TIPE : résolution numérique de l'équation de Laplace avec CI à l'infini
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TIPE : résolution numérique de l'équation de Laplace avec CI à l'infini



  1. #1
    Bilbon

    TIPE : résolution numérique de l'équation de Laplace avec CI à l'infini


    ------

    Bonjour à tous !

    Je me suis lancé dans un TIPE qui ambitionne de modéliser de manière simplifiée la croissance d'un cristal de neige. Pour cela le point clé parmi les facteurs physiques semble être le phénomène de diffusion de la matière. Concrètement, il aboutit dans ce cas à l'équation de Laplace qui gouverne la répartition de la saturation en eau dans l'espace autour du cristal (http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Laplace).

    Tenter une résolution numérique me paraît intéressant, mais j'ai un peu peur que les particularités du problème ne rendent cela très difficile en pratique. Je vais tenter de vous donner les éléments principaux :

    - Je me cantonne à une modélisation en 2D (un cristal neige étant assez plat). Pour cela, je considère que le cristal a au départ une forme hexagonale dans le plan.
    -Le but est d'expliquer, de manière approchée comment des dendrites (les branches des cristaux) se forment
    -Pour cela, la bibliographie sur le sujet s'intéresse à la répartition de la saturation en eau autour du cristal, gouvernée par l'équation de Laplace
    -J'en arrive au problème majeur : les conditions aux limites . J'ai deux CI : l'une sur la surface du cristal hexagonal et l'autre à l'infini. Ces deux conditions font que le domaine de résolution est loin d'avoir une gentille tête de rectangle, comme c'est souvent le cas dans les bouquins de résolution numérique que j'ai feuilletés.

    Du coup, la méthode des éléments finis, qui est souvent suggérée me paraît impossible à mettre en oeuvre : d'après ce que j'ai vu, le principe c'est de "quadriller" l'espace de résolution. Or, je me dis naïvement que ça risque d'être difficile de quadriller un espace infini !! ==> c'est la merde


    Bref, pourriez-vous me dire si vous connaissez une méthode de résolution qui vous paraît adaptée au problème ? Ou bien si les éléments finis peuvent marcher malgré tout ?

    Si je n'ai pas été assez précis, n'hésitez pas à me demander ! Merci d'avance !


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  2. #2
    VirGuke

    Re : TIPE : résolution numérique de l'équation de Laplace avec CI à l'infini

    Salut,

    Personne ne maille jamais jusqu'à l'infini, c'est pour ça qu'on met des conditions limites!

    Dans ton cas, si tu prends un domaine de calcul assez grand, tu peux considérer que la saturation en eau est constante au bord, égale à celle à l'infini.

    Par contre, tu connais déjà la méthode des éléments finis? C'est pas la plus facile à aborder et à mettre en oeuvre, elle nécessites quelques connaissances en programmation et maths.

    En suite si tu veux modéliser la croissance d'un flocon ça va être infâme, tu vas devoir remailler à chaque pas de temps (d'ailleurs tu as prévu de mailler comment et avec quoi?)

    A ta place je m'orienterai plus-tôt vers les différences finies, surtout pour un TIPE. En t'arrangeant bien tu devrais obtenir des résultats pas trop mauvais avec une mise en oeuvre raisonnable.

  3. #3
    Bilbon

    Re : TIPE : résolution numérique de l'équation de Laplace avec CI à l'infini

    Bonjour.
    J'ai un peu avancé depuis, et me suis effectivement orienté vers les différences finies (merci de votre conseil).
    Par contre, je précise avant tout; nul besoin de remailler car je n'étudie pas ici la croissance à proprement parler, mais la saturation en eau autour du cristal (ce cristal ne croît pas pendant ce temps, je veux juste le profil des saturations à un moment donné !)

    Mon maillage est un simple maillage carré, mais je me heurte à un souci. Pour les CL à la surface, je dois absolument "repérer" les points les plus proches de la surface (en rouge) :
    Nom : maillage de l'espace.png
Affichages : 100
Taille : 6,9 Ko

    Il s'agit en fait de choper leurs numéros. Ma numérotation est simple : on compte de 1 à n pour les points de la première ligne puis de n+1 à 2n sur la deuxième, etc... jusqu'au dernier point en n^2.
    J'ai essayé d'aborder le problème de façon purement géomètrique en calculant les coordonnées d'un point de numéro k et en cherchant à quelle condition il était dans le cristal, pour ensuite chercher ceux qui sont juste en dehors, mai je n'y arrive pas bien.
    J'ai ensuite pensé à m'intéresser seulement aux lignes comprises dans la bonne tranche de hauteur, et déterminer les deux points rouges ligne par ligne, mais là encore, je n'y arrive pas bien

    C'est frustrant car j'ai l'impression que c'est très simple, en plus !

    Pouvez-vous m'aider ?

  4. #4
    VirGuke

    Re : TIPE : résolution numérique de l'équation de Laplace avec CI à l'infini

    Salut,

    là c'est du bricolage, t'as juste à repérer les segments de droites qui forment ton hexagone et marquer les points qui se trouvent entre deux d'entre elles ligne par ligne. Ca va dépendre de ce que tu as codé avant...

  5. A voir en vidéo sur Futura

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