Bonjour,
J'ai pose ma question sur le forum de maths mais personne ne m'a repondu, donc je tente ma chance parmis vous.
J'aimerais savoir si mathematiquement un espace homogene et isotrope est identique a un espace isotrope en tout point de l'espace (quelque soit le type de variete ou de dimension regarde).
Merci
Salut,
Je crois que oui. Je crois que "isotrope en tout point" et "homogène" sont équivalent. Mais je ne saurais le démontrer.Envoyé par rizwan
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
j'ose une reponse naive.
il me semble qu'il y a equivalence en 3 dimensions.
en tout cas observation de l'isotropie .
je ne sais même pas dire si les astrophysiciens considèrent qu'il y a equivalence dans les 4 dimensions, ou plus si elles existent.
Oui, tu as raison de préciser. C'est l'espace qui est isotrope et homogène. Dans le temps ce n'est même pas homogène (la densité moyenne diminue avec le temps à cause de l'expansion).
Mais pour une variété quelconque (pas nécessairement l'espace-temps), à N dimensions, isotrope en tout point => homogène.
Après y avoir réfléchi, l'inverse n'est pas nécessairement vrai. Par exemple, un espace de toopologie T3 (tore) peut être homogène mais il n'est pas isotrope.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
Je suis étonné que cette question n'ai pas reçue de réponse dans le forum mathématique. En général on accepte qu'un physicien apporte une réponse intuitive à ce genre e questions ( c'est pour cela, entre autres, qu'il se différencie d'un mathématicien).
Par contre un mathématicien doit savoir faire cela aussi facilement qu'un physicien fait une mesure de courant avec un ampèremètre.
Piste pour la démonstration:la théorie des groupes.
Merci pour vos réponses,
Je suis evidemment tout à fait d'accord que homogene n'induit pas isomorphe en tout point, et l'inverse me parait tres probable sans en avoir une demonstration precise.
Merci Mariposa pour ta contribution, mais bon c'est un peu evident qu'il faut attaquer le problème par la théorie des groupes puisqu'on parle se symétrie, c'est comme si quelqu'un cherchait du pétrole et qu'on lui disait d'aller chercher du coté des rafineries, ouais d'accord mais ça fait pas avancer le schmililiblinkq
Il faut évidemment lire isotrope.
Il me semble que la réponse est non. Il y a au moins un contre-exemple simple, le segment de ligne fermé, c'est à dire la variété à bord connexe de dimension 1 dont un exemple est [0,1].
Il est facile de vérifier que l'espace est (globalement) isotrope en tout point : dans ]0,1[, les deux directions sont congruentes, et aux extrémités il n'y a qu'une direction possible !
Mais l'espace n'est pas homogène, aucune variété à bord ne l'est.
Maintenant, je n'ai pas trouvé de contre-exemple en dimension >1.
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Par ailleurs, si la notion d'homogénéité d'un espace est relativement claire, celle d'isotropie mériterait d'être précisée.
Des propositions pour des définitions rigoureuses de ces notions ??
PS : Je n'ai pas retenu comme définition de "isoptrope" la congruence de toute paire de couples (P, V) avec V un vecteur unitaire de TP. Une telle définition est celle de "homogène et isotrope", et la prendre équivalente à "isotrope" seul rendrait la question du message #1 sans intérêt, et est donc à rejeter pour cette discussion.
La définition de "isotrope" comme équivalente par définition à "homogène et isotrope" est néanmoins une approche valable !
Salut
Une réponse (mais pas la démonstration) est dans le lien
http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmo_01.htm
Sous le mur de briques (qui n'est pas le mur de Planck!).
Même chose (en français) diapo 13 de
http://www-cosmosaf.iap.fr/Cours_cosmo.pdf
Cordialement
Merci Amanuensis pour le contre exemple, effectivement un espace isotrope en tout point n'est pas forcement homogene. Mais si on rajoutait que c'est la "meme" isotropie en tout point, je pense que c'est en tout cas ce qui est sous entendu par les cosmologistes.
Evidement dans ce cas, le contre exemple ne marche plus car les points ne "voient" pas la "meme" isotropie puisque les extremités n'ont qu'une seule direction et deux directions pour les autres points.
Mais mathematiquement pour pouvoir definir une "meme" isotropie en chaque point il faudrait rajouter une structure supplementaire a l'espace afin de comparer les differents points par une sorte de "transport".
@ordage: Je n'ai pas tout lu mais je crois qu'il dit juste qu'en cosmologie on voit l'univers comme homogene et isotrope, le principe cosmologique mais en aucun cas qu'un espace isotrope en tout point est forcement homogene et isotrope.
Bien d'accord ; cela correspond à mon avis à la demande que tous les (P, v), P un point, v un vecteur unitaire du tangent en P, soient congruents, et cela implique par définition l'homogénéité (suffit "d'oublier" v). (Il y a la même chose chez les graphes non orientés : un graphe est symétrique si toutes les paires (N, A) avec N un noeud et A une arête aboutissant à N, sont congruents ; et cela implique l'homogénéité ("sommet-transitif") si le graphe est connexe.)
Je pense aussi que c'est souvent l'idée implicite sous le mot isotrope.
PS : Le contre-exemple en étoile dans les figures, que je lis comme n, n>2, demi-lignes fermées avec leur extrémité fermée commune, me semble moins adaptés : ce n'est pas une variété, c'est je dirais un "contre-exemple topologique".
PPS : Dans les graphes non orientés, il y a plus de contre-exemples : les graphes bipartis complets Kn,m, n différent de m, sont "isotropes" au sens faible mais pas "homogènes". K1,n a un air de famille avec le contre-exemple en étoile. Cela donne des contre-exemples topologiques, mais je ne vois pas comment en tirer des variétés...
Pour parler d'isotropie et d'homogénéité il y a automatiquement la définition d'une métrique.
L'isotropie et l'homogénéité se traduit par:
d[(a,b)] = d [F(a), F(b)]
F représente les transports des points a et b.
Ces fonctions de transports correspondent aux rotations (isotropie), inversion, et translation (homogénéité).
Ces transformations forment un groupe appelés groupe euclidien quand la métrique est celle de Pythagore:
Si Tu supposes l'isotropie en un point A et l'homogénéité de l'espace tu dois pouvoir prouver avec un argument sur l'ensemble des orbites de A que l'isotropie est garantie pour tous les points.
Bonjour,
un espace isotrope en tout point est homogène, c'est démontré par exemple dans Weinberg p.378-379.
Salut,
Merci,
(en plus j'ai son bouquin)
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
Pardonnez ce déterrage de sujet, mais ce fil de discussion m'intéresse.
Je ne suis pas physicienne, ni prétends m'y connaître même un peu, mais je donne des cours sur la perception.
En particulier sur la perception des objets et la capacité humaine à en déterminer leur centre.
Je fais faire une expérience de bissection de ligne à mes étudiants : à l'aveugle, ils doivent estimer le centre d'une petite baguette à l'aide de leur index.
En guise d'introduction, je leur parle de Piaget qui pensait que l'homme avait cette faculté de déterminer le centre des objets homogènes (surtout horizontaux). J'introduis à cette occasion le terme d'isotropie, mais je me rends compte que ce terme est flou, et au final même moi je m'y perds.
Pourriez-vous me donner une définition ou des exemples compréhensibles de l'isotropie (encyclopédies et dictionnaires ne me convainquent pas), et me dire si un autre terme ne serait pas plus approprié ?
Merci beaucoup !
