paradoxe des envelloppes

[ilelogique]

Bonjour,
Voici un jeu :
Je vous propose de choisir une envelloppe parmi deux que je vous présente en affirmant que l'une d'entre elles contient deux fois plus d'argent que l'autre.
Vous en choisissez une, l'ouvrez, et gagnez, mettons, 100 €.
Je vous propose d'échanger d'envelloppe.
Vous savez donc qu'il y a : soit 50 €, soit 200 € dans l'autre envelloppe.
Vous avez donc une chance sur deux de gagner 100 € et une chance sur deux de perdre 50 €. Ayant autant de chances de gagner plus que ce que vous pouvez perdre : vous avez donc interrêt à échanger...
C'est là qu'est l'os :
si vous jouez demain à ce jeu, pourquoi ne prenez-vous pas directement la deuxième envelloppe ? (etc.etc.)
C'est idiot, j'ai vu ça il y a des années quelque part et je cherche, en vain, une explication simple et logique à ce paradoxe.
Merci.
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[Médiat]

D'abord ce post n'a pas sa place en "Epistémologie et Logique" (le mot logique n'ayant pas ici de rapport avec les petits jeux mathématiques), mais plutôt dans "Mathématiques du collège et du lycée" ou mieux "Science ludique : la science en s'amusant" ; demande à un modérateur de déplacer ce post.

Ceci étant dit, tu ne peux pas calculer une espérance mathématique en changeant la signification des nombres utilisés en cours de calcul.

Soit x le petit montant et donc 2x le grand montant, lors du premier tirage tu as 1/2 chance de choisir le petit montant et donc de gagner x en changeant, et tu as 1/2 chance de choisir le grand montant et donc de perdre x en changeant, l'espérance est donc :
E = 1/2.x + 1/2.(-x) = 0, ce qui est bien le résultat attendu, et donc pas de paradoxe, mais une erreur de raisonnement ; en fait changer ne change rien .

[inviteea6fd0dc]

En lisant l'énoncé de la question, je savais déjà que Médiat SERAIT intervenu.
J'ai gagné.

Amicalement

[ilelogique]

Alors si ça ne change rien d'échanger : soyez gentil de me dire, s'il vous plait, ce que vous feriez personnellement dans cette situation (à supposer que vous soyez joueur bien entendu) :
Vous avez chois une envelloppe et l'avez ouverte, vous y avez trouvé 100 €, ils sont à vous, vous les avez gagnés.
Se présente maintenant une autre occasion de jouer finalement :
on vous propose de miser vos 100 € avec l'assurance que vous avez une chance sur deux de gagner 100 € de plus et une chance sur deux de perdre 50 € au final, ça me parait évident que vous avez interrêt à échanger.
On m'a déjà proposé de nombreuses explications probabilistes à ce problème, mais comme je l'ai dit dans mon message, je cherche une réponse logique à cette question, qui n'est pas aussi simple que vous semblez le penser.
En effet j'ai l'impression qu'il nous est nécéssaire de connaitre les montants des 2 envelloppes (tant qu'on n'a pas ouvert la seconde envelloppe, on ne sait pas si on a gagné ou perdu -enfin on gagne de toute façon-, mais disons obtenu ou non la plus grosse envelloppe). Cette question de décision, de raisonnement simple, exclue selon moi des probabilités ennuyeuses (et pas convaincantes ici selon moi), mérite ainsi aussi de répondre à votre première remarque : il me semble que je ne me suis pas trompé d'endroit et que ma question est bien posée dans le bon forum.
merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bardamu]

(...) Cette question de décision, de raisonnement simple, exclue selon moi des probabilités ennuyeuses (et pas convaincantes ici selon moi), mérite ainsi aussi de répondre à votre première remarque : il me semble que je ne me suis pas trompé d'endroit et que ma question est bien posée dans le bon forum.
merci.

Bonjour,
C'est un peu paradoxal...
Si il s'agit d'avoir un raisonnement logique, il vaut mieux utiliser les outils de décision rationnels, à savoir le calcul des probabilités. Certes ces calculs ne sont pas intuitifs mais l'intuition ne se caractérise pas par sa grande logique.
Ceci étant, si il ne s'agit pas de jouer, une présentation plus claire de la question avec les éventuels soucis qu'elle pourrait poser et leur réponse : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradox...eux_enveloppes

[ilelogique]

Sur 23 personnes dans une pièce : quelle est la probabilité que deux d'entre elles soient nées le même jour ?...réponse en bas...
Pour avoir fait des études de mathématiques, je n'ignore pas le calcul des probabilités. Le problème de l'envelloppe me parait plus délicat (et je suis étonné que Wikipédia n'ait suivi que la position probabiliste, avec le calcul évident des espérances). Tout le monde sait bien que c'est idiot, et pourtant : échangeriez-vous d'envelloppe après avoir ouvert celle que vous avez choisie ?
oui.
C'est certain et idiot.
Il vous faut savoir...
pourquoi personne n'explique-t-il cela logiquement ?
qui met à bas cette question logiquement ?
C'est seulement alors qu'elle cessera d'être un paradoxe...

réponse à la question du haut : plus d'une chance sur deux.

[Médiat]

pourquoi personne n'explique-t-il cela logiquement ?
qui met à bas cette question logiquement ?
C'est seulement alors qu'elle cessera d'être un paradoxe...

C'est étonnant cette obstination à ne pas voir ce qui est sous vos yeux : il n'y a pas de paradoxe seulement une erreur de raisonnement dans un petit jeu mathématique vu et revu des centaines de fois, et dont je ne vois toujours pas l'intérêt en épistémologie ; le nouveau petit exercice niveau "Mathématiques du collège et du lycée" sur les dates d'anniversaire me confortant dans cette position (et pour être un peu pédagogique il vous aurait fallu donner l'explication !).

Si vous voulez discuter "du mauvais usage de l'intuition en science" qui est un vrai sujet épistémologique, alors il vous faut d'abord admettre l'erreur de raisonnement, et entamer le débat !

On pourrait aussi lancer un débat sur "l'usage des probabilité en absence de toute information", mais le petit jeu des enveloppes ne peut même pas servir d'illustration.

[inviteea6fd0dc]

Bonjour,

Pour ilelogique : http://philsci-archive.pitt.edu/arch...05/01/env2.pdf

Amicalement

[invite1ab59cc3]

Je ne vois pas trop ou se trouve le paradoxe...

Soit les 2 enveloppes A et B .

Le joueur peut :

1 - Choisir A et s'arrêter de jouer.
2 - Choisir A et choisir d'ouvrir B
3 - Choisir B
4 - Choisir B puis A

Lorsqu'il choisi 2 enveloppes, c'est l'ordre dans lesquels il a choisi de les ouvrir qui détermine son Gain.

Il a 1 chance sur 4 de gagner la plus grosse Somme.

Cordialement,
Mumyo

[invite1ab59cc3]

L e paradoxe peut peut-être se situer dans l'illusion que si l'on joue une deuxième fois on augmente sa chance de gagner,
il n'en est rien...
Quelque-soit le choix adopter, se contenter de la première enveloppe ou l'echanger c'est toujours 1 chance sur 4...

Cordialement
M

[inviteea6fd0dc]

Non, une chance sur deux, quel que soit le nombre d'hésitations et de choix successifs !

Les choix successifs ne sont pas cumulatifs, va voir le lien que j'ai mis pour ilelogique.

[invite1ab59cc3]

Oui c'est juste...Il y a 4 cheminements possibles, mais 2 résultats possibles.

Je me suis trompé en considérant les cheminements, au lieu de ne tenir compte que des résultats...

Merci Baguette !

[jamajeff]

Bonjour,

Mediat a raison, le problème ici n'est pas d'ordre logique mais psychologique, voire patho-logique (au sens d'un affect, un effet ressenti). Le gain ne se situant pas seulement dans la somme d'argent que contient l'enveloppe mais également dans le plaisir du jeu en lui même.

Une fois cela pris en compte, ce n'est donc plus un paradoxe mais un paralogisme...

Cordialement.

[inviteea6fd0dc]

Bonjour jamajeff

Je crois comprendre ta pensée, mais dans le cas présent, d'un point de vue mathématique, il s'agit d'un simple calcul de proba, l'appelation de "paradoxe" est plutôt mal choisie (et ne correspond en aucun cas à la définition d'un paradoxe au sens réel du terme), ce que Médiat avait parfaitement compris (ce qui ne m'étonne pas du tout) !
Autrement dit, le problème se résoud parfaitement de façon "logique", autrement dit mathématique.

[jamajeff]

Bonjour jamajeff

Je crois comprendre ta pensée, mais dans le cas présent, d'un point de vue mathématique, il s'agit d'un simple calcul de proba, l'appelation de "paradoxe" est plutôt mal choisie (et ne correspond en aucun cas à la définition d'un paradoxe au sens réel du terme), ce que Médiat avait parfaitement compris (ce qui ne m'étonne pas du tout) !
Autrement dit, le problème se résoud parfaitement de façon "logique", autrement dit mathématique.

En effet, de sorte que c'est la qualification du problème comme étant un paradoxe qui constitue un paralogisme. Ce qui peut sembler paradoxal dans le cadre de cette discussion.

Sinon, quant à la question "pourquoi ne prenez-vous pas directement la deuxième envellope ?", elle n'a pas de sens étant donné que nous ne savons pas, a priori, ce qu'il faut entendre par la "première" ou la "seconde" enveloppe.

[invite5456133e]

Je vous propose de choisir une envelloppe parmi deux que je vous présente en affirmant que l'une d'entre elles contient deux fois plus d'argent que l'autre.

Le choix du retirage sera, il me semble, fort différent suivant la somme contenue dans la première enveloppe, si c'est 10 euros ou 100 000 euros ce ne sera pas pareil.
Lors du premier tirage la somme est inconnue mais pas lors du deuxième; ça ne change sûrement rien aux probabilités et je ne sais pas comment on fait rentrer d'enjeu dans la notion de jeu.
Bonne nuit!

[invite35452583]

Ce paradoxe m'a déjà longuement fait réfléchir.
Il existe bien un paradoxe des deux enveloppes dans le sens "qui va contre l'intuition" (à l'instar du paradoxe de Banach-Tarsky) ce qui est très subjectif.

Oublions temporairement les probabilités car elles ne sont pas immédiatement indispensables. Quelle est la réponse à la question : "en changeant d'enveloppe le gain effectué au cas où cela est avantageux est-il plus grand ou égal que la perte effectuée dans le cas où cela est désavantageux ?"

1ère réponse : gain=perte basée sur le raisonnement :
appelons x la plus petite des deux valeurs.
Si on gagne c'est que l'on passe de l'enveloppe contenant x à 2x donc gain=x.
Si on perd c'est que l'on passe de l'enveloppe contenant 2x à x donc perte=x.
On a bien égalité.
2ème réponse : gain>perte basée sur le raisonnement :
appelons y la valeur de l'enveloppe initialement choisie.
Si on gagne on a alors 2y donc gain=2y.
Si on perd on a alors y/2 donc perte=y/2.
On a bien gain>perte.

Les deux raisonnements sont rigoureux mais basés sur un a priori qui est où on se situe. Le 1er est le raisonnement de quelqu'un qui se place à l'extérieur et est donc dans une situation symétrique (un matheux s'y placera plus volontiers). La 2nde est le raisonnement de quelqu'un qui se place dans la peau de quelqu'un qui a choisi une 1ère enveloppe (un joueur s'y placera plus volontiers). Où se place un joueur matheux ? Je ne sais pas. Essayer d'expliquer à un joueur qui a choisi une enveloppe que le gain et la perte sont égaux ne doit pas être facile.

La question "en changeant d'enveloppe le gain effectué au cas où cela est avantageux est-il plus grand ou égal que la perte effectuée dans le cas où cela est désavantageux ?" n'a donc pas de réponse unique. Le paradoxe est là.
J'aime bien les appeler les enveloppes quantiques, car à l'instar d'électrons ou de photons qui vont plutôt agir comme une onde ou des particules ponctuelles selon les interactions que l'on va leur faire subir, cette question concernant ces enveloppes a une réponse différente selon le point de vue les enveloppes restent pourtant elles-mêmes.
Socialement beaucoup de personnes savent pertinemment qu'un même évènement n'est pas vécu de la même façon.
On sait que la matière agit avec des aspects différents selon les interactions.
Mais on exclue ce type de dualité pour de simples enveloppes.

Revenons aux probabilités et cette dualité empêche-t-elle de tenir un raisonnement rigoureux ?
On peut simuler ainsi la situation : on tire dans un univers constitué de nombres réels positifs (histoire de ne pas perdre nos joueurs en route ) sur lequel on a défini une probabilité. La variable aléatoire donnant cette valeur est notée X. On tire au sort équiprobablement l'enveloppe dans laquelle on met cette valeur X et on met 2X dans l'autre.
Appelons A l'enveloppe choisie et B nos enveloppes et Va et Vb les valeurs dans chacune d'elles.
On a P(Vb=2Va)=P(Va=2Vb)=0,5 par hypothèse.
Vu l'équiprobabilité du tirage de l'enveloppe contenant X on a P(Va=X)=P(Va=2X)=0,5.

Calculons l'espérance en changeant d'enveloppe conformément au 1er point de vue :
E(gain en changeant)=P(Va=X)(2X-X)-P(Va=2X)(X-2X)=0,5X-0,5X=0.

Calculons l'espérance du 2nd point de vue. Pour cela notons Ya la variable aléatoire attribuant la valeur dans l'enveloppe A (celle qui est initialement choisie).
E(gain en changeant)=P(Vb=2Va/choix= A)Ya-P(Va=2Vb/choix=A)Ya/2 ?
Cette formule a un gros défaut car, contrairement au 1er cas P(Vb=2Va/choix=A) n'est pas indépendant de Ya idem pour l'autre probabilité.
On peut alors adapter la formule en prenant la valeur moyenne et en prenant la valeur moyenne :

Ceci pour les gains et pour les pertes :

On obtient après un petit calcul P(Vb=2Va/choix=A)+P(Va=2Vb/choix=A)=1 (ouf !).
Mais alors pour avoir une espérance nulle on doit avoir aussi P(Vb=2Va/choix=A)=2xP(Va=2Vb/choix=A).
On obtient alors P(Vb=2Va)=1/3 et P(Va=2Vb/choix=A)=2/3 si on le calcule par rapport à la valeur moyenne dans l'enveloppe.
Ici, on est parti de E=0 pour aboutir aux probabilités 1/3 et 2/3 mais il est possible de les calculer directement (un exemple sur un cas simple est donné après).

Illustration sur un exemple très simple : valeurs de x possibles 1 et 2 avec une probabilité=0,5 pour les deux.
On a pour valeurs possibles de Ya : 1, 2 et 4 avec des probabilités respectives égales à 0,25 ; 0,5 et 0,25.
P(Va=2Vb)=P(Vb=2/Va=1)P(Ya=1)1+P(Vb=4 Va=2)P(Ya=2)2+P(Vb=8 Va=4)P(Ya=4)4=1*x0,25x1+0,5*x0 ,5x2+0*x0,25x4=0,75
* : la probabilité que Vb=2 sachant que Va=1 est égal à 1 car alors seule la possibilité Va=X et Vb=2x est possible, de même on obtient les probabilités conditionnelles 0,5 et 0.
Or =0,25x1+0,5x2+0,25x4=2,25.
On a bien P(Vb=2Va/choix=A)=0,75/2,25=1/3.
Les amateurs pourront tester d'autres possibilités pour X en termes de valeurs possibles et de loi de probabilité.
Le 2nd point de vue est tout aussi cohérent que le 1er mais il ne faut pas les mélanger.
C'est le second paradoxe : on oublie bien souvent que ce n'est pas que l'on est devant une alternative que les probabilités sont égales à 1/2. Le joueur qui a fait un choix ne doit pas oublier que les valeurs possibles pour x et celles pour 2X ne peuvent pas à la fois coïncider et être équiprobables (on montre facilement que cela implique que x est alors infini et que la somme des probabilités élémentaires est alors infinie ce qui est une vraie contradiction). Et donc il doit calculer la probabilité de doubler son gain par rapport à la moyenne et là il peut se rendre compte que son raisonnement aboutissant à une chance sur 2 est bel et bien faussée. C'est amusant j'ai rarement rencontré des gens qui allaient jusqu'au bout du raisonnement pour aboutir à non une fois que le choix est fait la probabilité de doubler n'est plus d'1/2 mais descend à 1/3.

[Médiat]

Il existe bien un paradoxe des deux enveloppes dans le sens "qui va contre l'intuition" (à l'instar du paradoxe de Banach-Tarsky) ce qui est très subjectif.

Sauf que le paradoxe de Banach-Tarsky n'est pas basé sur une faute de raisonnement

[ilelogique]

merci pour toutes vos réponses, mais je me répète : une résolution probabiliste ne me parait pas indispensable, il s'agit bien de logique selon moi (et il me semble que ce forum n'est pas seulement épystémologique mais ausssi logique) et je réitère ma question : médiat peut-il me dire ce qu'il ferait s'il avait pris la première envelloppe, trouvant 100 € dedans, et qu'on lui proposait d'échanger : ne le ferait-il pas ( à supposer qu'il soit "joueur" bien sûr) ?.
Ce que je veux aborder est le fait c'est qu'on peut presqeue considérer que ce sont deux jeux liés.
Mais on veut ouvrir la seconde envelloppe pour savoir si on a trouvé ou non la meilleure envelloppe.
Selon moi, la réponse que doit donner Mediat est déterminante pour savoir s'il s'agit ou non d'un paradoxe.
merci donc de dire
cordialement

[Médiat]

Médiat peut-il me dire ce qu'il ferait s'il avait pris la première envelloppe, trouvant 100 € dedans, et qu'on lui proposait d'échanger : ne le ferait-il pas ( à supposer qu'il soit "joueur" bien sûr) ?.

J'ai déjà répondu plusieurs fois : changer ne change rien, je n'aurais donc aucune raison de changer.

On peut introduire des éléments "non logiques" dans un problème qui n'est qu'un problème de probabilité, cela ne change pas le résultat en terme de probabilité, un exemple (pas de moi) que j'utilisais dans le cadre de l'enseignement :
Une personne, sur le chemin du retour chez lui, est coincé dans un aéroport en attendant son avion, elle voit dans une boutique de souvenirs un bijou qu'elle trouve sublime et qui coute 150€, elle n'a pas de carte de crédit et la boutique n'accepte pas les chèques, or cette personne ne possède que 100€ sur elle ; elle propose le jeu suivant au commerçant, ils jouent à pile ou face si la pièce tombe sur pile le commerçant vend le bijou 100€ au lieu de 150, si elle tombe sur face le commerçant gagne les 100€. Avec ce jeu les deux joueurs ont une espérance positive. Ce n'est pas un paradoxe, c'est juste que les fonctions d'évaluation ne sont pas les mêmes.

[jamajeff]

merci pour toutes vos réponses, mais je me répète : une résolution probabiliste ne me parait pas indispensable, il s'agit bien de logique selon moi (et il me semble que ce forum n'est pas seulement épystémologique mais ausssi logique) et je réitère ma question : médiat peut-il me dire ce qu'il ferait s'il avait pris la première envelloppe, trouvant 100 € dedans, et qu'on lui proposait d'échanger : ne le ferait-il pas ( à supposer qu'il soit "joueur" bien sûr) ?.
Ce que je veux aborder est le fait c'est qu'on peut presqeue considérer que ce sont deux jeux liés.
Mais on veut ouvrir la seconde envelloppe pour savoir si on a trouvé ou non la meilleure envelloppe.
Selon moi, la réponse que doit donner Mediat est déterminante pour savoir s'il s'agit ou non d'un paradoxe.

Bonjour,

si il faut supposer "qu'il soit joueur", alors cela signifie qu'en plus des enveloppes et de leur contenu il faut prendre en compte l'intérêt du jeu en lui même. De sorte que la réponse est présupposée dans la question. Ce qui revient à dire "à supposer qu'il veuille/va rejouer, joue-t-il?".

Aussi, la multiplicité des formalisations possibles montre qu'il n'y a pas de cause logique dans cette démarche mais un choix volontaire qu'on justifie logiquement. En gros, le point de départ reste le même : "voici comment nous pouvons définir dans des termes logiques les situations et les définitions des différents choix possibles, alors quel est le bon choix?" en sachant que le choix d'une définition de la situation disqualifie nécessairement les autres.

Homotopie a raison d'utiliser le qualificatif "quantique" car, comme dans les théories quantiques la réponse est directement liée à la manière d'interroger, de modéliser la situation.
En définitive, ce n'est pas un paradoxe mais une parallaxe...

Cordialement.

[bardamu]

(...) médiat peut-il me dire ce qu'il ferait s'il avait pris la première envelloppe, trouvant 100 € dedans, et qu'on lui proposait d'échanger : ne le ferait-il pas ( à supposer qu'il soit "joueur" bien sûr) ?.
Ce que je veux aborder est le fait c'est qu'on peut presqeue considérer que ce sont deux jeux liés.
Mais on veut ouvrir la seconde envelloppe pour savoir si on a trouvé ou non la meilleure envelloppe.
Selon moi, la réponse que doit donner Mediat est déterminante pour savoir s'il s'agit ou non d'un paradoxe.
merci donc de dire
cordialement

Bonjour,
tes critères psychologiques implicites semblent devenir explicite : "à supposer qu'il soit "joueur"".
Dès lors que tout le monde est d'accord que l'espérance mathématique est de 0 et qu'il n'y a donc pas de paradoxe au sens formel, on peut rajouter quelques ingrédients pour montrer la place du psychologique.

Disons que le joueur a besoin de 100 € pour acheter un médicament qui lui sauvera la vie. Il tombe sur les 100 €, va-t-il changer d'enveloppe ? Certainement pas. Même si il joue à un jeu lui donnant mathématiquement 99% de gagner plus, il ne s'y risquera pas.

Bien entendu, quand il n'y a pas d'enjeu autre que le plaisir, l'espérance mathématique n'a pas forcément d'influence. Et par exemple, quelqu'un (moi au hasard...) investissant un rôle de "personne rationnelle" peut choisir de changer d'enveloppe en espérant perdre parce que son plaisir sera d'expliquer que mathématiquement c'était indifférent (de la vanité de la Raison... ).
En d'autres termes, il n'y a "paradoxe" que si on dit : "le joueur est rationnel, il sait qu'il a une espérance de zéro mais change d'enveloppe". Or si on lui demande "d'être "joueur"", c'est qu'on lui demande de ne pas être rationnel. Au final, la véritable situation que tu sembles présenter est : "le joueur sait qu'il a une espérance de zéro mais il est irrationnel (mu par un désir d'un maximum d'argent, pour faire le malin en expliquant des trucs de math etc.) et il change d'enveloppe".
Est-ce le genre d'explication que tu cherches ?

Sans doute que des études ont été faites en psychologie sociale sur les stratégies adoptées selon les contextes mais (pour les français) on peut facilement comparer les attitudes des joueurs dans le "Jeu des milles euros" à la radio et "Qui veut gagner des millions" à la télé. Dans le premier, les sommes en jeu ne changeront pas la vie des gens et ceux-ci vont généralement jusqu'au bout, quitte à se contenter du gain d'un poste de radio. Dans le second, la plupart s'arrêtent au moindre doute dès qu'ils ont atteint la somme qui correspond à leur attente.

[invite35452583]

choisir une envelloppe parmi deux que je vous présente en affirmant que l'une d'entre elles contient deux fois plus d'argent que l'autre.
Vous en choisissez une, l'ouvrez, et gagnez, mettons, 100 €.
Je vous propose d'échanger d'envelloppe.
Vous savez donc qu'il y a : soit 50 €, soit 200 € dans l'autre envelloppe.
Vous avez donc une chance sur deux de gagner 100 € et une chance sur deux de perdre 50 €.
C'est idiot, j'ai vu ça il y a des années quelque part et je cherche, en vain, une explication simple et logique à ce paradoxe.
Merci.

Etant donné que la seule information fiable (on va la supposer telle en tout cas) est la partie soulignée, la partie en rouge est erronée.
La probabilité de gagner 200 euros n'est tout simplement pas définie. Une probabilité est une limite d'une opération que l'on peut répéter un grand nombre de fois. Or, ici, il n'est pas indiqué comment la détermination des valeurs dans les enveloppes est réalisée. Si celle-ci consiste à mettre 100 euros dans une enveloppe et 200 euros dans l'autre puis de les mélanger alors la probabilité pour gagner 200 euros est égale à 1. Si celui-ci consiste à mettre 100 et 50 euros, la probabilité est nulle. Si on choisit équiprobablement entre les deux possibilités précédentes la probabilité est 0,5....
A ce niveau oui les probabilités n'entrent pas en jeu. Si le jeu n'a lieu qu'une fois ou un nombre faible de fois et on ne vous dit rien sur comment sont déterminées les valeurs à part qu'une enveloppe contient deux fois plus, aucun raisonnement bâtie sur le calcul des probabilités ne peut tenir. La contradiction dans le raisonnement est de recourir alors aux probabilités. La décision ne peut être que bâtie sur des éléments extérieurs : si vous trouvez les 100 euros dans une enveloppe nécessaires aux médicaments (cf post de bardamu) ne changez surtout pas vous ne savez même pas si il est même possible qu'il y ait 200 euros dans l'autre ! Si vous trouvez 100 euros alors que vous avez besoin de 150 euros pour le bijou "de Médiat" (vous savez que ce bijoutier refuse de jouer) mais que vous pouvez très bien vous passer des 100 euros alors changer ! etc...

Une autre situation respectant la contrainte une enveloppe contient 2 fois ce que contient l'autre enveloppe et en prime, dans un certain sens, il y a une chance sur deux que l'autre contient deux fois le montant de l'enveloppe. La voici :
le joueur sait que le contenu de l'enveloppe bleue est tiré au hasard selon un certain générateur aléatoire (l'expérience peut donc se répéter un grand nombre de fois, les probabilités seront valides, il connaît la loi de probabilité). Puis une pièce équilibrée est lancée et on met le double dans l'enveloppe rouge si pile sinon on met la moitié. Il y a bien une chance sur deux que l'enveloppe bleue contienne deux fois le montant de l'enveloppe rouge et une chance sur deux la moitié.
Le joueur fait un 1er choix mais avant même d'ouvrir l'enveloppe on lui propose de changer. Quelqu'un fait le raisonnement suivant :
soit x la plus petite valeur.
On a une chance sur deux que l'enveloppe choisie (quelle soit sa couleur) contienne la moitié de l'autre et une chance sur deux contienne le double de l'autre.
Si on change et que l'on est dans la seconde situation gain=x.
Si on change et que l'on est dans la première situation perte=x.
Donc espérance de gain=0,5x-0,5x=0.
En quoi ce raisonnement est-il erroné (et il l'est) ?

Sauf que le paradoxe de Banach-Tarsky n'est pas basé sur une faute de raisonnement

Je faisais le parallèle avec le raisonnement que j'ai fait moi. En quoi celui-ci est-il erroné ?
(un peu abusif sur les termes choisis certes, ce que j'ai noté P(Vb=2Va/choix=A) n'a de probabilité que le nom mais se justifie par la similarité d'écriture avec le calcul basé sur ce que j'ai appelé le 1er point de vue).

[Médiat]

Je faisais le parallèle avec le raisonnement que j'ai fait moi. En quoi celui-ci est-il erroné ?

Celui-là de raisonnement n'est pas erroné, mais il ne va pas contre l'intuition, au contraire, en tout cas, pas contre mon intuition, je ne lui trouve donc rien de paradoxal.

Si l'intuition disait de changer que faire dans la situation suivante :
On donne une enveloppe au joueur mais avant qu'il ne l'ouvre on lui offre le choix de changer ou non, le raisonnement (faux) qui incite à changer ne dépend pas de la valeur contenue dans l'enveloppe, on peut donc le mener sans ouvrir celle-ci. Comme le joueur choisit de changer, avant qu'il n'ouvre la deuxième enveloppe on réitère la proposition, le même raisonnement va lui dicter de changer à nouveau, on va donc lui rendre la première, mais avant qu'il ne l'ouvre on réitère la proposition, le même raisonnement va lui dicter de changer à nouveau etc. etc.

Digression HS
Après changements sans ouvrir l'enveloppe, l'enveloppe tenue dans la main est indéterminée (est-ce la première ou la deuxième ?), mais le raisonnement peut toujours être tenu, et nous en sommes à itérations (bon je m'arrête ça me fatigue tous ces changements )

[ilelogique]

Oui mais concrètement, s'il vous plait, vous échangez d'envelloppe ou pas ?

[Médiat]

Réponse donnée le 03/05/2008.

J'ai déjà répondu plusieurs fois : changer ne change rien, je n'aurais donc aucune raison de changer.

Je peux encore répéter : changer ne change rien !

Que veux-tu de plus ?

[ilelogique]

Je tourne en rond là, mais bon, on ne va pas s'éterniser là dessus des heures...mais tout de même : vous n'échangez pas et partez donc avec vos 100€ (pour l'exemple).
Ce que je ne vois pas c'est que, en fait, échanger serait comme un nouveau jeu : vous me donnez 100€ (comme une mise), puis je tire à pile ou face, si c'est pile je vous donne 50€, si c'est face je vous donne 200€...vous avez bien interrêt à jouer à ce jeu non ?
Je me répète, il ne s'agit pas tenir des considérations probabilistes mais logiques ici, j'ai compris le raisonnement probabiliste. A mon sens le noeud de la chose se trouve dans le fait que c'est idiot d'échanger tant qu'on n'a pas ouvert la première enveloppe, en revanche quand on l'a fait...

[PANTAFIL]

Bonjour . Je ne suis pas mathématicien.
Ne peut on pas dire qu'avant l'ouverture de toute enveloppe , la proposition
"A contient 100 euros" ("A=100") est indécidable , car sinon , sa probabilité (ou celle de sa négation) ne pourrait être égale à 1\2 ?

[PANTAFIL]

La probabilité de 1\2 citée dans le message précédent doit être de l'ordre de zéro (sic!) . Le problème de l'indécidabilité de "A=100" ne peut il pas pour autant resté posé ?

[PANTAFIL]

Si la proposition "A=100" a pour probabilité zéro, celle de sa négation est de l'ordre de 1/1 ."A=100" est donc décidable.
Pourtant A=100 . Ainsi après l'ouverture de l'enveloppe la probabilité de "A=100" devient 1/1 ;n'y a t' il donc pas là un changement radical dans la décidabilité de "A=100" .
Ce changement de nature dans la décidabilité d'une proposition en cours de jeux ne peut elle pas avoir d'influence sur les choix d'enveloppe ?
Le changement de nature de la décidabilité des propositions de la théorie
du sujet en cours de jeu , soit donc le changement de la théorie du sujet (avec "A=100" comme nouvel axiome) ne peut il pas être considéré comme un indicateur externe du changement du sujet lui même?
N'y a pas t'il pas là le germe du concept de sujet en mathématique?