Logique classique et déduction naturelle - Page 2
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Logique classique et déduction naturelle



  1. #31
    inviteab8f3a27

    Re : Logique classique et déduction naturelle


    ------

    Bon, alors je me suis renseigné pour vraiment avec une vue de l’esprit de ce qu’est cette logique intuitionniste. Le document de Wikipédia ne me semblait pas clair, mais en m’y accrochant, et avec l’aide d’une certaine Anne Bauval de Wikipédia, j’ai un peu re-édité la partie qui ne me semblait pas claire.

    Je poste ici, la présentation revue et améliorée de la raison pour laquelle la logique intuitionniste, n’accepte pas le tiers-exclus. Tout le monde peut comprendre maintenant (et je reformule une fois plus loin avec un peu d’humour).

    Citation Envoyé par Wikipédia
    « Il existe des nombres irrationnels a et b, tels que ab est un nombre rationnel. En effet, on sait que la racine carrée de deux est irrationnelle, et 2 est évidemment rationnel. En notant la proposition φ « est rationnel », on pourrait alors dire :
    si φ est vrai alors les irrationnels et conviennent,
    si φ est faux alors les irrationnels et conviennent (l'irrationalité de a étant l’hypothèse ¬φ), puisque ab = = = = 2 est rationnel ».

    La critique de cette démonstration est qu'elle n'est pas constructive : de par son utilisation du tiers exclu, elle n'exhibe pas une solution explicite, mais démontre seulement l'existence d'un couple-solution sans pouvoir préciser lequel (puisqu'on ne sait pas si est vrai ou faux). En fait, le théorème de Gelfond-Schneider permet de montrer que est irrationnel et que c'est le a qu'il faut choisir, mais la démonstration fondée sur le tiers exclu ne le dit pas.
    Formulation humoristique :

    Cambriolage à la banque, 2h du mat, les bleus arrivent dardard. Un p’tit bleu dit tout fier à son grand-bleu « chef, j’ai attrapé quelqu’un qui était pile sur le lieux, on en tiens peut-être un ». Le chef : « c’est bien p’tit bleu, la lois du tiers-exclus nous dit qu’il est soit coupable soit innocent et que cette affirmation est vraie ». Le p’tit-bleu, l’air de pas avoir pigé : « heuuu... oui chef, mais ça m’aide pas beaucoup... J’en fais quoi concrètement ? Je le relâche ou j’le met dans l’panier ? »

    Voilà, c’est ça l’histoire de l’exclusion du tiers-exclus ; et le point de départ de l’approche constructiviste qui en découle.



    (enfin, tout cela, sauf erreur de ma part).

    -----

  2. #32
    Matmat

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Dans les notes de bas de page de wikipédia sur le théorème de Godel il est dit ceci :

    "La prouvabilité intuitionniste étant plus faible que la prouvabilité classique, l'énoncé que Gödel fournit pour le premier théorème d'incomplétude, indécidable en logique classique, le reste en logique intuitionniste. Par ailleurs, la preuve de Gödel est constructive : l'énoncé indécidable peut être donné explicitement pour une théorie donnée. Elle peut se formaliser en logique intuitionniste, même si le présent article ne s'en soucie pas."

    Autrement dit j'ai tort parce que l'énoncé indécidable peut être donné explicitement ! ( tout simplement mais je n'y avais pas pensé car je bloquais sur l'utilisation du tiers exclus pour conclure que ce qui n'est pas faux est vrai oubliant que l'indémontrabilité n'est pas montrée avec le tiers-exclus elle ! )

  3. #33
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Citation Envoyé par Hibou57 Voir le message
    Bon, alors je me suis renseigné pour vraiment avec une vue de l’esprit de ce qu’est cette logique intuitionniste

    [...]
    Un article sur l'intuitionnisme que j'ai trouvé très clair et intéressant : http://www.dossierpourlascience.fr/e...euve-21944.php.

  4. #34
    inviteab8f3a27

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Un article sur l'intuitionnisme que j'ai trouvé très clair et intéressant : http://www.dossierpourlascience.fr/e...euve-21944.php.
    Quand je veux acheter l’article (pour la lire la suite), ça ne marche pas.

    Je re-essai plus tard, j’espère pouvoir le lire. Merci de l’avoir indiqué en tous les cas.

  5. #35
    Médiat

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Citation Envoyé par Hibou57 Voir le message
    Soit. Sous quelles conditions ?
    L'exemple de jreeman sur les ensembles infinis est correct, on peut même aller plus loin : dans le cadre des mathématiques finitistes (pas d'infini), le tiers exclu est démontrable.

    En fait on peut résumer les choses ainsi :
    Si on refuse le tiers exclu : intuitionnisme
    Si on refuse les infinis : finitisme
    Si on prend les deux (mais en abandaonnant la constructivité) : logique classique

    Mais on peut faire plus simple, le tiers exclu c'est ne pas accepter que (p ou non p) soit un axiome de la logique, mais si p est une proposition "vraie", alors (p ou non p) est démontrable pour ce cas particulier ; par exemple en arithmétique de Heyting (Peano en logique intuitionniste), on peut démontrer que 1+1 = 2, donc ((1+1=2) ou non (1+1=2)) est démontrée.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #36
    Médiat

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    De tous les cas, j'avoue ne pas très bien comprendre où vous voulez en venir : la logique intuitionniste se justifie et s'applique d'abord pour les nombres, les ensembles. A vrai dire, pour les démonstrations, on en a un peu rien à faire du tiers exclus et de la logique intuitionniste.
    Je ne comprends pas ce que vous voulez dire, l'intuitionisme est justement une liste de règles d'inférence, cela touche exclusivement les démonstrations.

    D'ailleurs l'intuitionnisme est idéal pour la théorie de la démonstration : ce n'est pas parce que l'on n'a pas une démonstration de p que l'on a une démonstration de non p.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. #37
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je ne comprends pas ce que vous voulez dire, l'intuitionisme est justement une liste de règles d'inférence, cela touche exclusivement les démonstrations.
    Ce que j'ai voulu dire, c'est que cela touche les démonstrations mais pas les raisonnements que l'on pourrait faire sur les démonstrations, qui eux sont par principe constructivistes.

    Par exemple la réponse à la question "existe-il toujours une démonstration de p ou non p", nécessite de construire, mettre en évidence un cas (et un devrait suffir) de p où l'on n'a de démonstration ni de p, ni de non p.
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 09/06/2010 à 08h21.

  8. #38
    Médiat

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Ce que j'ai voulu dire, c'est que cela touche les démonstrations mais pas les raisonnements que l'on pourrait faire sur les démonstrations, qui eux sont par principe constructivistes.
    Nous parlions du théorème de Gödel, qui justement repose sur la transformation d'une démonstration en objet arithmétique, et donc une démonstration sur la démonstration devient une démonstration sur les objets arithmétique.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. #39
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Nous parlions du théorème de Gödel, qui justement repose sur la transformation d'une démonstration en objet arithmétique, et donc une démonstration sur la démonstration devient une démonstration sur les objets arithmétique.
    L'existence de cette transformation n'a justement pas été montrée à partir d'une règle de type "tiers exclus".

  10. #40
    Médiat

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    L'existence de cette transformation n'a justement pas été montrée à partir d'une règle de type "tiers exclus".
    C'est bien ce que j'écrivais dans mon message #15, cette transformation est constructive.

    Mais cela ne m'explique pas votre remarque :
    Citation Envoyé par jreeman
    la logique intuitionniste se justifie et s'applique d'abord pour les nombres, les ensembles
    Puisque, justement, le choix de la logique a un impact sur les démonstrations et non sur les objets.

    Ce n'est pas grave, le principal est que Hibou57 ait ses réponses (et de nouvelles questions), inutile de l'embrouiller avec une discussion périphérique.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #41
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Logique classique et déduction naturelle

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ce n'est pas grave, le principal est que Hibou57 ait ses réponses (et de nouvelles questions), inutile de l'embrouiller avec une discussion périphérique.
    Oui je pense et acquiesce.
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 09/06/2010 à 10h11.

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