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Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé



  1. #1
    RSSBot

    Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    Pour ses " contributions fondamentales à la théorie des probabilités et en particulier à la création d'une théorie unifiée des grandes déviations ", le mathématicien indien Srinivasa S. R. Varadhan,...

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  4. #2
    mtheory

    Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    Hello !

    Encore un très bel article de maths !
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  5. #3
    Gwyddon

    Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    Très bel article en effet

    Au passage, une petite question : est-ce que cette théorie des grandes déviations peut s'appliquer au cas des distributions sans deuxième moment (ie distributions où le théorème central limit ne peut s'appliquer) ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #4
    martini_bird

    Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    Salut,

    le principe des grandes déviations est en effet beaucoup plus faible que L2. Par exemple, le théorème de Cramèr montre que les mesures de probabilités sur R admettant un moment d'ordre 1 vérifient le PGD.
    Voir ici par exemple.

    (Si GuYem passe par là, il pourra certainement approfondir le sujet.)

    Cordialement.

    PS : Merci les z'amis !
    Dernière modification par martini_bird ; 05/04/2007 à 23h00.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Gwyddon

    Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    Merci pour le lien, je l'ai parcouru du regard sans vraiment approfondir (mais en même temps, je n'en ai pas les capacités donc... ), il a l'air clair et efficace
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #6
    PATER_NOSTER

    Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    C'est génail, grâce à cet article je me suis fait une fiche méthode sur les formules de probabilités. En m'avançant sur le programme j'avais vu un peu ce que c'était dans mon livre de maths, mais là c'est encore plus utile d'autant plus que je travaille en ce moment sur une idée que j'ai eu et qui recquiert des notions de proba. ))

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  11. #7
    Gabriel

    Arrow Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    Tous les articles de math de Futura-Sciences sont merveilleux.
    Pourrait-on avoir un petit extrait brut des équations de ce Srinivasa VARADHAN, avec des commentaires, afin de voir le génie en action ?

  12. #8
    martini_bird

    Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    Salut,

    je n'ai pas trouvé de papiers de Varadhan en ligne, mais on peut essayer de rendre la démarche un peu plus précise : pour une suite de variables aléatoires sur , leur entropie, si elle existe, s'écrit

    ,

    est la fonction génératrice (et E[.] l'espérance mathématique). On a ainsi .

    Par ailleurs, si les variables satisfont au PGD (il existe une fonction I(x) telle que ), alors on a l'approximation de Laplace :



    Dans la dernière intégrale, la contribution majeure est celle de dans l'exponentielle, si bien que



    Mais alors et apparaît ici comme la transformée de Legendre-Fenchel de I, qui s'inverse comme suit :

    .

    ________

    Illustration : reprenons l'exemple de l'article, où l'on s'intéresse à la somme d'une suite de variables aléatoires indépendantes qui admettent toutes la même loi, de densité (masses concentrées en 0 et 1). Le calcul de est aisé : en vertu de l'indépendances des



    comme les suivent toutes la même loi, et finalement :



    Il s'agit maintenant de trouver le sup sur k de pour récupérer la fonction de taux I(x) : en dérivant selon k, on obtient l'équation , qui admet pour solution . Il s'en suit que



    et on a bien retrouvé la fonction décrite dans l'article.

    ________

    Cette méthode s'applique bien entendu à un très grand nombe de situations. Pour des détails plus techniques sur l'entropie, voir par exemple cette page.

    Cordialement.

    PS : et merci pour les compliments.
    Dernière modification par martini_bird ; 07/04/2007 à 13h04.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  13. #9
    mtheory

    Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  14. #10
    martini_bird

    Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    Yep, merci mtheory.

    Mais je voulais parler des premières publis, qui contiennent les idées évoquées dans l'article.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #11
    mtheory

    Re : Prix Abel 2007 : le père de la théorie des grandes déviations récompensé

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Yep, merci mtheory.

    Mais je voulais parler des premières publis, qui contiennent les idées évoquées dans l'article.

    Cordialement.
    Ah oui, ça doit être quasi impossible à trouver ça...
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

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