Trajectoire elliptique des planètes et mécanique newtonienne

Seirios · 30/03/2008 - 18h07

Bonjour à tous,

Dans le premier tome du cours de physique de Feynman (mécanique), l'auteur explique que l'on peut retrouver la forme elliptique des trajectoires des planètes à partir des équations de Newton.

Néanmoins, il n'en fait pas une démonstration rigoureuse, mais simplement une application numérique. D'où ma question : Comment arrive-t-on, à partir des équations newtonienne, à trouver une forme elliptique explicite aux trajectoires des planètes ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

Gwyddon · 30/03/2008 - 18h10

Hello,

La trajectoire elliptique est dû à la force centrale en 1/r² de la gravitation.

Pour mettre en évidence le caractère elliptique, il existe plusieurs manières, une façon de faire est d'utiliser la méthode dite de Binet, qui consiste à réécrire les équations du mouvement en introduisant la variable u=1/r, dans un système de coordonnées sphériques.

Bon courage

deep_turtle · 30/03/2008 - 18h13

Salut,

Tu écris la relation fondamentale de la dynamique en coordonnées polaires, en écrivant l'accélération sous la forme
$\vec{a} = -C^2 u^2 \left[ u + \frac{d^2 u}{d\theta^2} \right]<br /> \vec{u}_r$
où u=1/r tu arrives à une équation différentielle dont la solution est une fonction sinusoïdale.

En revenant à la variable r, tu arrives à quelque chose du style
$r \propto \frac{1}{1+e \cos \theta}$
qui est l'équation d'une conique, dont l'ellipse est un cas particulier.

EDIT : grillé par Gwyddon...

Seirios · 30/03/2008 - 18h21

Merci à vous deux

Je vais essayer de faire les calculs, et je reviendrai si je rencontre un problème.

gillesh38 · 01/04/2008 - 06h40

remarque : il existe une formule générale donnant la trajectoire d'une particule sous forme polaire dans une force centrale (theta donné en fonction d'une intégrale sur r, dépendant du potentiel). La démonstration de cette formule est donnée par exemple ici

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouveme...force_centrale

En utilisant le potentiel newtonien en -GMm/r, on peut aussi retrouver la formule d'une ellipse rapportée à ses foyers (ou d'une parabole, ou d'une hyperbole, suivant l'énergie). Mais le calcul de l'intégrale dans cette méthode est un peu plus lourd que par la formule de Binet rappelée par Gwyddon et Deep

, cependant elle est plus générale et peut s'intégrer numériquement dans n'importe quel autre potentiel central.

Cdt

Gilles

lologoetz · 03/04/2008 - 18h55

Slt si tu veux une démonstration rigoureuse, procure toi un cours de mpsi, on fait ça en ce moment, sinon il existe une autre méthode tres coton en utilisant l'anomalie excentrique si ça t'interresse (j'en parle dailleur sur ce mm forum)

Seirios · 12/08/2008 - 10h15

J'ai trouvé dans un livre sur le calcul différentiel et intégral la démonstration de la première loi de Kepler, et donc du caractère elliptique de la trajectoire des planètes ; je vous la décrirais, mais il y a une étape dans les calculs qui me dérange :

$\vec{a} \wedge \vec{h}= -\frac{GM}{r^3} \vec{u} \wedge (r^2 \vec{u} \wedge \vec{u}')=-GM \vec{u} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{u}')$ , avec le vecteur constant $\vec{h}=r^2 (\vec{u} \wedge \vec{u}')$ , et l'accélération $\vec{a}$ .

On aurait pas plutôt $-\frac{GM}{r^3} \vec{u} \wedge (r^2 \vec{u} \wedge \vec{u}')=-\frac{GM}{r} \vec{u} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{u}')$ ?