triangle rectangle hyperbolique et la métrique de Schwarzschild

Mailou75 · 19/07/2012 - 16h08

Envoyé par Zefram Cochrane

Tu redécouvres.

Oui, tu joues sur les mots, on peut découvrir l'Amérique sans pour autant s’appeler Christophe Colomb

Envoyé par Zefram Cochrane

Si tu as fait les calculs qui sont apparamment justes, alors ils ont avérés.

Sous la forme $exp{\eta_3}=exp {\eta_1+\eta_2} = exp{\eta_1}.exp {\eta_2 }$ oui, mais je ne l'avais jamais lu vu sous la forme (z+1)₁ x (z+1)₂ = (z+1)₃
Même si c'est parfaitement équivalent, mais pour ceux qui n'affectionnent pas $\eta$ ça permet de s'en passer

Envoyé par Zefram Cochrane

Maintenant il faudrait je crois faire la synthèse de tout ceci, ce qui devrait nous donner une bonne conception de la métrique de Minkovski et de la RR

Entre les graph des messages #25 et #53 de ce fil tu retrouves toutes les égalités dont on a parlé.
J'ose pas les combiner, on me dit que mes graphs sont illisibles après

A+
Mailou

Zefram Cochrane · 19/07/2012 - 16h18

Peut être en bouquet final de feu d'artifice de graph

Peut être existe t'il the graph de référence sur lequel on peut tout mettre.
Ta relation est intéressante et vient en plus de celle avec les rapidités.
Zefram

Mailou75 · 19/07/2012 - 17h41

Envoyé par Zefram Cochrane

Peut être en bouquet final de feu d'artifice de graph

Peut être existe t'il the graph de référence sur lequel on peut tout mettre.

Ça va sentir le réchauffé, pas compliqué de les mettre en parallèle, ils disent la même chose mais représentée différemment,
comme ça on garde le choix d'en préférer l'une ou l'autre, celle qui nous parle le plus :
#25 : comment les valeurs caractéristiques d'une "vitesse" restent liées entre elles et ne varient qu'en fonction d'une valeur commune $\eta$
#53 : comment ces mêmes valeurs prennent un "sens physique" si ma feuille blanche est assimilée à un espace temps 1D+t (Minkowski)

Envoyé par Zefram Cochrane

Ta relation est intéressante et vient en plus de celle avec les rapidités.

bah non c'est la même

vaincent · 20/07/2012 - 16h59

Bonjour,

Envoyé par Zefram Cochrane

Je suis étonné que tu dises que mon raisonnement est faux pas d'accord avec toi car ce sont les formules qui décrivent l'expérience de pensée des photons qui rebondissent du sol au plafond dans un train en mouvement par rapport à l'observateur du quai.

Est-ce-que tu pourrais mettre un lien pour illustrer tes sources ? stp

Dans le cadre de la RG : j'ai essayé d'écrire sur le modèle des transformations de Lorentz $d\tau$ et TEX]dr'[/TEX] à partir de l'équation des champs dans la métrique de Schwarzchild pour une trajectoire radiale de genre temps.
$(cdt')^2 - dr'^2 = \frac{ (cdt)^2}{\gamma^2} + \gamma^2 (dr)^2$

Il faudrait que tu précises encore une fois tes sources, je pourrais mieux évaluer tes calculs.
Merci

Quel est l'intérêt des diagrammes de Penrose? Comment s'y initier tu as des liens à recommander?

Je ne suis pas du tout un spécialiste des diagrammes de Penrose, mais je sais qu'ils permettent une certaine représentation de métriques différentes sur le même plan et notamment de représenter les différents types de trous noirs.

Zefram Cochrane · 21/07/2012 - 01h10

Bonsoir,
au fait merci pour le lien,

j'ai déduit les équations du premier point de livre la relativité restreinte et générale d'Albert Einstein
en particulier de la relation de simultanéïté cas, des éclairs arrivant simultanément dans le référentiel du mobile.

pour le second point
http://physique.coursgratuits.net/re...warzschild.php
http://physique.coursgratuits.net/re...la-lumiere.php
De l'équation de la métrique de Schwarzschild restreinte à une trajectoire radiale par rapport au centre de la source du champ de gravitation

je ne sais plus comment j'ai trouvé les relations intermédiaires, mais j'ai développé les calculs Vitesse de la lumière ! #117 (comment fait on un lien ici?)
je trouve pas la même forme pour A mais il doit y avoir relation puisque le résultat final est le même.
Cordialement,
Zefram

Mailou75 · 21/07/2012 - 02h21

Salut,

A défaut de faire une synthèse je préfère vous donner la version bis

Ce schéma est parfaitement équivalent à celui proposé au message #53 (Minkowski)
Il s'agit d'additionner des vitesses : 0,6c et -0,4c

Pour faire le parallèle : la courbe 1/x devient la droite y=1 (temps propre constant)
et la droite Y₂X₂ devient le cercle de centre O et de rayon 1 (espace)
Les "courbes coniques" sont le cône de simultanéité (qui n'était pas représenté dans l'ancienne figure mais qui correspondait aux droites AX₁ et AY₁)
Les lettres B et C correspondent évidement aux mêmes points (on ajoute ici D qui est l'intersection du cône et de la ligne d'univers)

$\alpha$ /2 correspond à la la surface colorée, mais $\alpha$ est avant tout la longueur de l'arc ACn
L'ordonnée du point D correspond à z+1 (pour un $\beta$ <0) et à 1/z+1 (pour un $\beta$ >0)
(ça serait un peu long d'expliquer pourquoi mais disons que c'est lié au fait qu'on considère qu'un objet qui avance vers l'observateur "s'éloigne dans un espace négatif", bref...)
d'où le fait qu'on retrouve une courbe 1/x qui va uniquement nous servir à retrouver z+1 (quand $\beta$ >0) et $\gamma$ si on le cherche...

Finalement dans l'une ou l'autre des versions on se rend compte qu'il y a une rupture dans la construction purement geométrique :
Dans l'ancienne figure on additionnait les $\eta$ alors qu'ici on multiplie les z+1, ce qui est parfaitement équivalent pour additionner les vitesses (vu dans ce fil)
(T'avais raison Zef finalement je m'en sert

)

On notera que quelle que soit la représentation choisie, localement (en A) on a toujours : temps (OA) et espace (droite / cercle) orthogonaux et cône à 45°,
et que l'espace et le temps propre constant sont toujours confondus, mais uniquement localement !
C'est d’ailleurs ce "dédoublement" des courbes (espace et temps propre constant) qui constitue la boite de Pandore de la RR

C'est donc une autre représentation de la même chose (Minkowski) sauf que : considérer que l'espace est euclidien (droit) et que le temps est hyperbolique,
moi ça me fait mal au crane et surtout ça ne veut rien dire... concrètement c'est impossible à se représenter mentalement et ça ne dit rien sur la "finitude" de l'espace
Ce que dit cette représentation c'est que l'on peut convertir cette relation en : le temps est droit et l'espace est circulaire,
et ça c'est beaucoup plus facile à se représenter : un espace 2D est la surface d'une sphère !
Ce à quoi il est facile d'adjoindre le temps pour parler d'expansion...

Bon, j'imagine que je dois commencer à vous gonfler avec cette figure mais malheureusement personne ne se donne le mal d'essayer de la comprendre

Et surtout je trouve très étrange de ne la trouver nulle part...

A+
Mailou

Mailou75 · 21/07/2012 - 02h44

Envoyé par Zefram Cochrane

pour le second point
http://physique.coursgratuits.net/re...warzschild.php
http://physique.coursgratuits.net/re...la-lumiere.php

J’étais sur que ce site te plairait

Mailou75 · 21/07/2012 - 19h50

Envoyé par vaincent

Tu peux par exemple aller voir ce lien où les diagrammes de Minkowski sont très bien expliqués.

A un moment il est dit, en parlant de la rapidité : "Elle peut prendre toutes les valeurs réelles positives"
C'est faux elle peut parfaitement être négative (objet qui s'approche de l’observateur)

Mailou75 · 22/07/2012 - 18h12

Envoyé par Mailou75

malheureusement personne ne se donne le mal d'essayer de la comprendre

Je suis un incompris... snif

vaincent · 23/07/2012 - 10h27

Envoyé par Zefram Cochrane

Dans le cadre de la RG : j'ai essayé d'écrire sur le modèle des transformations de Lorentz $d\tau$ et TEX]dr'[/TEX] à partir de l'équation des champs dans la métrique de Schwarzchild pour une trajectoire radiale de genre temps.
$(cdt')^2 - dr'^2 = \frac{ (cdt)^2}{\gamma^2} + \gamma^2 (dr)^2$

Salut, d'où tirs-tu cette formule ? (il y a une erreur de signe en plus, non?) Soit tu me montres un site où elle y est écrite explicitement, soit tu écris le calcul qui permet d'y arriver. Merci
Et le $\gamma$ si ce n'est pas celui de la RR alors tu dois le préciser.

Zefram Cochrane · 23/07/2012 - 12h02

Bonjour,
http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG-27.htm
équation 63 et 64 (géomérie des TN)

il y a celui-ci aussi qui présente le résultat pour dt (équation 50 295}
http://www.sciences.ch/htmlfr/cosmol...vistegen01.php

$\gamma = \gamma_s = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}$

Voici le détail des calculs et normalement corrigés. Le problème du Latex c'est que c'est un peu comme écrire un texte avec un clavier en Braille comme l'écran saute, je suis obligé de passé par un traitement de texte,
j'ai donc posé :
$\vec{c}dt' = A(\vec{c}dt + Bd\vec{r})$
$d\vec{r'} = D(d\vec{r} + E\vec{c}dt)$

$(\vec{c}dt')^2 - d\vec{r'}^2 = \frac{ (\vec{c}dt)^2}{\gamma^2} - \gamma^2 (d\vec{r})^2$

ce qui donne :
$(\vec{c}dt')^2 - d\vec{r'}^2 = A^2(\vec{c}dt)^2 + A^2B^2(d\vec{r})^2 + 2A^2B(\vec{c}dtd\vec{r}) - D^2(d\vec{r})^2 - D^2E^2(\vec{c}dt)^2 - 2D^2E(\vec{c}dtd\vec{r})$

on a donc pour le moment trois équations pour quatre inconnues :
$A^2 - D^2E^2 = \frac{1}{\gamma^2}$
$D^2 - A^2B^2 = \gamma^2$
et $A^2B = D^2E$

on commence par isoler E :
$A^2B = D^2E$ → $E = \frac{A^2B}{D^2}$
→ $E^2 = \frac{A^4B^2}{D^4}$

ensuite on passe à D² :
$A^2 - D^2E^2 = \frac{1}{\gamma^2}$ → $A^2 - \frac{A^4B^2}{D^2} = \frac{1}{\gamma^2}$
→ $D^2 = \frac{A^4B^2}{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}$

C'est au tour de B² :
$D^2 - A^2B^2 = \gamma^2$ → $\frac{A^4B^2}{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}} – A^2B^2 = \gamma^2$

→ $A^4B^2 – A^2B^2\left(A^2 - \frac{1}{\gamma^2}\right) = \gamma^2\left(A^2 - \frac{1}{\gamma^2}\right)$ → $B^2\left(\frac{A^2}{\gamma^2} \right) = \gamma^2\left(A^2 - \frac{1}{\gamma^2}\right)$
→ $B^2 = \frac{ \gamma^4\left(A^2 - \frac{1}{\gamma^2}\right)}{A^2 }$

on peut revenir à D² :
$D^2 = \frac{A^4B^2}{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}$
→ $D^2 = \frac{\gamma^4\left(A^2 - \frac{1}{\gamma^2}\right)A^4}{ A^2\left(A^2 - \frac{1}{\gamma^2}\right)}$
→ $D^2 = \gamma^4A^2$

Puis a E :
$E = \frac{A^2B}{D^2}$ → $E = \frac{A^2\frac{ \gamma^2\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}}{A}}{\gamm ^4 A^2}$
→ $E= \frac{\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}}{\gamma^2A }$

On a donc les paramètres :
$A$
$B = \frac{ \gamma^2\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}}{A}$
$D = \gamma^2A$
$E= \frac{\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}}{\gamma^2A }$

En les réinjectant dans le premier système d'équations, nous obtenons :
$\vec{c}dt' = A(\vec{c}dt + Bd\vec{r})$
$d\vec{r'} = D(d\vec{r} + E\vec{c}dt)$

→
$\vec{c}dt' = A\left(\vec{c}dt + \frac{ \gamma^2\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}}{A}d\vec{r }\right)$

$d\vec{r'} = \gamma^2A\left(d\vec{r} + \frac{\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}}{\gamma^2A }\vec{c}dt\right)$

on simplifie :
$\vec{c}dt' = A\vec{c}dt + \gamma^2\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}d\vec{r}$
$d\vec{r'} = \gamma^2Ad\vec{r} + \sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}\vec{c}dt$

pour une trajectoire radiale de genre lumière on a :
$\frac{\gamma^2d\vec{r}}{\vec{c }dt} = \frac{d\vec{r'}}{\vec{c}dt'}$

nous avons :
$\frac{\gamma^2d\vec{r}}{\vec{c }dt} =\frac{ \gamma^2Ad\vec{r} + \sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}\vec{c}dt}{ A\vec{c}dt + \gamma^2\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}d\vec{r}}$

$d\vec{r} = \vec{c}dt$ ; je divise le numérateur par $d\vec{r}$ et le dénominateur par $dt$ .

$\frac{\gamma^2}{\vec{c}} =\frac{ \gamma^2A + \sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}}{A\vec{c}+ \gamma^2\vec{c}\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}}$
→
$\gamma^2\left(A+ \gamma^2\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}\right) = \gamma^2A + \sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}}$
→
$\sqrt{A^2 - \frac{1}{\gamma^2}} \left(\gamma^4 – 1\right) = 0$

→
$\sqrt{A^2-\frac{1}{\gamma^2}} = 0$

donc :
$A = \frac{1}{\gamma}$
$B = 0$
$D = \gamma$
$E = 0$

En final on a :
$\vec{c}dt=\gamma \vec{c}dt'$
$d\vec{r}=\frac{d\vec{r'}}{\gam }$

Maintenant j'aimerai savoir quoi penser de ces résultats.

Cordialement,
Zefram

Zefram Cochrane · 23/07/2012 - 12h15

Envoyé par Mailou75

C'est donc une autre représentation de la même chose (Minkowski) sauf que : considérer que l'espace est euclidien (droit) et que le temps est hyperbolique,
moi ça me fait mal au crane et surtout ça ne veut rien dire... concrètement c'est impossible à se représenter mentalement et ça ne dit rien sur la "finitude" de l'espace
Ce que dit cette représentation c'est que l'on peut convertir cette relation en : le temps est droit et l'espace est circulaire,
et ça c'est beaucoup plus facile à se représenter : un espace 2D est la surface d'une sphère !
Ce à quoi il est facile d'adjoindre le temps pour parler d'expansion...

Bon, j'imagine que je dois commencer à vous gonfler avec cette figure mais malheureusement personne ne se donne le mal d'essayer de la comprendre

Et surtout je trouve très étrange de ne la trouver nulle part...

A+
Mailou

Salut,
Je pense que la géométrie hyperbolique doit mieux refléter la théorie de la relativité que la géométrie euclydienne. Un shéma avec des cos et sin est peut être plus facile à apréhender car plus proche de notre perception intuitve euclydienne de l'espace et du temps et représente en cela un danger conceptuel, je pense. Note que je n'ai pas dit que ton schéma était faux ou ne servait à rien. Il se peut même qu'il soit pertinent dans le sens où il peut apporter un complément utile à une réprésentation plus traditionnelle, mais cela je ne peux pas encore le savoir.
Par contre que le temps soit hyperbolique ne doit pas plus te gêner que cela car le temps contrairement à la distance est une grandeur scalaire qui est multiplié par le vecteur c; vitesse de la lumière donne une distance, une grandeur vectorielle.

Peut être que dire que du point de vue d'un observateur supposé fixe, la temps s'écoule à C si nous sommes au repose par rapport à cet observateur, < C pour une vitesse radiale V non nulle a peut être du sens. A creuser.
Cordialement,
Zefram

vaincent · 23/07/2012 - 13h21

Ok, maintenant je comprends très bien ce que tu a fais. Je vais te montrer à quel point on peut tourner en rond sans s'en rendre compte!(ça m'ai déjà arriver plusieurs fois)

Tu pars de $(cdt')^2 - dr'^2 = \frac{ (cdt)^2}{\gamma^2} - \gamma^2 (dr)^2$

et tu arrives à :

$cdt=\gamma cdt'$
$dr=\frac{dr'}{\gamma}$

Ce qui est exactement la même chose écris différement ! Donc tu n'as pas avancer d'un poil par rapport à la formule initiale!(mais au moins tu peux te dire que tous tes calculs intermédiaires sont bons(maigre consolation je l'admet!))

En fait en écrivant les équations linéaires :

$cdt' = A(cdt + Bdr)$
$dr' = D(dr + Ecdt)$
(il ne faut pas mettre de vecteurs, cela ne sert à rien et c'est faux en général)

tu traites le cas général où il peut y avoir mélange des coordonnées spatiales et temporelles comme pour une certaine classe des transformations de Lorentz en RR. Or le "résultat" te dis que ne n'est pas le cas, ce qui est tout à fait normal puisque, implicitement, tu étais parti de ce fait.

En plus il faut bien voir que dans le formule que tu obtiens à partir de celles glanées ici ou là sur internet, à savoir celle du départ :

$(cdt')^2 - dr'^2 = \frac{ (cdt)^2}{\gamma^2} + \gamma^2 (dr)^2$

tu mélanges 2 choses incompatibles(avec un truandage au niveau du signe devant le 2ème terme du membre de droite!). Le membre de droite est la métrique de Schwarchild pour une courbe radiale(et non une trajectoire)(espace courbe), alors que celui de gauche est la métrique de Lorentz(espace plat).
Donc au delà du fait que ton calcul tourne en rond, ce qui est écris à la base est faux.
Tu ne peux pas mélanger des formules comme bon te sembles. Il faut bien comprendre, avant de bidouiller des équations, quelle est la physique derrière et s'il est donc physiquement justifiable de faire tel ou tel rapprochement. C'est comme en cuisine, ce n'est pas parce qu'on mélanges de bon ingrédients que le résultats sera bon, on ne peut pas faire n'importe quoi, car dès lors ce n'est plus de la science, mais du pur hasard sans réflexion derrière.

Zefram Cochrane · 23/07/2012 - 13h39

tu traites le cas général où il peut y avoir mélange des coordonnées spatiales et temporelles comme pour une certaine classe des transformations de Lorentz en RR. Or le "résultat" te dis que ne n'est pas le cas, ce qui est tout à fait normal puisque, implicitement, tu étais parti de ce fait.

En plus il faut bien voir que dans le formule que tu obtiens à partir de celles glanées ici ou là sur internet, à savoir celle du départ :

$(cdt')^2 - dr'^2 = \frac{ (cdt)^2}{\gamma^2} + \gamma^2 (dr)^2$

tu mélanges 2 choses incompatibles(avec un truandage au niveau du signe devant le 2ème terme du membre de droite!). Le membre de droite est la métrique de Schwarchild pour une courbe radiale(et non une trajectoire)(espace courbe), alors que celui de gauche est la métrique de Lorentz(espace plat).
Donc au delà du fait que ton calcul tourne en rond, ce qui est écris à la base est faux.
Tu ne peux pas mélanger des formules comme bon te sembles. Il faut bien comprendre, avant de bidouiller des équations, quelle est la physique derrière et s'il est donc physiquement justifiable de faire tel ou tel rapprochement. C'est comme en cuisine, ce n'est pas parce qu'on mélanges de bon ingrédients que le résultats sera bon, on ne peut pas faire n'importe quoi, car dès lors ce n'est plus de la science, mais du pur hasard sans réflexion derrière.

Cette formule là est fausse cause du signe mais c'était une erreur de frappe. D'ailleurs dans la formule 63 il y un signe moins avant le gammadt.
J'avais mis sous forme vectorielle pour voir s'il n'y avait pas une confusion possible.

Tu dis que je suis parti implicitement du résultat, pourquoi ?
Cordialement,
Zefram

Zefram Cochrane · 23/07/2012 - 15h27

$(cdt')^2 - dr'^2 = \frac{ (cdt)^2}{\gamma^2} - \gamma^2 (dr)^2$

J'ai compris ce que tu voulais dire par je mélange la métrique de Schwarzchild à droite avec la RR à gauche. Pourtant je croyais que localement, la métrique est Minkovskienne. comment dois-je écrire le ^membre de gauche de l'équation?
Cordialement,
Zefram

triangle rectangle hyperbolique et la métrique de Schwarzschild

Re : triangle rectangle hyperbolique et la métrique de Schwarzschild

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