Chute corps et vecteur g non constant

Texanito · 31/03/2009 - 10h30

Bonjour,

J'ai essayé de déterminer la vitesse v à laquelle arriverait un corps tombant d'un point h à partir des formules $Ec = \frac{1}{2}mv^2$ et $Ep = mgh$ .

Si on néglige les frottements on peut dire que Ec = Ep et en simplifiant par m on trouve
$v^2 = 2gh$
$v = \sqrt{2gh}$ (On élimine la valeur négative car v positif)

Or dans ce cas de figure j'ai pris g comme vecteur constant mais si un corps tombe d'une valeur h = 380 000 km par rapport au sol, les variations du vecteur accélération ne peuvent être négligées.

Et $g = \frac{GM}{r^2}$

J'ai donc supposé que v finale était la somme de toute les vitesses en fonction d'une infinité de petites accélérations constantes et posé ainsi que $v = \int_H^h {\sqrt{\frac{2GM(h-H)}{x^2}} dx$

où h est la hauteur initiale et H la hauteur à laquelle on veut mesurer la vitesse (soit au sol H = 6377 km)

Donc :

$v = \int_H^h {\frac{\sqrt{2GM(h-H)}}{x} dx$

Et :

$v = \sqrt{2GM(h-H)}\int_H^h \frac{1}{x} dx$

Enfin :

$v = \sqrt{2GM(h-H)} [ln x]_H^{h}$

Le problème c'est qu'en applicant cette formule, les résultats n'étaient pas très cohérent mais en trichant un peu j'ai trouvé qu'ils l'étaient beaucoup plus lorsque j'écrivais

$v = \frac{\sqrt{2GM(h-H)}}{h-H}[ln x]_H^{h}$

Donc si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre où se trouve mon erreur de raisonnement

Merci d'avance et bonne journée !

**Gilgamesh** · 31/03/2009 - 12h40

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**Gilgamesh** · 31/03/2009 - 12h53

En partant de mv²/2 = mg(x)x

et

$g(x)\ =\ \frac{GM}{x^2}$

je trouve que :

$v^2 \ =\ 2GM \int^x_{x_0} \frac{dx}{x^2}$

et tu prend la racine carrée du résultat. Ça me parait plus facile pour intégrer la vitesse.

a+

**Gilgamesh** · 31/03/2009 - 13h02

Et ça donne :

$v\ =\ sqrt{2GM \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right)}$

si je ne me trompe pas.

a+

Calvert · 31/03/2009 - 13h08

Salut !

Plus simple que d'intégrer l'équation du mouvement, on peut utiliser ici le cas général de l'énergie potentielle gravitationnelle :

$E_{\text{grav}} = -\frac{GM}{r}$

et utiliser la conservation de l'énergie.