des lois de la gravitation

[Marcorlet]

Je considère une planète double comme Pluton Charon. Je calcule la force de gravitation F = G.m1.m2/d, et je trouve une valeur différente quand je calcule la réaction centrifuge C = m.a = m.v.v/d. Cela vient du fait que pour F, d représente la distance entre les masses m1 et m2 alors que pour C, d est la distance entre le satellite et le barycentre du système double. Mais alors ? Il est écrit partout que F et C sont équivalentes et contraires et que même on peut déduire la masse de l'attracteur grâce à la formule m1 = d.v.v/G.

Il y a autre chose, il n'y a pas seulement le satellite qui orbite, le corps attracteur tourne aussi autour du barycentre. Donc l'attracteur non content d'avoir une masse a aussi un demi-grand axe, et une vitesse. Il partage avec son satellite la même excentricité, ainsi que la même période. J'ai cherché si la distance séparant deux corps n'était pas la distance ente le satellite et le barycentre. Cela ressemble plus à un demi-grand axe que la distance séparant les deux centres. Dans cette direction, il vient deux forces exercées par le barycentre sur les deux corps ! Deux forces différentes, je doit me tromper.

Si quelqu'un connaît le fin mot, je prends.
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[Amanuensis]

La loi de Képler généralisée est G(m₁+m₂) = 4pi² a³/T², avec T la période et a la distance max entre les deux corps.

Cette formule est équivalente à l'égalité des forces dont vous parlez.

Quelles sont vos données ? Vérifient-elles la relation ci-dessus ?

[Marcorlet]

Prenons le couple le plus connu, Terre Lune. On a G(m_T+m_L) = Gm_T+Gm_L = 4,035 032x10¹⁴. Je prends exprès Gm_T et Gm_L car ils sont connus avec 10 chiffres significatifs alors que pour G on est sûr que des 3 premiers, 6,67x10^-11 et encore...

Pour 4pi².a³/T², avec un demi grand-axe a de 384 399 000 m, une période T de 2 360 582 s, on trouve une valeur proche, mais différente : 4,024 087x10¹⁴. Cela correspond a un demi-grand axe plus grand de 348 210 m ! C'est donc soit le demi-grand axe soit la période qui sont mal mesurés soit encore Gm_T et Gm_L. J'utilise Gm_T = 3,986 004 418x10¹⁴ m³/s^-2 et Gm_L = 4,902 777 900x10¹² m³/s^-2. Je ne peux pas croire qu'aujourd'hui où l'on mesure le temps en nanosecondes et l'éloignement de la Lune en centimètres on fasse de mauvaise mesures.

Où se trouve le malentendu, alors ?

Pour en revenir a la question que je me pose, si la Terre tourne bien autour de la Lune, on doit trouver une valeur symétrique à 4pi².a³/T² avec a = a_T = l'éloignement de la Terre du barycentre et T la même période. Il saute aux yeux que le résultat sera différent de G(m_T+m_L) puisque pour la Terre, a_T vaut 4 728 100 m, c'est à dire a_T = a_L.m_L/m_T.

Pour finir G.m_T.m_L/a_L² = 1,982 046x10²⁰ N, tandis que m_Lv_L²/a_L = 2,000 983x10²⁰ N, avec G valant 6,672701x10^-11 (précision un peu arbitraire), m_L = Gm_L/G, m_T = Gm_T/G et v_L = 1023,15 m/s. Où est l'erreur ?

[Mailou75]

Salut,

Pour en revenir a la question que je me pose, si la Terre tourne bien autour de la Lune (...)

Tes calculs laissaient présager des questions plus profondes je plaisante

Pour les calculs je n'y comprends pas grand chose, je te suggère juste une idée:
La lune emprunte une orbite mais la terre aussi et les objets se trouvent à l'opposé par rapport au centre de gravité,
or comme le dit Amanuensis, a doit être la distance max, pas la distance au centre de l'ellipse comme tu semble le faire
Si tu prends comme demi grand axe pour la trajectoire de la terre ton erreur de 348210m ça pourrait résoudre le problème ?
Enfin c'est juste une idée

A+
Mailou

[A voir en vidéo sur Futura]

[Marcorlet]

Les calculs ne sont pas là pour comprendre quelque chose mais pour vérifier qu'on parle bien de la même chose et éventuellement arriver aux mêmes conclusions.

La distance maximum entre deux astres est l'aphélie, c'est le point le plus éloigné d'un des deux foyers de l'ellipse occupé par la Terre ou plutôt le centre de gravité du système Terre Lune. Dans le cas de la Lune, il vaut a+c, demi-grand axe + demi-écart foyers, 405 869 832 m, ce qui nous envoie direct dans les décors. La différence avec le a traditionnel est de 21 122 622 m en plus.

Par contre la différence entre le demi-grand axe et le demi-petit axe est plus intéressante, elle vaut 579 728 m. C'est pourtant pas ça. Et puis à ma connaissance les lois de Kepler et de Newton se formulent avec le demi-grand axe de l'ellipse.

Ma question reste toujours, si on peut calculer une réaction centrifuge de la Lune tournant autour de la Terre, on doit par symétrie pouvoir calculer une réaction centrifuge de la Terre tournant autour de la Lune. Il découle de ce raisonnement que cette seconde réaction s'oppose à une seconde force et que l'ensemble doit être en équilibre.

[Amanuensis]

Pour en revenir a la question que je me pose, si la Terre tourne bien autour de la Lune, on doit trouver une valeur symétrique

La formule étant parfaitement symétrique, il ne peut pas y avoir deux valeurs une pour la Terre une pour la Lune.

[Amanuensis]

Et puis à ma connaissance les lois de Kepler et de Newton se formulent avec le demi-grand axe de l'ellipse.

Oui, mais il y a quatre ellipses différentes: la trajectoire de la Lune dans le référentiel géocentrique, la trajectoire de la Terre dans le référentiel sélénocentrique, la trajectoire de la Terre dans le référentiel du centre de masse, la trajectoire de la Lune dans le référentiel du centre de masse. C'est une raison pour laquelle j'évite de parler de demi-grand axe...

[Amanuensis]

Par ailleurs, j'ai écrit une bêtise. Dans la formule a n'est pas la distance max, mais la somme des demi-grands axes des deux ellipses dans le référentiel du centre de masse. Ce qui est la même chose que la moyenne de la distance max et la distance min.

Enfin, un point mineur (il ne suffit pas à expliquer la différence) vient de la période. Celle indiquée est la période tropique, or il faut prendre la période sidérale. Celle-ci vaut 27,321 661 jours, soit 2 360 591 s.

Mais l'orbite de la Lune n'est pas une ellipse fermée sur elle-même, les corrections sont assez importantes. Cela est visible en particulier sur la période entre périgées, 27,554 550 jours, c'est à dire pas loin de 1% de différence avec la sidérale. Ramené à la distance, cela fait 0.57 % d'erreur, comparé à la différence trouvée de l'ordre de 1%.

Je n'ai pas la moindre idée comment le calcul est affecté quand l'orbite est significativement différente de la belle ellipse théorique.

[papy-alain]

Je n'ai pas la moindre idée comment le calcul est affecté quand l'orbite est significativement différente de la belle ellipse théorique.

A mon avis, c'est presque incalculable, car on doit tenir compte de l'influence de Jupiter et, dans une moindre mesure, de Mars et Venus. Seul un ordinateur très puissant peut simuler ces situations avec précision.

[Marcorlet]

Je me suis mal exprimé. La valeur doit rester la même bien entendu, mais avec deux formules symétriques, la première utilisant les valeurs de la Terre, la suivante utilisant les valeurs de la Lune.

[Marcorlet]

Il me semble que dans les référentiels géocentrique et sélénocentrique, le demi-grand axe et la période sont équivalents. Dans le référentiel du centre de masses, il y a bien deux trajectoires opposées, celles de la Terre et de la Lune. Dans ce dernier référentiel, chaque corps a son propre demi-grand axe. La question est a_L+a_T dans le référentiel du centre de masses = a dans le référentiel géocentrique, ou a_T + a_L > a ?

[Amanuensis]

La somme dans le référentiel du centre de masse est égale au demi-grand axe dans les référentiels respectifs des corps; et égale à la moyenne temporelle de la distance ; et égale à la moyenne entre distance min et distance max.

Tout cela évidemment dans le cas idéalisé du problème à deux corps.

L'avantage de parler en termes de distances est que c'est automatiquement symétrique.

[Marcorlet]

La formule étant parfaitement symétrique, il ne peut pas y avoir deux valeurs une pour la Terre une pour la Lune.

Je parle de deux formules qui donneraient le même résultat, comme m_L.v_L²/a_L = m_T.v_T²/a_T.

[Amanuensis]

Parler d'une vitesse demande de fixer un référentiel. Cette égalité n'est pas directement interprétable comme symétrique.

[Marcorlet]

Merci pour vos réponses.

Si j'ai bien compris vos explications, a est égal à la moyenne de l'aphélie et du périhélie qui vaut par construction un demi-grand axe, il est égal aussi à la somme des demi-grands axes de la Lune et de la Terre dans le référentiel du centre des masses, et enfin égal à la moyenne temporelle de la distance des deux corps. Cela nous ramène invariablement à 384 399 000 m. Cela ne nous explique pas les différences trouvées plus haut.

Je suis un peu déçu que l'horloge gravitationnelle ne soit pas plus précise que ça.

[Marcorlet]

Pourtant quand je consulte les caractéristiques orbitales du système plutonien, je trouve demi-grand axe de Charon = 17 536 km, distance moyenne entre Charon et Pluton = 19 571 km et demi-grand axe de Pluton = 2 035 km. Nous sommes clairement dans un référentiel du centre des masses. On a bien : 2035+17536=19571. L'excentricité du système est négligeable. La période T est de 6,387 230 jours, soit 551 857 s.

Dans ce référentiel on trouve bien m_Pv_P²/a_P = m_Cv_C²/a_C = 3,442 564x10¹⁸ aux incertitudes près quant à la répartition des masses entre Pluton et Charon.

Il est vrai qu'il règne une joyeuse pagaille à ce sujet d'un Wikipédia à l'autre. J'ai trouvé les valeurs dont je me sers (a_P et a_C) sur la version anglaise. Les versions espagnole, russe, italienne, néerlandaise, allemande, polonaise ne sont pas d'accord entre elles, la version française donne des valeurs incompatibles. Preuve s'il il en est que le sujet que j'aborde est loin d'être assimilé et de faire l'unanimité.

Faites « système plutonien », par curiosité.

[Marcorlet]

Je pense que l'influence du Soleil est plus importante sur le système Terre Lune que celle de Jupiter. La lune doit accélérée quand son orbite se rapproche du Soleil et ralentir quand elle s'en éloigne. Cet effet est plus prononcé au périgée de la Terre. Je pense aussi que son orbite doit subir un effet de marée. Cet effet doit allonger l'orbite dans le sens de l'axe Terre Soleil. Il y a donc au moins deux ellipses qui se marient dans l'orbite de la Lune, l'ellipse de l'orbite lui même dont l'axe fait un tour sur lui même en 8,85 ans, c'est la précession du périgée et l'ellipse de marée qui orbite en quelque sorte avec la Terre autour du Soleil.

J'imagine aussi que la vitesse de la Terre autour du Soleil agit sur l'orbite de la Lune. Il se pourrait que ce dernier subisse un écrasement dans le sens de l'avancement.

Jupiter a des effets plus complexes, mais plus tenus. Dans l'ensemble son action exerce un frein sur le système Terre Lune quand celui-ci s'éloigne de Jupiter et une attirance dans le cas contraire. etc...

[Mailou75]

Salut,

Par ailleurs, j'ai écrit une bêtise. Dans la formule a n'est pas la distance max, mais la somme des demi-grands axes des deux ellipses dans le référentiel du centre de masse. Ce qui est la même chose que la moyenne de la distance max et la distance min.

N'ayant pas réussi à trouver d'illustration convenable de ce problème (on trouve souvent le soleil au centre et c'est tout) j'en ai fait une petite
En tout cas ça vérifie les égalités données par Amanuensis
Pour que ça marche il faut que les ellipses soient d'excentricité égales et symétriques par rapport au centre de gravité... si je ne me trompe pas,
du coup dans ton exemple, il y a peut être une imprécision sur la mesure de AG et A'G supposées identiques ?

Enfin je sais pas... mais ce graph (s'il est juste) peut vous servir de base pour discuter,
et puis ça me laisse une chance de suivre...

A+
Mailou

[Amanuensis]

Preuve s'il il en est que le sujet que j'aborde est loin d'être assimilé et de faire l'unanimité.

Je pense que cela prouve seulement la mauvaise qualité de la vulgarisation. Je serais très étonné que vous trouviez une telle disparité dans la littérature scientifique.

Et votre approche est la bonne : ne pas accepter d'entrée ce qui est indiqué dans la vulgarisation, croiser les sources et se faire sa propre idée. (Plus l'étape suivante, si nécessaire : lire la littérature scientifique sur le sujet.)

[Amanuensis]

Pour que ça marche il faut que les ellipses soient d'excentricité égales et symétriques par rapport au centre de gravité... si je ne me trompe pas,

Correct. C'est le cas dans l'idéalisation qu'est le modèle à deux corps.

(Pour la question, j'attends la validation de la figure.)

[Marcorlet]

(Plus l'étape suivante, si nécessaire : lire la littérature scientifique sur le sujet.)

Avez-vous un lien ou deux a nous proposer ?

[Marcorlet]

Merci pour la figure.

Tout me paraît juste, sauf que AG et A'G ne peuvent pas être identiques sauf si l'orbite de A est strictement circulaire, excentricité = 0. En effet sur ton dessin AG représente l'apogée de l'orbite de A autour du centre de gravité G, alors que A'G en est le périgée.

[Amanuensis]

Avez-vous un lien ou deux a nous proposer ?

Sur le Web, non. Dans ce domaine je me base sur des livres, dont de vieux bouquins...

[Mailou75]

Merci pour la figure.

Tout me paraît juste, sauf que AG et A'G ne peuvent pas être identiques sauf si l'orbite de A est strictement circulaire, excentricité = 0. En effet sur ton dessin AG représente l'apogée de l'orbite de A autour du centre de gravité G, alors que A'G en est le périgée.

Ce que je veux dire c'est que dans ton calcul il n'y a pas de deuxième ellipse tu as AG=A'G=0 et donc a=BB'/2 donc ça doit fausser le calcul quelque part

[Marcorlet]

Pour Pluton et Charon, les vieux bouquins doivent être muets, non ?

[Marcorlet]

Regarde bien tes égalités. Tu dis que a = (AB+A'B')/2, c'est exactement la définition du demi-grand axe car le grand axe entier vaut le périgée plus l'apogée.

[Mailou75]

Regarde bien tes égalités. Tu dis que a = (AB+A'B')/2, c'est exactement la définition du demi-grand axe car le grand axe entier vaut le périgée plus l'apogée.

Le grand axe entier de quelle ellipse ? Selon Amanuensis, a est la somme DES demi grands axes des deux ellipses

Ça m'ennuie de te contredire vu qu'il y a deux jours je ne connaissais même pas ces formules, mais je te donne mon point de vue :

Dans ton calcul tu prends AB=405696000m et A'B'=363104000m donc tu obtiens bien un a=(AB+A'B')/2=38439900m
Et tu dis aussi que BB'/2=38439900m (le demi grand axe de la lune seule) ce qui veut dire que tu néglige AA' qui du coup est égal à 0 (A, A' et G sont confondus)
Si tu fixe AA'/2= 348210m (ton delta) au lieu de 0 ton égalité est retrouvée !

Je ne dis pas que c'est la solution, je propose c'est tout, d'autant que ca ne correspond pas vraiment à ce qu'on trouve sur wiki :
"ce barycentre se trouve à l’intérieur de la Terre, à environ 4 700 kilomètres de son centre" mais là encore il est de toute façon constant
(c'est donc un cercle et non une ellipse d'excentricité égale à celle de la lune : 0.0549)
Il semblerait que les erreurs viennent simplement d'approximations excessives faussant le calcul

En même temps comme il a été dit plus haut, ce n'est pas un vrai problème à deux corps:
trajectoire de la terre autour du soleil, influences des autres planètes et du soleil en particulier, précession du périastre dont tu parles (8,85ans),
bref l'erreur par rapport aux mesures d'observation peut avoir plusieurs origines, voire toutes

Bon courage pour la suite
Mailou

[Mailou75]

Dans ton calcul tu prends AB=405696000m et A'B'=363104000m donc tu obtiens bien un a=(AB+A'B')/2=38439900m
Et tu dis aussi que BB'/2=38439900m (le demi grand axe de la lune seule) ce qui veut dire que tu néglige AA' qui du coup est égal à 0 (A, A' et G sont confondus)
Si tu fixe AA'/2= 348210m (ton delta) au lieu de 0 ton égalité est retrouvée !

Non mais c'est idiot ce que je dis, si on trouve la deuxième égalité on perd la première...
Y'a pas, tu as raison, si on veut que l'égalité soit juste il faut supposer qu'une des données initiales du problème est fausse :
Wiki (français) nous donne M_Terre, M_Lune, Apogée= AB, Périgée=A'B', Demi grand axe de l’ellipse lunaire=BB'/2, période de révolution T
On trouve donc G(M_Terre+M_Lune)=4,035.10¹⁴m³/s²,
et on doit donc par conséquent, comme tu l'as dit au message #3, obtenir a³/T² de même valeur et donc a=384747210m
Ce qui veut dire que soit AB soit A'B' est une donnée fausse puisque leur somme ne satisfait pas à l'égalité !
Si on suppose, par exemple, que A'B' (Périgée) est fausse on trouve une valeur A'B'=2.a-AB=2.384747210 - 405696000 = 363798420m (non pas 363104000m Wiki)
De la même façon, si on considère que l’ellipse est quand même "juste" cad BB'/2=38439900m alors il existe un AA'/2=a-BB'/2=384747210-38439900=348210m
donc intuitivement ma première réponse n'était pas totalement fausse, tu trouves AA'/2 :S:

Cela étant c'est Papy Alain qui doit avoir raison, l'erreur est trop grande, c'est forcément du au fait qu'on extrait un système binaire qui ne peut pas l'être
Avec aussi la possibilité que je raconte n'imp :modo:

A+
Mailou

[Mailou75]

Figure avec la deuxième loi, juste pour le plaisir

[Marcorlet]

Si on suppose, par exemple, que A'B' (Périgée) est fausse on trouve une valeur A'B'=2.a-AB=2.384747210 - 405696000 = 363798420m (non pas 363104000m Wiki)
De la même façon, si on considère que l’ellipse est quand même "juste" cad BB'/2=38439900m alors il existe un AA'/2=a-BB'/2=384747210-38439900=348210m
Mailou

Pour quelqu'un qui ne comprends pas grand chose aux calculs tu te défends pas mal.

Je crois que tu te prends les pieds dans les référentiels. Ton schéma illustre le référentiel du centre des masses. Les deux orbites tournent autour de ce centre que tu nome G. Dans le référentiel géocentrique, le centre c'est la Terre et il n'y a qu'une ellipse qui tourne autour de ce centre, cette ellipse représente l'orbite de la Lune. De même dans le référentiel sélénocentrique, le centre c'est la Lune et il n'y a qu'une orbite qui tourne autour de ce centre, celle de la Terre. Je pensais que tu avais assimilé cette nuance car dans ton dessin, tu poses AB = apogée et A'B' = périgée, or ce ne sont justement pas les apogées et périgées du référentiel du centre des masses, mais ceux des référentiels sélénocentrique et géocentrique.

Pour le reste, je voudrais dire que je ne connais pas d'ouvrage scientifique sans erreurs, et que pour corriger les erreurs il ne suffit pas de croiser les sources, il faut aussi vérifier la compatibilité des valeurs entre elles, et pour vérifier cela, rien de tel que de trouver des égalités structurelles. Merci à tous les intervenants.