelle ordre d'un élément g, le plus petit entier n strictement positif tel que gⁿ=e. Si cet entier n'existe pas, on dit que g est d'ordre infini.

Exemple
Une symétrie est d'ordre deux.

5 - Quel est l'ordre d'une rotation d'angle $2\pi/n$ (n entier)? d'une homothétie? d'une translation?

Commutativité

Un groupe (G, $\times$ ) est dit commutatif (ou abélien) si pour tout $x,\, y\in G$ , $x\times y=y\times x$ .

Exemple
Le groupe des translations est abélien.

6 - Le groupe des similitudes est-il commutatif? Et le sous-groupe des rotations de centre donné?

Deux sous-groupes finis.

7 - Trouver toutes les similitudes qui laisse globalement invariant un triangle équilatéral ABC (faire le lien avec les permutations des lettres ABC).

8 - Trouver toutes les similitudes qui laisse globalement invariant un carré ABCD. Comparer avec le groupe de permutation des lettres ABCD.

Isomorphismes

Soit (G, $\times_G$ ) et (H, $\times_H$ ) deux groupes.
Un isomorphisme entre G et H est une application $\phi:\, G\rightarrow H$ bijective qui préserve la structure de groupe.
Plus précisément, $\phi:\, G\rightarrow H$ est un isomorphisme si:

i) il existe une application $\phi^{-1}:\, H\rightarrow G$ telle que $\phi\circ\phi^{-1}=id_G$ et $\phi^{-1}\circ\phi=id_H$
ii) Pour tout $x, \, y\in G, \; \phi(x\times_G y)=\phi(x)\times_H\phi(y)$

G et H sont alors dits isomorphes.

Remarque
Une bijection met en correspondance deux ensembles G et H de la manière la plus élémentaire: à chaque élément de G correspond un seul élément de H (par $\phi$ ) et inversement, à chaque élément de H correspond un seul élément de G (par $\phi^{-1}$ ). Dans le cas où G et H sont finis, ils doivent bien sûr avoir le même nombre d'éléments.

Un isomorphisme une bijection qui en outre préserve la structure de groupe. Dans la pratique, deux groupes isomorphes sont indistinguables par leur structure: seul change la nature des éléments.

Exemple: à toute translation est associée un unique vecteur, et réciproquement, tout vecteur définit une translation. C'est ce qui justifie que l'on identifie les translations (applications du plan sur lui-même) avec E, qui nous permet de faire des calculs!

9 - Prouver que le groupe des translations est isomorphe au groupe des vecteurs du plan E (on pourra s'assurer préalablement que E muni de l'addition des vecteurs est bien un groupe).

10 - A quel groupe pourrait bien être isomorphe le groupe des rotations de centre donné?

11 - (subsidiaire) Que dire de l'ensemble des isomorphismes d'un groupe G dans un groupe H?

_____________________________

On peut faire remonter l'origine de la théorie des groupes au début du XIX^ème siècle essentiellement avec les groupes de permutations des racines de polynômes (Galois, 1832). Mais la géométrie projective (Poncelet, 1822) et les géométries non-euclidiennes (Lobatchevski) jouent également un rôle fondamentale dans son élaboration à laquelle restent attachés les noms de Jordan, Cayley, Klein ou Lie.

Pour ce qui nous concerne, le groupe des similitudes du plan a fourni la réponse à un problème de Poncelet concernant les propriétés métriques conservées par les transformations projectives laissant invariants les points cycliques (Laguerre, 1853).

Plus d'infos dans l'inaltérable Abrégé d'histoires des mathématiques de J. Dieudonné ou sur google.

g_h · 31/07/2005, 19h43

Hmm, je mets ce fil de côté pour y revenir un peu plus tard !

Je fais quand même la question 0)

0)

* Translation de vecteur $\vec{v}$ d'affixe $z_{\vec{v}}$

$t_{\vec{v}}\ :\ z \mapsto z + z_{\vec{v}}$

* Rotation de centre $\Omega$ d'affixe $z_{\omega}$ et d'angle $\theta$

$r_{\Omega, \theta}\ :\ z \mapsto e^{i\theta}(z - z_{\omega}) + z_{\omega}$

* Homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $z_{\omega}$ et de rapport $\lambda$

$h_{\Omega, \lambda}\ : \ z \mapsto \lambda (z - z_{\omega}) + z_{\omega}$

* Symétrie d'axe $\Delta$

Je n'ai jamais vu ça en cours sous la forme générale... enfin voilà ce que je trouve avec mes souvenirs de spé maths (même si il doit y avoir plus simple)
En ayant 2 points distincts de $\Delta$ ayant pour affixes respectifs $z_1$ et $z_2$
$s_{\Delta}\ :\ z \mapsto a \overline{z} + b$

Avec $a = \frac{z_1-z_2}{ \overline{z_1-z_2}}$

et $b = z_1-a \overline{z_1} = z_2-a \overline{z_2}$

* Pour une similitude quelconque, on a au choix :
$f\ :\ z \mapsto az + b$ (similitude directe)
$f\ :\ z \mapsto a \overline{z} + b$ (similitude indirecte)
Avec a et b complexes

J'espère ne pas m'être trompé... !

martini_bird · 31/07/2005, 20h55

Salut,

ok bon début.

Pour les réflexions, on peut allèger à peine les écritures en prenant un point et un vecteur directeur unitaire de $\Delta$ . Mais celà revient au même.

Bon courage pour la suite.

g_h · 31/07/2005, 21h34

Alléger ? Apparemment on peut écrire $S_{\Delta}$ sous la forme
$z\ \mapsto e^{ \normalsize 2i \arg(z_1-z_2)} \large ( \overline{z-z_1} ) + z_1$
C'est déjà plus facile à retenir (je ne vais pas dire que c'est plus intuitif...)

EDIT : voire même $z\ \mapsto e^{ \normalsize 2i \arg(\vec{v})} \large ( \overline{z-z_M} ) + z_M$

$\vec{v}$ étant un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et $z_M$ l'affixe d'un point quelconque de $\Delta$

Non ?

g_h · 31/07/2005, 21h43

juste pour rectifier une petite bourde: je parlais de $\arg(z_{\vec{v}})$ et pas de $\arg(\vec{v})$ (qui n'existe pas...

)

martini_bird · 31/07/2005, 21h46

J'avais dit qu'on pouvait alléger à peine.

Mais de toute façon, le résultat important est celui que tu as brillament indiqué:

Citation:

Posté par g_h

Pour une similitude quelconque, on a au choix :
$f\ :\ z \mapsto az + b$ (similitude directe)
$f\ :\ z \mapsto a \overline{z} + b$ (similitude indirecte)
Avec a et b complexes

Cordialement.

EDIT: on peut aussi appeler u l'affixe d'un vecteur unitaire $\vec{v\;}$ et $\theta$ l'angle $\widehat{\left( \vec{i\;}, \;\vec{v\;} \right)}$ pour écrire la similitude:
$z\rightarrow e^{2i\theta}(\overline{z-z_M})+z_M$

g_h · 31/07/2005, 21h55

Citation:

Posté par martini_bird

Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition $\times$ [...]

Je voulais juste savoir... qu'est-ce qui définit une "loi de composition" ?

martini_bird> je ne déserte pas, la suite de l'exo je reviendrai la faire dans un peu plus d'une semaine (à moins que je ne l'emporte à la plage, lol)

Et j'oubliais, merci pour cet exo !

martini_bird · 31/07/2005, 22h08

Citation:

Posté par g_h

Je voulais juste savoir... qu'est-ce qui définit une "loi de composition" ?

Une loi de composition est simplement un procédé qui, partant de deux objets, en associe un troisième.

Par exemple, l'addition est une loi de composition sur N (ou sur Z, Q, R, ...).

Par ailleurs, la composition des similitudes du plan est une loi de composition sur l'ensemble des similitudes du plan: étant données deux similitudes f et g, on obtient la similitude fog: P → f(g(P)).

Il y a bien entendu maints autres exemples de lois de composition (soustraction, multiplication, etc.). C'est ce concept qui est généralisé sous forme abstraite.

Cordialement.

PS: bonnes vacances!

PS2: n'hésitez pas à poser des questions, car il y aura pas mal de notions nouvelles (mais pas complètement étrangères) dans la suite.

**matthias** · 31/07/2005, 22h14

Citation:

Posté par g_h

Je voulais juste savoir... qu'est-ce qui définit une "loi de composition" ?

Tu peux voir une loi de composition interne sur un ensemble E comme une application de ExE dans E.

g_h · 10/08/2005, 23h42

Bon, c'est reparti :

1)

Déjà, il faut montrer que la loi de composition est associative pour l'ensemble des similitudes... ça paraît presque évident au vu de leur écriture complexe, mais bon :

Soient S₁, S₂ et S₃ des similitudes directes d'écriture complexe respectives :

$z \mapsto a_1 z + b_1$
$z \mapsto a_2 z + b_2$
$z \mapsto a_3 z + b_3$

On a ainsi $(S_1 \circ S_2) \circ S_3$ d'écriture complexe :

$z \mapsto a_1(a_2(a_3 z + b_3) + b_2) + b_1$

Et pour $S_1 \circ (S_2 \circ S_3)$ , oh magie, on trouve exactement la même chose.

On recommence avec S₁, S₂ et S₃ des similitudes indirectes d'écriture complexe respectives :

$z \mapsto a_1 \overline{z} + b_1$
$z \mapsto a_2 \overline{z} + b_2$
$z \mapsto a_3 \overline{z} + b_3$

$(S_1 \circ S_2) \circ S_3$ a pour écriture complexe :
$a_1 \overline{(a_2\overline{(a_3 \overline{z} + b_3)} + b_2)} + b_1$

Et on a évidemment la même chose pour $S_1 \circ (S_2 \circ S_3)$
=> la loi $\circ$ est associative.

- ELEMENT NEUTRE :
La loi $\circ$ possède aussi un élément neutre, c'est l'identité du plan notée $Id$ : pour toute similitude S, $S \circ Id = Id \circ S = S$

- INVERSE (je suis pas sûr de ce raisonnement, mais je serais curieux de savoir si il est bon) :

Soient $f(z) = a z + b$
et $g(z) = a \overline{z} + b$

f et g sont définies pour tout z appartenant à $\mathbb{C}$

Soit $K \in \mathbb{C}$ .

L'équation $f(z) = K$ possède une unique solution dans : $\mathbb{C}$ . $\frac{K - b}{a}$ avec a non nul (si a est nul, f n'est pas l'écriture complexe d'une similitude, peut-être aurais-je dû le préciser plus haut ?)
Donc f est une bijection de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$
Donc f admet une réciproque (très facile à exprimer $f^{-1}(z) = \frac{z}{a} - \frac{b}{a}$ ).
Donc toute similitude directe $S$ admet une similitude inverse $S^{-1}$ d'écriture complexe $f^{-1}$ telle que $S \circ S^{-1} = Id$ (car $f \circ f^{-1}$ est la fonction identité)

De même, l'équation $g(z) = K$ admet une unique solution dans $\mathbb{C}$ : $\overline{\left(\frac{K - b}{a}\right)}$ , et en appliquant le même raisonnement qu'au dessus, on peut dire que toute similitude admet une similitude inverse.

Conclusion : l'ensemble des similitudes du plan muni de la loi de composition $\circ$ est un groupe.

Là où je ne suis pas sûr de moi, c'est qu'en montrant que l'écriture complexes des similitudes indirectes possédaient une réciproque, je n'ai pas montré que la réciproque était elle aussi l'écriture complexe d'une similitude... est-ce qu'il fallait alors vraiment développer le calcul pour s'y ramener (ça marchait, mais j'avais envie d'essayer autre chose...), ou y-avait-il un autre moyen ?

martini_bird · 11/08/2005, 00h41

Salut,

ok pour l'associativité et l'élément neutre: c'est en effet très simple; le plus long est d'écrire.

Citation:

Posté par g_h

- INVERSE (je suis pas sûr de ce raisonnement, mais je serais curieux de savoir si il est bon) :

Soient $f(z) = a z + b$
et $g(z) = a \overline{z} + b$

f et g sont définies pour tout z appartenant à $\mathbb{C}$

Soit $K \in \mathbb{C}$ .

L'équation $f(z) = K$ possède une unique solution dans : $\mathbb{C}$ . $\frac{K - b}{a}$ avec a non nul (si a est nul, f n'est pas l'écriture complexe d'une similitude, peut-être aurais-je dû le préciser plus haut ?)

Oui, c'est de ma faute aussi de ne pas l'avoir relevé.

Citation:

Posté par g_h

Donc f est une bijection de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$
Donc f admet une réciproque (très facile à exprimer $f^{-1}(z) = \frac{z}{a} - \frac{b}{a}$ ).

Rien à dire au sujet de la rigueur.
Simplement, exhiber la fonction réciproque démontre ipso facto le caractère bijectif de la fonction. En écrivant directement $f^{-1}(z) = \frac{z}{a} - \frac{b}{a}$ , tu t'épargnes le développement précédent.

Citation:

Posté par g_h

Donc toute similitude directe $S$ admet une similitude inverse $S^{-1}$ d'écriture complexe $f^{-1}$ telle que $S \circ S^{-1} = Id$ (car $f \circ f^{-1}$ est la fonction identité)

De même, l'équation $g(z) = K$ admet une unique solution dans $\mathbb{C}$ : $\overline{\left(\frac{K - b}{a}\right)}$ , et en appliquant le même raisonnement qu'au dessus, on peut dire que toute similitude admet une similitude inverse.

Conclusion : l'ensemble des similitudes du plan muni de la loi de composition $\circ$ est un groupe.

Le lecteur comprend bien que le cas des similitudes indirectes se traite de la même manière.

Citation:

Posté par g_h

Là où je ne suis pas sûr de moi, c'est qu'en montrant que l'écriture complexes des similitudes indirectes possédaient une réciproque, je n'ai pas montré que la réciproque était elle aussi l'écriture complexe d'une similitude... est-ce qu'il fallait alors vraiment développer le calcul pour s'y ramener (ça marchait, mais j'avais envie d'essayer autre chose...), ou y-avait-il un autre moyen ?

A supposer que tu n'aies pas traité le cas des similitudes directes, il aurait fallu en effet détailler pourquoi la fonction réciproque est une similitude. Dans le contexte, le plus simple reste d'écrire cette dernière explicitement.

Cordialement.

g_h · 12/08/2005, 00h27

Citation:

Posté par martini_bird

Simplement, exhiber la fonction réciproque démontre ipso facto le caractère bijectif de la fonction. En écrivant directement $f^{-1}(z) = \frac{z}{a} - \frac{b}{a}$ , tu t'épargnes le développement précédent.

Pourquoi ? La réciproque d'une fonction seulement injective existe bien, et elle est elle aussi injective si je ne dis pas n'importe quoi... Il faut donc bien préciser qu'on est dans le cas d'une bijection... non ? Sinon je ne peux pas assurer que la réciproque de la similitude existe bien pour tout point du plan

Citation:

Posté par martini_bird

A supposer que tu n'aies pas traité le cas des similitudes directes, il aurait fallu en effet détailler pourquoi la fonction réciproque est une similitude.

Ok, en fait le truc c'est que j'avais beaucoup de mal à trouver l'écriture complexe de la réciproque, donc à priori rien ne m'assurait que je retombe sur l'écriture d'une similitude indirecte ! (même si c'était "évident", mais bon, l'intuition joue parfois des tours)

Je me rattrappe : (j'ai mis longtemps avant de réussir à trouver ça... !)

$g^{-1}\ :\ z \mapsto \frac{ \left( \overline{ z - b } \right) }{ \overline{a} }$

g_h · 12/08/2005, 00h37

En fait je viens de me rendre compte que je viens de passer 15 minutes à montrer que $\overline{ \left( \frac{z_1}{z_2} \right) } = \frac{ \overline{z_1}}{\overline{z_2} }$ , en passant par l'écriture complexe de Im(z) et de Re(z)... on va dire que c'est les vacances... !

**Romain-des-Bois** · 12/08/2005, 13h16

Citation:

Posté par g_h

En fait je viens de me rendre compte que je viens de passer 15 minutes à montrer que $\overline{ \left( \frac{z_1}{z_2} \right) } = \frac{ \overline{z_1}}{\overline{z_2} }$ , en passant par l'écriture complexe de Im(z) et de Re(z)... on va dire que c'est les vacances... !

C'est vrai que 1/4 d'heure pour ça, c'est ...

mais bravo pour le reste ! t'as l'air bien motivé !

et Matthias et Martini aussi !

Bravo

Romain

PS : j'suis en vacances (moi

) et j'attends la rentrée pour bosser...

, même si je buche la théorie des groupes etc ... dans un bouquin de sup.

PPS : y en a qui sont dingues (oops

), on bosse au lieu de nous reposer avant la longue année qui nous attend en maths sup.

martini_bird · 12/08/2005, 22h48

Salut,

Citation:

Posté par g_h

Pourquoi ? La réciproque d'une fonction seulement injective existe bien, et elle est elle aussi injective si je ne dis pas n'importe quoi... Il faut donc bien préciser qu'on est dans le cas d'une bijection... non ? Sinon je ne peux pas assurer que la réciproque de la similitu