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Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?



  1. #1
    RSSBot

    Post Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    En janvier 2016, des mathématiciens américains ont découvert un nombre premier comptant plus de 22 millions de chiffres. Mais combien existe-t-il au juste de ces nombres si particuliers ?

    Lire la suite : Combien existe-t-il de nombres premiers ?

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  3. #2
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Euclide qui a pour la première fois démontré qu'il existait en réalité une infinité de nombres premiers. Ceux-ci semblent être répartis de façon plutôt anarchique, même si la proportion de nombres premiers a tendance à aller décroissant à mesure que les nombres deviennent plus grands.
    Pourquoi ne pas mettre la courbe de répartition ?
    Une anarchie qui donne un théorème !!


    Le théorème des nombres premiers.
    La ligne rouge représente le nombre de nombres premiers inférieurs à x.
    La ligne bleue est la courbe d’équation y=x/logx.
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  4. #3
    Médiat

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Bonjour,

    Première phrase de cette "actualité" :

    Les nombres premiers ne peuvent être divisés que par un et par eux-mêmes
    Première phrase du deuxième § :

    Entre 0 et 100, on décompte ainsi 25 nombres premiers comme 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.
    Alors que la définition initiale donne le statut de nombre premier à 1 qui n'apparaît pas dans la liste !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Salut,

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Alors que la définition initiale donne le statut de nombre premier à 1 qui n'apparaît pas dans la liste !
    Erreur archi classique. Il faudrait sans doute modifier la définition en "les nombres premiers sont les entiers positifs qui ont exactement deux diviseurs, 1 et eux-même". Cela exclu automatiquement 1 qui n'a qu'un diviseur.
    C'est cette façon de définir que je préfère. Qu'en penses-tu ?

    "L'infini c'est long, surtout vers la fin" (en paraphrasant Woody Allen)
    Keep it simple stupid

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    "les nombres premiers sont les entiers positifs qui ont exactement deux diviseurs, 1 et eux-même". Qu'en penses-tu ?
    Cela me va très bien (*), mais je vais aller plus loin : considérer que 1 est un nombre premier ne me dérange pas, ce n'est qu'une question de définition, dont l'intérêt est de minimiser le nombre "d'exceptions"(**) dans l'énoncé d'un théorème, cela n'a d'intérêt que pragmatique.

    Ce qui me dérange (pour le dire gentiment), c'est de donner une défnition et ne pas s'y tenir.



    (*) A la limite on peut ajouter un mot : "exactement deux diviseurs distincts" histoire de tuer l'ambiguïté
    (**) Par exception j'entends que l'on est contraint d'écrire le théorème sous la forme "pour n un nombre premier différent de 1 ..." ou au contraire "pour tout nombre, soit premier, soit égal à 1 ..."
    Dernière modification par Médiat ; 18/11/2016 à 08h43.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ce qui me dérange (pour le dire gentiment), c'est de donner une défnition et ne pas s'y tenir.
    C'est bien normal !!!!
    Keep it simple stupid

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  10. #7
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Pour Wiki 1 n'est pas premier
    Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Ainsi, 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur entier positif ; 0 non plus car il est divisible par tous les entiers positifs.
    tout les nombres premiers sont impairs sauf 2 et 2 est le plus petit nombre premier
    Normal que le binaire ait pris une grande place
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  11. #8
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    et entre deux et dieux, seul un iota distingue les deux mots
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  12. #9
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Salut,

    Citation Envoyé par EauPure Voir le message
    Normal que le binaire ait pris une grande place
    Les deux (*) n'ont absolument rien à voir.

    (*) le plus petit nombre premier et l'importance du binaire.
    Keep it simple stupid

  13. #10
    minushabens

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Erreur archi classique. Il faudrait sans doute modifier la définition en "les nombres premiers sont les entiers positifs qui ont exactement deux diviseurs, 1 et eux-même". Cela exclu automatiquement 1 qui n'a qu'un diviseur.
    une définition qui fonctionne pour les entiers mais qui se généralise plus facilement est : un nombre (positif si l'on veut mais c'est inessentiel) qui n'a qu'un diviseur non inversible.

  14. #11
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    une définition qui fonctionne pour les entiers mais qui se généralise plus facilement est : un nombre (positif si l'on veut mais c'est inessentiel) qui n'a qu'un diviseur non inversible.
    Qu'appelles-tu "non inversible" ? Si c'est "différent de 1"', en effet, ça marche (et ça revient au même que la définition que j'ai donné d'ailleurs pour une raison triviale : tous les nombres sont divisibles par 1). Je préfère donc "qui a un et un seul diviseur différent de 1". C'est plus facile à comprendre amha. Ou alors c'est lié à la généralisation don tu parles ?

    A quelles généralisations fais-tu allusion ? A d'autres ensembles comme les entiers algébriques ?
    Keep it simple stupid

  15. #12
    minushabens

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    1 et -1 sont les seuls entiers inversibles mais dans un anneau général il peut y avoir d'autres inversibles. Par exemple dans l'anneau des polynômes sur un corps, tous les polynômes constants non nuls sont inversibles.

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  17. #13
    Médiat

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Un autre exemple, peut-être plus parlant : Les entiers de Gauss, où 5 n'est pas premier car il peut s'écrire (2+i)(2-i) qui ne sont pas inversibles, alors que 7i est premier bien qu'il puisse s'écrire (mais i est inversible)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    D'accord merci pour ces exemples.
    Keep it simple stupid

  19. #15
    RomVi

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Bonjour

    Citation Envoyé par EauPure Voir le message
    Pourquoi ne pas mettre la courbe de répartition ?
    Une anarchie qui donne un théorème !!


    Le théorème des nombres premiers.
    La ligne rouge représente le nombre de nombres premiers inférieurs à x.
    La ligne bleue est la courbe d’équation y=x/logx.
    Un fit sur une 100aine de valeurs c'est un peu court pour faire un théorème, surtout que la régression ne me semble pas très juste, 100 / log 100 par exemple ça fait plus 50 que 30, à moins qu'il n'y ai eu de sérieuses réformes mathématiques dont je ne suis pas au courant.

  20. #16
    moon1001

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par RomVi Voir le message
    Bonjour



    Un fit sur une 100aine de valeurs c'est un peu court pour faire un théorème, surtout que la régression ne me semble pas très juste, 100 / log 100 par exemple ça fait plus 50 que 30, à moins qu'il n'y ai eu de sérieuses réformes panneaux solaires mathématiques dont je ne suis pas au courant.
    bonjour, actuellement les jeunes haîsent les maths parce qu'il pensent que c'est inutile mais ils se trompent.
    merci!!

  21. #17
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Citation Envoyé par RomVi Voir le message
    Un fit sur une 100aine de valeurs c'est un peu court pour faire un théorème, surtout que la régression ne me semble pas très juste, 100 / log 100 par exemple ça fait plus 50 que 30, à moins qu'il n'y ai eu de sérieuses réformes mathématiques dont je ne suis pas au courant.
    Bien sur, il y a une grosse différence au début mais la courbe bleu semble être une limite vers laquelle la rouge tend
    par exemple pour 19999999 on a 1270606 nombre premier avant lui
    et 19999999/log(19999999) = 1189680 (93,6 %)
    De plus, ce théorème est fait pour les grands nombres
    Citation Envoyé par mon lien
    un théorème classique en théorie des nombres nous permet d’estimer les nombres premiers qui n’excèdent pas un entier donné N (qui est grand).
    Pour N suffisamment grand, l’intervalle {1,…,N} contient environ
    N/log(N) nombres premiers.
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  22. #18
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Je viens de prendre conscience que ça ne correspond pas à la courbe puisque x/log(x) est toujours inférieur au nombre de nombres premiers avant x
    Par contre si on prend le log10 c'est toujours supérieur mais 19999999/log10(19999999) =2739339 pour 1270606 nombres premiers
    ça ne marche pas !
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

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  24. #19
    RomVi

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Ben oui, c'est ce que j'ai dis plus haut... La courbe bleue ne passe pas où elle devrait (avec y = x/log x), on s'en rend compte facilement en calculant quelques points et en comparant sur le graphique, par contre celle des nombres premiers semble juste. Je suppose qu'il y a une erreur de transcription sur la formule donnée. C'est tout de même regrettable que sur un site dédié aux math personne ne s'en soit rendu compte.
    Dernière modification par RomVi ; 23/11/2016 à 07h02.

  25. #20
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    J'ai fait les courbes pour les 1270607 premiers premiers et ça diverge
    en rouge le nombre de nombre premiers et en bleu le log
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  26. #21
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Je me suis amusé à chercher la base du log qui collerait le mieux
    et j'ai trouvé 2.9132 par approximation après avoir essayé 3
    Le népérien est en bas , le 3 en haut et le 2.9132 colle assez bien la courbe rouge
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  27. #22
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Finalement j'ai calculé pour chaque point de la courbe rouge la base du log (courbe jaune) qui donne le même Y
    Elle varie de 1,44224960363753 pour 2
    à 3,36431204886149 pour 113, le 30 emme nombre premiers
    puis elle diminue progressivement jusqu'à 2,90962270483886 pour 19999999
    ça semble possible de trouver une formule simple fonction d'un nombre qui donne la base du log pour les grand nombres
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  28. #23
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Un zoom sur la courbe de la base du log (en jaune sur l'image précédente) en augmentant l'amplitude en Y
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  29. #24
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    oups il y avais un bug à cause d'Access qui n'exporte que 2 chiffres après la virgule alors que dans la preview de l'export il affichait bien tout les chiffres après la virgule !
    Comme j'ai trouvé que ces escaliers n'étaient pas normaux, j'en ai rêvé cette nuit
    J'ai donc fait la multiplication par 1000000 de la base avant l'export
    et c'est plus tourmenté mais la tendance ressemble à une exponentielle

    Si on pouvait trouver son équation cela serait il un progrès dans la théorie des nombres premiers ?

    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

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  31. #25
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    J'ai trouvé les coef de l’interpolation exponentielle avec excel sur 10 points
    Function Interpo(x)
    m = 0.999999737
    b = 2147869.243
    y = b * m ^ x
    End Function
    La suite dans 5 jours à mon retour du gamma knife
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  32. #26
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Voilà l'exponentielle jaune superposé a la courbe rouge des nombres premiers
    on voit que les fluctuations de la courbe rouge s'atténuent vers les grand nombre
    et que l’exponentielle colle de mieux en mieux à la courbe rouge
    la courbe va jusqu'au nombre premier 20999999



    J'ai fait une homothétie et une translation pour que les coordonnées
    soient calculables par la fonction Excel =LOGREG(B6:B10;A6:A10;VRAI;FAU X)
    qui donnent les paramètre de l'exponentielle
    donc après il faut remettre la courbe obtenu dans les coordonnées de la courbe rouge
    Code:
    Function Interpo(x As Double) As Double
        Dim m As Double
        Dim b As Double
        m = 0.999143221
        b = 486.807974
        Interpo = b * Exp(x * Log(m))
    End Function
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  33. #27
    JPL
    Responsable des forums

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    Sept messages de suite cela s'appelle du flood, et manifestement cela ne semble intéresser personne.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  34. #28
    ansset

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    bjr,
    moi je les lis.
    il y a un effort manifeste pour essayer de voir si une conjecture est possible ou crédible.
    resterait ensuite à trouver une voie pour la démontrer, et là , par contre je ne vois pas de piste.
    j'imagine par ailleurs que nombreux sont ceux qui l'ont cherchée, alors l'effort est peu être vain.
    il faudrait certainement monter sur des très gros chiffres pour l'appuyer, puis rentrer dans des logiques mathématiques pour evt en faire à minima une hypothèse de travail.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  35. #29
    EauPure

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    J'ai doublé le nombre de nombres premiers (le N° 2547620 = 42000011) et la courbe exponentielle diverge
    La béatitude est l'attitude de l’abbé : la théorie bleue

  36. #30
    ansset

    Re : Actualité - Combien existe-t-il de nombres premiers ?

    c'est ce que je craignais justement.
    d'où la difficulté de trouver une conjecture "simple" uniquement à partir de l'observation statistique.
    c'est une voie (méthode ) qui me semble peine perdue.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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