Coordonnées de Rindler

[Mailou75]

Bonjour à tous,

J'ouvre ce fil à la suite d'une question de Daniel100, que je remercie au passage, concernant les trajectoires de mobiles à accélération constante. Cette question fait appel aux coordonneés de Rindler dont je vais tenter d'exposer quelques principes ici. De loin cela ressemble assez à du Minkowski, avec une différence majeure : les lignes d'univers et les courbes/droites de temps propre constant ont été inversées ! (enfin, les droites de temps propres constant sont une appellation dangereuse ici comme on le verra par la suite). Mais commençons par le début, enfin plutôt le résultat géométrique...

Partons de la définition des courbes dans le repère hortogonal, ce sont toutes des hyperboles pour lesquelles on peut définir la valeur au point d'intersection avec l'axe des coordonnées (t=0;x=N) telle que avec où a est l'accélération constante subie par le voyageur.
De cette relation on peut déduire qui est l'équation de la courbe dans le repère d'origine,
Les courbes pour des accélérations de 0,2c/s, 0,1c/s et 0,05c/s croisent l'axe des x respectivement à N=5secondes.lumière, 10sl et 20sl, des distances
ou si on fait partir les courbes d'une origine commune.

On observe que les courbes sont toutes "identiques" (hyperboles du "type" ) et que la trajectoire réelle dans l'espace temps ne dépend que de l'échelle que l'on donne à cette courbe, échelle fixée par .

Le long de la trajectoire l'angle hyperbolique entre les droites de temps propre constant est constant ! Les surfaces colorées (en bleu) dans le schéma sont toutes égales... et égales à . C'est le facteur qui est réellement additionné proportionnellement à .
Les droites de temps propre constant sont trompeuses, ce n'est pas comme chez Minkowski où on y trouve la même "date"... ici on trouve le même facteur ! Par exemple la droite notée c/a croise les lignes d'univers de 0,2c/s, 0,1c/s et 0,05c/s à respectivement 5secondes, 10s et 20s de temps propre.

Mais le plus fort c'est qu'on est toujours chez Minkowski (partie gauche du dessin) où on peut vérifier à tout instant que cad que la tangente à la courbe (distance) est la vitesse instantanée. Par exemple quand a=0,1c/s compte jusqu'à 10s sa rapidité =1c soit v=0,76c qui correspond effectivement à l'angle hyperbolique instantané entre les lignes d'univers(en vert).

Quelques formules utiles :








est le temps mesuré par le(s) observateur fixes
est le temps propre mesuré par le voyageur en mouvement
est le facteur de Lorentz compte tenue de la vitesse relative entre voyageur et observateurs fixes
est la rapidité instantanée
est la vitesse relative instantanée
est l'accélération constante ressentie par le voyageur
est l'accélération instantanée perçue par un observateur fixe
est la distance parcourue par le voyageur du point de vue de l'observateur fixe
est la distance parcourue par le voyageur du point de vue du voyageur compte tenu de la contraction des longueurs
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[Mailou75]

Pour ceux qui ont trouvé ce premier poste un peu indigeste, voici un exemple plus parlant, une réponse illustrée à la question de Daniel100 :que se passe-t-il dans le cas d'un voyageur qui subit une accélération constante g pour se rendre de la Terre à Proxima (4,2AL)?

Comme je le disais plus haut, tout est question d'échelle, c'est toujours la "même" courbe...
Cette fois elle intercepte l'axe des x en soit environ une année.lumière (0,95AL)
L'équation de la courbe x(t) nous dit que l’événement d'arrivée à 4,2AL du point de départ se fait à t=5,1ans
(dans l'espace euclidien synchronisé de l'observateur fixe)
La relation nous donne =2,26ans

[Mailou75]

Et... les questions !! forcément y'en a une ou deux (pour démarrer disons)

1-Dans le dernier schéma, j'interprète le croisement entre la ligne d'univers de la Terre (verticale) et l'horizon de Rindler (diagonale à 45°) comme l’événement au delà duquel un signal émis par la Terre ne pourra jamais être perçu par le voyageur, est-ce une bonne interprétation?

2-Le passage des coordonnées de Rindler à celles de Kruzcal consiste-t-il simplement à dire que les courbes d'accélération constante (RR) sont l'équivalent d'un objet qui se tiendrait à distance constante d'un trou noir (RG) et qui devrait avoir : soit une accélération constante qui compense l'accélération gravitationnelle ; soit avoir une vitesse orbitale engendrant une accélération centrifuge constante ?

Voilou, bonne lecture à tous,
Et merci d'avance pour vos réponses/corrections/interventions/suggestions

Mailou

[Amanuensis]

1-Dans le dernier schéma, j'interprète le croisement entre la ligne d'univers de la Terre (verticale) et l'horizon de Rindler (diagonale à 45°) comme l’événement au delà duquel un signal émis par la Terre ne pourra jamais être perçu par le voyageur, est-ce une bonne interprétation?

Suggestion: trouver les équations des trajectoires nulles (de genre lumière), les dessiner, et en particulier celle qui va du croisement (ou d'un point très proche à l'intérieur du coin) vers le futur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Si je me réfère au principe d'équivalence, si je dispose d'une infinié d'observateurs fixes le long de la trajectoire, celui qui croise le voyageur au coordonnées (t,x) , le voit passer à . Le voyageur lui par contre croisera l'observateur fixe au coordonées (t',x' ) et pour lui la vitesse sera avec

la relation liant c' à c est : (

pour une trajectoire de genre lumière :

Si je prends exemple sur l'équation des champs de la métrique de Schwarzschild,

celle qui nous intéresse doit être du style :

Sans certitude aucune, à vérifier.

Cordialement,
Zefram

PS Superbe fil Mailou, topless.

[Mailou75]

Merci à vous,

Suggestion: trouver les équations des trajectoires nulles (de genre lumière), les dessiner, et en particulier celle qui va du croisement (ou d'un point très proche à l'intérieur du coin) vers le futur.

Je dirais 0=x²-c²t² soit x=ct pour les diagonales à 45° ?
Dans le dernier schéma si la Terre émet un signal au delà de l'horizon, l’événement réception du signal par le voyageur n'a jamais lieu puisque la trajectoire du voyageur n'interceptera jamais la diagonale (cône de lumière futur). Graphiquement c'est plutôt trivial, mathématiquement c'est autre chose...

Superbe fil Mailou, topless.

Merci, vicieux !
Promis y'a pas de c' à trouver ici, par contre tu as tout un tas de nouvelles formules avec lesquelles tu peu jongler pour t'amuser.
Tu devrais essayer de comprendre Rindler c'est le but de ce fil... si tu veux te lancer dans dans démonstration des formules données comme résultat, tu peux partir de ceci mgt=m(t)v(t) dont tout découle !

[Amanuensis]

Je dirais 0=x²-c²t² soit x=ct pour les diagonales à 45° ?

Ça c'est uniquement les deux qui partent de l'origine...

Et ce n'est pas en coordonnées de Rindler.

(La métrique est g²x²dt²-dx², c'est g²x²dt²=dx², soit dx = +/-g x dt. Pas vraiment des droites à 45°!)

la trajectoire du voyageur n'interceptera jamais la diagonale (cône de lumière futur).

Encore eût-il fallu que la diagonale représente la ligne nulle...

[Mailou75]

Et ce n'est pas en coordonnées de Rindler.

En a-t-on encore besoin une fois que les trajectoires sont ramenées au point d'origine dans l'espace temps de Minkowski ?
Ne suffit-il pas, comme tu me l'avais soufflé, de démontrer que l'intervalle d'espace temps entre les deux événements est du genre espace, soit :

[Mailou75]

Maquait un petit c² je crois... (le résultat tend vers 0 quand t tend vers l'infini mais reste strictement inférieur à 0)

[Amanuensis]

E
Ne suffit-il pas, comme tu me l'avais soufflé, de démontrer que l'intervalle d'espace temps entre les deux événements est du genre espace,

Oui. Méthode plus simple, et de bon aloi conceptuellement.

[Mailou75]

Démonstration

On passe les membres de chaque coté du signe, on fait sauter les carrés et on trouve



soit



soit



où on reconnait l'expression de la vitesse



CQFD


Passons à la question 2 svp

2-Le passage des coordonnées de Rindler à celles de Kruzcal consiste-t-il simplement à dire que les courbes d'accélération constante (RR) sont l'équivalent d'un objet qui se tiendrait à distance constante d'un trou noir (RG) et qui devrait avoir : soit une accélération constante qui compense l'accélération gravitationnelle ; soit avoir une vitesse orbitale engendrant une accélération centrifuge constante ?

[Zefram Cochrane]

2-Le passage des coordonnées de Rindler à celles de Kruzcal consiste-t-il simplement à dire que les courbes d'accélération constante (RR) sont l'équivalent d'un objet qui se tiendrait à distance constante d'un trou noir (RG) et qui devrait avoir : soit une accélération constante qui compense l'accélération gravitationnelle

Mailou

Je pense que c'est cette solution car

les courbes d'accélération constante (RR) sont l'équivalent d'un objet qui se tiendrait à distance constante d'un trou noir (RG) et qui devrait avoir : soit une accélération constante qui compense l'accélération gravitationnelle

correspond à l'énoncé du principe d'équivalence.
Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Bonjour,

D'une part j'aimerais corriger plusieurs erreurs qui se sont glissées dans le fil...

il n'y a pas de 2 au dénominateur (message 1)

c'est et non pas (message 2)

Dans le premier graph, la valeur réelle de est en m, c'est le calcul qui donne des secondes.lumière (ça ne change rien au graph)

.........

D'autre part, j'ai essayé d'aborder Kruzcal mais je me suis heurté à un problème dès le début, les formules wiki ne marchent pas... (voir http://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal...es_coordinates) Le premier terme de V (extérieur) à savoir r/2GM-1 est négatif donc difficile d'en faire la racine... et j'ai dans l'idée que si je résoud le problème ici, il se posera pour V (intérieur) ou 1-r/2GM deviendra par conséquent négatif... bref

Quelqu'un saurait ou je peux trouver des formules justes pour Kruzcal (qui ne font pas disparaître c si possible)? ça à l'air suffisamment compliquer pour pas mouliner avec des truc faux...

Je pense que c'est cette solution

Ca n'a pas l'air

Merci d'avance

[Amanuensis]

D'autre part, j'ai essayé d'aborder Kruzcal mais je me suis heurté à un problème dès le début, les formules wiki ne marchent pas...

Tt, tt

Le premier terme de V (extérieur) à savoir r/2GM-1 est négatif donc difficile d'en faire la racine...

À l'extérieur r/2GM-1 est positif. Et à l'intérieur 1-r/2GM est négatif. Je ne vois même pas comment on peut voir le contraire!

Quelqu'un saurait ou je peux trouver des formules justes pour Kruzcal (qui ne font pas disparaître c si possible)? ça à l'air suffisamment compliquer pour pas mouliner avec des truc faux...

Il y a certaines manières pour voir des trucs faux qui font qu'on en voit partout...

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Je n'ai peut être pas ta compréhension des coordonnées de Rindler, mais si les coordonnées de Kruzkal sont le pendant gravitationnel de celles de Rindler pour l'accélération dans un espace-temps de Minkovski

for the accelerated system K' this follows directly from Galileo's principle, but for the system K, at rest in a homogeneous field, from the experience that all bodies in such a field a equally and uniformly accelerated. This experience, of the equal falling of all bodies in the gravitation field, is one of the most universal which the observation of nature are yielded; but in spite of that the law has not found any place in the foundations of our edifice of the physical universe But we arrive at a very satisfactory interpretation if this law of experience, if we assume that the systems K and K' are physically exactly equivalent, that is, if we assume that we may just as well regard the system K as being in a space free from gravitationnal field, if we then regard K as uniformly accelerated.


This assumption of exact physical equivalence makes it impossible for us to speak of the absolute acceleration of the system de reference, just as the usual theory [appelée plus tard special theory] of relativity forbids us to talk the absolute velocity of a system*; and it makes the equal falling of all bodies in a gravitationnal field seem a matter of course.

il est matter of course que j'ai raison sur ce point.
Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

À l'extérieur r/2GM-1 est positif. Et à l'intérieur 1-r/2GM est négatif. Je ne vois même pas comment on peut voir le contraire!

En faisant le calcul peut être? (ce que tu dis n'est vrai que pour pour c=1)

Et tu vois bien que de toute façon il y a un des cas dont on ne peut pas faire la racine, je réitère, la formule wiki est fausse !!
J'ai d'ailleurs fini par trouver la bonne : il suffit de mettre ces termes en valeur absolue avant d'en faire la racine et ça roule !

il est matter of course que j'ai raison sur ce point.

Ce n'est pas ce que j'ai voulu dire... évidement qu'il y a une similitude, les courbes (1/x) vont devenir des "positions à rayon constant" mais le passage ne se fait pas simplement en inversant la signification. Si on essaye d'adapter Rindler aux TN en supposant par exemple que l'accélération nécessaire est fournie par une vitesse orbitale, alors on voit bien qu'au delà de 1,5Rs, on ne peut plus rien dire. Chez Kruzcal on va au delà de 1,5 Rs, même au delà de Rs puisque qu'on va jusqu'à la singularité... Je voulais juste dire que c'est un poil plus compliqué

[Amanuensis]

En faisant le calcul peut être? (ce que tu dis n'est vrai que pour pour c=1)

Évidemment, et c'est indiqué en clair sur la page Wiki!

"this article is using units where c = 1."

Plus généralement, c'est la pratique normale dans le domaine.

Et tu vois bien que de toute façon il y a un des cas dont on ne peut pas faire la racine, je réitère, la formule wiki est fausse !!

Vous réitérez préférer l'hypothèse que le Wiki (ou autre texte...) est faux plutôt que ce soit vous qui ne lisez pas correctement ce qui est écrit. Mauvaise habitude, comme déjà signalé.

[bobdémaths]

Bonjour

En faisant le calcul peut être? (ce que tu dis n'est vrai que pour pour c=1)
Et tu vois bien que de toute façon il y a un des cas dont on ne peut pas faire la racine, je réitère, la formule wiki est fausse !!

Je suis toujours assez effaré par la persistance dont font preuve certaines personnes pour défendre des idées fausses, et la volonté farouche de ne pas se remettre en question.

Pour le point qui nous occupe, les formules de wiki sont correctes, et vérifier que les expressions dont on prend la racine carrée sont positives dans les deux cas est à la portée d'un collégien.

Remarque : si tu tiens à remettre les facteurs c dans les formules, il suffit de faire une petite analyse dimensionnelle. On sait que GM²/r est une énergie, donc homogène à Mc². Donc GM/r est homogène à c², et le facteur sans dimension qu'il faut comparer à 1 est donc rc²/GM.

[Mailou75]

Vous réitérez préférer l'hypothèse que le Wiki (ou autre texte...) est faux plutôt que ce soit vous qui ne lisez pas correctement ce qui est écrit. Mauvaise habitude, comme déjà signalé.

Pour le point qui nous occupe, les formules de wiki sont correctes, et vérifier que les expressions dont on prend la racine carrée sont positives dans les deux cas est à la portée d'un collégien.

Non, non et NON !!!! Si A-1>0 alors 1-A<0 pas besoin d'avoir fait maths sup...
Et donc si on peut faire la racine de A-1 dans un cas (extérieur par exemple) on ne pourra pas faire la racine de 1-A (pour l'intérieur) !

Bref, de toute façon les bonnes formules sont ici http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG-27.htm (78' et 79')
C'est la même chose que wiki avec des valeurs absolues pour que ça marche, simplement...
Si vous n'êtes pas convaincu, je ne peux que vous inviter à faire vous même le calcul

Remarque : si tu tiens à remettre les facteurs c dans les formules (...)

Non je n'y tiens pas, les formules font déjà buger excel sans y mettre des c²

[Amanuensis]

Je suis toujours assez effaré par la persistance dont font preuve certaines personnes pour défendre des idées fausses, et la volonté farouche de ne pas se remettre en question.

+1

Rien d'autre à rajouter sur le sujet.

[bobdémaths]

Non, non et NON !!!! Si A-1>0 alors 1-A<0 pas besoin d'avoir fait maths sup...
Et donc si on peut faire la racine de A-1 dans un cas (extérieur par exemple) on ne pourra pas faire la racine de 1-A (pour l'intérieur) !

Je vais y aller lentement. A l'extérieur de l'horizon, r > 2GM, par définition. Donc r/2GM > 1 donc r/2GM -1 > 0 et on peut prendre la racine.
A l'extérieur de l'horizon, r < 2GM, par définition. Donc r/2GM < 1 donc 1-r/2GM > 0 et on peut encore prendre la racine.
Je ne vois vraiment pas où est le problème, en effet pas besoin d'avoir fait maths sup.

@Amanuensis : merci!

[Mailou75]

Rien d'autre à rajouter sur le sujet.

Bon ok j'ai rien dit... r/2GM>1 à l'extérieur et r/2GM<1 à l'intérieur, ça va, ça va...

(Edit : Oui Bobdémaths, je m'en suis rendu compte, désolé)

[Zefram Cochrane]

Ce n'est pas ce que j'ai voulu dire... évidement qu'il y a une similitude, les courbes (1/x) vont devenir des "positions à rayon constant" mais le passage ne se fait pas simplement en inversant la signification. Si on essaye d'adapter Rindler aux TN en supposant par exemple que l'accélération nécessaire est fournie par une vitesse orbitale, alors on voit bien qu'au delà de 1,5Rs, on ne peut plus rien dire. Chez Kruzcal on va au delà de 1,5 Rs, même au delà de Rs puisque qu'on va jusqu'à la singularité... Je voulais juste dire que c'est un poil plus compliqué

1.5 Rs : la dernière orbite des photons?
tu pourrais développer STP ? je serais curieux de voir ce que cela donne.
A plus,
Zefram

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
je ne comprends pas pourquoi tu prends la vitesse orbitale alors que le principe d'équivalence concerne une chute radiale. Ce n'est donc pas étonnant que tu arrives en limite à 1.5 Rs puisque la vitesse orbitale y est égale à c ( ce qui n'est pas forcément inintéressant du reste)
J'en déduis donc que si tu prend la Vlib, tu arrivera en limite à Rs (ce qui est intéressant également).

Il faut peut voir ce qu'on obtient à partir d'une chute libre à une altitude donnée : de mémoire ( à vérifier).

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut,

Juste en passant je vous file la version trigonométrique des coordonnées de Rindler.
Le graph dit rigoureusement la même chose sauf :
-qu'il est impossible d'y mesurer des distances (or c'est un peu le but recherché...)
-que les surfaces colorées ne sont cette fois pas égales (pas d'addition d'angle hyperbolique)

On peut toutefois retrouver la correspondance des formules en trigo...
En définissant un angle on retrouve nos paramètres




etc...

NB: Les cercles sont l'équivalent de ce qui est une droite verticale (objet fixe) chez Rindler hyperbolique

[Mailou75]

1.5 Rs : la dernière orbite des photons?
tu pourrais développer STP ? je serais curieux de voir ce que cela donne.

Oui la dernière orbite des photon

Voilà le graph qui tente d'adapter Rindler.
La méthode est la suivante, je considère que l'accélération constante qui permet à l'objet de se tenir à une distance fixe du TN est issue de la vitesse orbitale. On connait sa valeur :

On en déduit

Puis

qui est la valeur utile pour Rindler

Pour ce graph j'ai pris un TN de masse solaire soit Rs=3km
On voit que jusqu'à 1,5Rs (soit 4,5km) on peut définir une vitesse orbitale et donc une accélération
et se permettre (a priori..) de reporter ces valeurs dans un diagramme de Rindler.

Par contre je ne sais pas trop ce qu'il faut en dire, on pourrait supposer que le graph nous dit : quand un objet à 3Rs=9km compte 50µs (micro secondes) alors un objet à 4Rs=12km va compter 100µs ! Mais ce n'est pas ça du tout, cf Schwarzschild.
Donc je ne sais même pas comment il doit se lire

En toute logique on doit pouvoir transposer ces courbes dans un repère "classique". C'est ce que j'ai essayé de faire dans la partie droite.
Mais encore une fois, pas facile à lire... et même pas dit que ça ait du sens

[Mailou75]

Et voici le Kruzcal

On remarque que la zone entre 0 et Rs est le symétrique parfait de la zone entre Rs et 2Rs.
Que l'angle entre ligne de temps propre constant est toujours égal (surfaces colorées égales)
ET que cette fois ce sont réellement de lignes de temps propre constant !!
(Pas comme chez Rindler où on trouve un coefficient, ici on trouve la même "date")

En fait quelle que soit la masse du TN considéré, on trouvera toujours le même graph (sans changement d'échelle)
la seule chose qui va changer c'est la valeur notée sur les droites de temps propre constant :
J'ai pris cette fois un TN de masse terrestre, soit Rs~0,01m qui nous donne ces valeurs de temps.
Si on prend un TN 6 fois plus lourd (Rs 6x plus grand) on trouvera un temps 6x plus court,
cad que sur le même graph, la ligne 60s deviendra 10s etc...

Bon après je ne sais trop comment il faut le lire, j'aurais donc quelques questions...
-Comment faut-il interpréter la valeur du temps ?
-Particulièrement au delà de Rs, où le temps se remet à s'écouler ? (espace et temps sont-ils inversés?)
-Pourquoi ne pas supposer que deux univers sont séparés par un horizon et ne pas limiter la symétrie à 2rs (singularité) ? Spéculation...?
-Comment ce graph évolue-t-il dans le temps ?

[Mailou75]

Et pour finir, la version trigo de Kruzcal.
Même remarque, pas d'addition d'angle hyperbolique (surfaces colorées différentes)
Pour le reste, même combat que précédemment...

Voilà, bonne lecture
Et merci d'avance pour vos réponses

Mailou

[Mailou75]

J'en déduis donc que si tu prend la Vlib, tu arrivera en limite à Rs (ce qui est intéressant également).

La Vlib ne définit pas une position radiale constante, ni une accélération constante, pas vraiment utilisable pour Rindler

de mémoire ( à vérifier).

Pareil... l'accélération subie dépend de r, elle n'est pas constante

NB:

[azizovsky]

Salut , je vais te filer un coup de main en math Mailou , mais les intérprétations .... c'est à toi :
si on pose
ch(n)=x/N =u
sh(n)=ct/N=v
ch²(n)-sh²(n)=(1/N²)(x²-c²t²)=1 (a)==>
N²=x²-c²t² (ta relation du départ)
si on pose :
ch(n)=u/(1-u)^1/2
sh(n)=v.(1-u)^1/2
ch²(n)-sh²(n)=u²/(1-u) -v²/(1-u)
[x²/N²(1-x/N)]-(1-x/N)c²t²/N²=1
N²=x²/(1-x/N)-(1-x/N)c²t² (analogue de la métrique de Scharchild )
pour N>>x on retrouve la relation (a) .
sh(n).ch(n)=u.v=x.ct=N² (analogue avec métrique de Kruskal)
à toi Mailou