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Rs = Horizon des evènements pour qui ?

  1. #31
    vaincent

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    C'est plutôt de parler de "coordonnée radiale euclidienne" qu'on peut taxer de confusion. Les coordonnées de Schwarzschild n'ont pas à être vues comme euclidiennes.
    C'est justement ce que je viens de dire. A t et r constant, l'aire de la 2-surface obtenue coïncide avec l'aire d'une 2-sphère usuelle, à savoir 4.pi.r², ce qui pourrait faire croire que la coordonnée radiale de Schwarzschild est identique à la coordonnée radiale euclidienne.

    -----


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  3. #32
    Mailou75

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Salut à tous et merci,

    Malheureusement il y a tellement de réponses et de remises en cause que j'ai beaucoup de mal à comprendre vos explications... chacun y va de sa formule et de ses variables et ça part un peu dans tous les sens Mais si je vous suis globalement on reste sur : rien ne serait perçu depuis Rs quelle que soit la "distance" d'un observateur (je met des guillemets car la définition ne semble pas unanime...)

    Je vais tenter un exemple absurde pour que vous compreniez ce qui ne colle pas à mon sens dans ce que vous dites :
    Prenons un observateur stationnaire à 8Rs, selon vos dires il ne voit rien de ce qui se passe à Rs (et en dessous) car la lumière émise est reçue avec un redshift infini.
    Prenons un informateur qui part radialement de Rs à 0,93c (tjrs le même exemple illustré au message #9 ).
    Cet informateur réussira, au bout d'un temps lié à la masse du trou noir, à atteindre 8Rs.
    Ce qui veut dire que l'affirmation "aucune information ne peut provenir de Rs quel que soit l'observateur" est fausse ! Ici l'informateur peut rapporter des infos alors que la lumière ne le pourrait pas ?? Comment l'observateur peut-il voir arriver l'informateur s'il ne le voit jamais partir ? L'informateur met-il simplement un temps infini (s'il part de Rs exactement) à arriver du point de vue de l'observateur fixe, alors qu'il met un temps fini de son point de vue?

    Merci d'avance
    Mailou

    @Vincent : Re, ça faisait une paye !
    @Rincevent : Honoré de votre participation
    Dernière modification par Mailou75 ; 02/09/2013 à 12h21.
    Trollus vulgaris

  4. #33
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    Je vais tenter un exemple absurde (...)
    Prenons un informateur qui part radialement de Rs à 0,93c
    Il n'y a pas de trajectoire de genre temps répondant à ces critères (i.e., r=Rs, dr/dt=-0.93c).

  5. #34
    Zefram Cochrane

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Bonjour,

    Si j'ai bien synthétisé ce que disent Vaincent et Amanuensis mon erreur est de considérer que :

    Dans le cadre de la métrique de Schwarzschild, pour un observateur stationnaire situé à une distance R' du centre du TN selon son point de vue

    pour l'observateur à l'oo
    pour l'observateur stationnaire local.
    où n est un nombre entier.

    Et que puisque

    alors , avec r = R relation qui est fausse , c'est comme cela que comprend la phrase : " r n'est pas une coordonnée euclydienne dans le cadre de la métrique de Schwarzschild".

    Ma question est la suivante :
    Pour l'observateur terrestre, la distance qui le sépare du centre du Soleil est R' = 150 000 000 km.
    Je voudrais savoir comment exprimer R' en fonction de r et aussi exprimer R en fonction de r.

    Cordialement,
    Zefram

    P.S les coordonnées d'Edington-Finkelstein ont l'air sympa, encore faut il que j'ai une vision claire de la coordonnée raidale r. Mais elle ont l'air sympa.
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  6. #35
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message
    Dans le cadre de la métrique de Schwarzschild, pour un observateur stationnaire situé à une distance R' du centre du TN selon son point de vue
    Si vous parliez en termes de coordonnées, de manière claire, cela aiderait. La notion de "distance au centre du TN" est mal définie, "selon son point de vue" est mal défini, ...

    -----------

    Je sais bien que ce qui suit ne plaît pas, mais...

    L'espace-temps de Schwarzschild est un modèle mathématique, et toutes les questions posées apparaissent d'ordre mathématique. Alors, soit on pose ces questions et on y travaille de manière adaptée, c'est à dire en termes mathématiques ; soit on ne pose pas ces questions.
    Dernière modification par Amanuensis ; 02/09/2013 à 12h50.

  7. #36
    Zefram Cochrane

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Essayons d'être plus clair alors :

    Un observateur à l'oo a une règle de longueur dr
    Un observateur local stationnaire a une règle de longueur dr'
    soit une sphère de masse M, ( Le Soleil)

    Pour l'observateur local stationnaire la distance qui le sépare du centre de la sphère est ( par exemple pour l'observateur terrestre R' =150 000 000 km )

    Pour l'observateur à l'oo, la distance séparant l'observateur local du centre de la sphère est

    Dans le cadre de la métrique de Schwarzschild,
    je voudrais pouvoir exprimer:
    -R en fonction de la coordonnée radiale r
    -R' en fonction de la coordonnée radiale r
    -et sait on jamais avec la RG , R' en fonction de R

    Si je pose mal les question, merci de m'excuser et de me dire comment je devrais m'y prendre.

    Cordialement,
    Zefram
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  8. #37
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Une règle ne donne que la longueur locale, elle ne permet pas de parler de distance.

    Ensuite, le Soleil n'est pas un trou noir. On peut approcher la métrique de l'espace-temps pour r>rayon du Soleil par la métrique de Schw., mais pas pour l'intérieur du Soleil. Or le centre du Soleil est à l'intérieur. On a donc une notion de distance au centre du Soleil qui ne vient pas de la métrique de Schw.

    Avec le système de coordonnées de Schw. on peut parler de la coordonnée radiale d'un événement, on peut parler de la distance propre entre deux événements (r1, t) et (r2, t) avec r1>Rs et r2>Rs, mais on ne peut pas parler d'une "distance propre au centre du trou noir".

    Et la question sur R' reste mal définie.

    Ce serait peut-être plus clair si on parlait, en prenant en compte la remarque de Rincevent, de "périmètre de Schwarzschild", faisant 2pi Rs, et égale au minimum de la longueur propre d'un circuit spatial phi -> (t, r, 0, phi), avec r>Rs, t fixé et phi parcourant [0, 2pi]. Avec une telle définition, c'est une mesure indépendante du choix du système de coordonnée ou de l'observateur, et Rs n'est clairement pas une "distance au centre".
    Dernière modification par Amanuensis ; 02/09/2013 à 14h25.

  9. #38
    Zefram Cochrane

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Bonsoir
    Allons y pour la circonférence et profitons en pour déterminer la vitesse orbitale
    Cordialement
    Zefram
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  10. #39
    Mailou75

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Il n'y a pas de trajectoire de genre temps répondant à ces critères (i.e., r=Rs, dr/dt=-0.93c).
    Non dr/dt vaut zero en effet. Mais selon toi à quelle vitesse (à définir) un objet lâché depuis 8Rs franchit-il Rs ? Pourquoi cela ne serait-il pas vrai à l'envers ?
    Merci
    Trollus vulgaris

  11. #40
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    Non dr/dt vaut zero en effet. Mais selon toi à quelle vitesse (à définir) un objet lâché depuis 8Rs franchit-il Rs ? Pourquoi cela ne serait-il pas vrai à l'envers ?
    Pour me répéter: parce que l'intérieur du trou noir est dans le futur de la zone I (r>Rs, |t|<infini en coordonnées de Schw.), donc pas plus de trajectoire inverse que de trajectoire remontant le temps.

    L'une des difficultés est que le système de coordonnées de Schwarzschild, au sens du domaine de définition de la métrique de même, n'est pas "complet", certaines géodésiques peuvent être prolongées. Il n'y a aucune trajectoire d'un objet lâché depuis 8Rs qui franchit Rs qu'on puisse exprimer avec ces coordonnées. Le franchissement est "dans la prolongation".

    Faut prendre d'autres systèmes de coordonnées pour obtenir quelque chose de complet, i.e., où toutes les géodésiques sont complètes au sens où on ne peut pas les prolonger (par exemple parce qu'elles viennent et aboutissent à une singularité de courbure).

    Et dans un tel système de coordonnées (comme Kruskal-Szekeres) on constate que "l'intérieur du trou noir" est dans le futur de tout événement dont les coordonnées de Schwarzschild sont telles que r>Rs.

    Il y a bien des trajectoires "dans l'autre sens", mais elles viennent du passé des événements r>Rs, qui n'est pas "l'intérieur du trou noir" mais "l'intérieur du trou blanc".

    On peut se poser la question où "est" le passage r(tau)=Rs en coordonnées de Schw. ? De manière imagée on peut dire qu'il est pour t>infini (passage dans le trou noir) ou t<-infini (passage en provenance du trou blanc).

    Les coordonnées de Schw. ne sont pas adaptées à décrire la formation d'un trou noir, pas même l'absorption du moindre photon par le trou noir! Elles supposent une création avant t=-infini, et des absorptions après t=+infini. Ce qui peut paraître paradoxal. Mais il y a d'autres systèmes de coordonnées.

  12. #41
    Mailou75

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Salut,
    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Il n'y a aucune trajectoire d'un objet lâché depuis 8Rs qui franchit Rs qu'on puisse exprimer avec ces coordonnées. Le franchissement est "dans la prolongation".
    Faut faire gaffe au vocabulaire avec toi
    Admettons qu'il n'y ait pas de "franchissement" et qu'on se limite à la zone extérieure ]Rs;oo], Schw n'est pas valable ?
    Autrement dit le graph linké par Zef au message #9 c'est de la m... ?

    Et dans un tel système de coordonnées (comme Kruskal-Szekeres) on constate que "l'intérieur du trou noir" est dans le futur de tout événement dont les coordonnées de Schwarzschild sont telles que r>Rs.
    Kruskal parlons en... j'ai tenté des graphs et posé mult questions qui sont restées sans réponses. (voir Coordonnées de Rindler pour la dernière version qui parait fausse...)
    Sais tu te servir de Kruskal ? Pourrais tu m'aider ?

    Merci
    Mailou
    Trollus vulgaris

  13. #42
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    Sais tu te servir de Kruskal ? Pourrais tu m'aider ?
    C'est compliqué à utiliser comme coordonnées pour faire des calculs. Mais les questions que vous posez ont des réponses qualitatives à partir des diagrammes de Penrose, qui utilisent des coordonnées conformes dérivées de celles de Kruskal. (Conforme : les géodésiques nulle sont très simples, Krusal: les coordonnées sont complètes.)

    Je pense que chercher à bien comprendre tout ce qu'on voit sur un diagramme de Penrose (par exemple) est plus profitable que faire les calculs détaillés. Ces diagrammes ont été inventés pour ça...

  14. #43
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    Admettons qu'il n'y ait pas de "franchissement" et qu'on se limite à la zone extérieure ]Rs;oo], Schw n'est pas valable ?
    Ce n'est pas suffisant. Les coordonnées de Sch. ne permettent pas de traiter le franchissement.

    Autrement dit le graph linké par Zef au message #9 c'est de la m... ?
    Je vous laisse la responsabilité de vos jugements.

  15. #44
    Zefram Cochrane

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Bonsoir
    Ce schéma étant le sien je n'ai pas de problème avec.
    Pour la circonférence, je propose que nous commencions si cela te conviens
    Cordialement
    Zefram
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  16. #45
    Mailou75

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    C'est compliqué à utiliser comme coordonnées pour faire des calculs.
    C'est sur que c'est plus facile d'en parler

    Mais les questions que vous posez ont des réponses qualitatives à partir des diagrammes de Penrose (...)
    Trop qualitatif justement, inexploitable, surtout quand on en est encore à Kruskal.

    Ce n'est pas suffisant. Les coordonnées de Sch. ne permettent pas de traiter le franchissement.
    Y'a PAS de franchissement si on reste au dessus de Rs

    Je vous laisse la responsabilité de vos jugements.
    Je sais ce qu'il veut dire et il correspond à bon nombre de descriptions sur "qui voit quoi" après s'il est faux va falloir que tu sois un peu plus convainquant !

    ........

    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message
    Ce schéma étant le sien je n'ai pas de problème avec.
    Rahh le lâche, tu le link et tu te débine !
    Moi aussi je peux lancer la patate chaude à Vincent (ce sont ses formules) mais pour moi elles restent justes jusqu'à preuve du contraire...

    ........
    NB : page 3, pas avancé d'un poil sur la question posée...
    Trollus vulgaris

  17. #46
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Parler d'un événement en r=Rs et parler de franchissement, c'est pareil. Si vous préférez: les coordonnées de Schw. sont insuffisantes pour traiter le cas d'une trajectoire dont un événement se trouve avoir r=Rs. Et cela répondait à (par exemple)

    Prenons un informateur qui part radialement de Rs à 0,93c (tjrs le même exemple illustré au message #9 ).
    mais aussi bien à (message #1)

    Maintenant supposons que la vitesse en Rs soit inférieure à c :
    Dernière modification par Amanuensis ; 03/09/2013 à 20h05.

  18. #47
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    NB : page 3, pas avancé d'un poil sur la question posée...
    Encore un cas où la réponse a été donnée plusieurs fois, mais comme elle n'est pas satisfaisante, elle est ignorée. D'où une fois de plus une discussion de mauvaise qualité.
    Dernière modification par Amanuensis ; 03/09/2013 à 20h11.

  19. #48
    Mailou75

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Parler d'un événement en r=Rs et parler de franchissement, c'est pareil.
    Rs+epsilon simplifierait le problème ?

    Encore un cas où la réponse a été donnée plusieurs fois, mais comme elle n'est pas satisfaisante, elle est ignorée.
    Je l'ai entendue (c'est celle que je connaissais avant de créer ce fil) mais pas les arguments
    Trollus vulgaris

  20. #49
    Zefram Cochrane

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Bonsoir Mail ou
    Je ne remet pas en cause tes schémas ni la justesse des formules de Vaincent, seulement notre compréhension de ces formules.
    Nous avons semblerait il un problème avec le paramètre r.
    Pour y remédier, je propose aux autres intervenants de nous exposer leur point de vue,en commençant par l'orbite circulaire puisque cela semble adapté.
    Cordialement
    Zefram
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  21. #50
    vaincent

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Salut,
    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    Salut,
    Admettons qu'il n'y ait pas de "franchissement" et qu'on se limite à la zone extérieure ]Rs;oo[, Schw n'est pas valable ?
    Autrement dit le graph linké par Zef au message #9 c'est de la m... ?
    La métrique de Schw est tout à fait valable dans cet intervalle et donc les graphiques aussi. Dans le fil "relativité et matière noire", j'avais d'ailleurs précisé qu'il vallait mieux ce limiter à cet intervalle au risque de tomber sur des bizarreries mathématiques. Mais en relisant cet article, ils opèrent un prolongement analytique(à l'aide d'une intégration complexe) de l'intervalle de temps coordonnée(le ) au-delà de Rs(r<Rs) sans problème. Ils montrent d'ailleurs que c'est tout à fait cohérent avec les coordonnées de Kruskal.
    En résumé l'article montre que la métrique de Schw en coordonnées de Schw n'est pas totalement dénuée de sens au-delà de Rs, malgré la singularité. C'est tout à fait cohérent avec ce qu'on avait touvé. La vitesse coordonnée(dr/dt) tendait vers 0 en Rs et l'intervalle de temps coordonnée vers l'infini. La vitesse "propre"(dr/dtau), elle, ne s'annulait pas en Rs, tout comme l'intervalle de temps propre et "permettait" un franchissement de l'horizon. C'est vrai que l'interprétation de dr/dtau est tout de même un peu hasardeuse à priori mais je trouve qu'elle n'est pas dénuée de sens(si l'objet est "laché de l'infini", elle vaut c en Rs), et je répète est cohérent avec l'article.

    Bref de toute façon ici on parle plutôt de l'interprétation que l'on doit faire de la coordonnée r. Personnellement, je considère y avoir répondu dans le message #23.

    p.s : Zef, tu as mal compris ce que t'as dit Amenuensis. On ne parle à aucun moment d'orbite circulaire, mais c'est simplement que la coordonnée r de Schw possède un semblant d'interprétation physique dans la circonférence (ou l'aire)d'une sphère de même rayon à t fixé.

  22. #51
    vaincent

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Pour compléter ce qu'j'ai dis au message #23 on peut lire ceci.

  23. #52
    Mailou75

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Salut,

    Citation Envoyé par vaincent Voir le message
    La métrique de Schw est tout à fait valable dans cet intervalle et donc les graphiques aussi.
    C'est bien ce qui me semble...

    en relisant cet article
    Comprend rien aux calculs mais je peux te dire que la formule pour t(r) ne marche pas (j'avais essayé cette source)
    La seule formule qui donne la courbe représentée dans tous les liens (mais souvent assortie d'une formule inexacte) se trouve ici : la 2.2.21 http://homepages.ulb.ac.be/~cschomb/black.pdf

    on peut lire ceci.
    Fort bien illustré
    'Tite question svp : dans la fig 9.2, ds c'est l'intervalle d'espace temps ? je ne l'avais jamais vu comme ça...
    La lumière va-t-elle à c en ds mais pas forcément en dr (sauf espace assimilé plat)?

    Merci
    Mailou
    Trollus vulgaris

  24. #53
    vaincent

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    La seule formule qui donne la courbe représentée dans tous les liens (mais souvent assortie d'une formule inexacte) se trouve ici : la 2.2.21 http://homepages.ulb.ac.be/~cschomb/black.pdf
    Cours très pédagogique.

    'Tite question svp : dans la fig 9.2, ds c'est l'intervalle d'espace temps ? je ne l'avais jamais vu comme ça...
    Oui, la graphique est simplement déduit de la métrique à t, theta et phi constants.

    La lumière va-t-elle à c en ds mais pas forcément en dr (sauf espace assimilé plat)?
    Je ne sais pas trop ce que ça veut dire, mais je dirais oui ! On a toujours , c-à-d , et donc que la lumière localement va toujours à c. Or on a vu que pour une mesure des distances radiales : , donc . En fait, selon la figure 9.2, cela signifie que si l'on "projette" la vitesse de la lumière(dans un espace-temps courbe, décrit par ds) sur un espace-temps plat (décrit par dr) on obtient une "variation" de c et qui apparaît clairement illusoire(c'est pour Zef ça!). Autrement dit, on ne "voit" c varier, que lorsque l'on regarde un espace-temps-courbe avec des "yeux plats" !!
    Dernière modification par vaincent ; 05/09/2013 à 03h20.

  25. #54
    Zefram Cochrane

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Bonjour,
    Jolie gamelle Vaincent.

    Pour une trajectoire radiale de genre lumière l'équation des champs dit la chose suivante :



    ->
    Ce qui se traduit que localement, la vitesse coordonnée de la lumière et égale à la vitesse instantannée. Ou pour l'observateur local stationnaire la vitesse de la lumière est localement égale à c.

    ->
    Dans le SC de l'observateur à l'oo ??? la vitesse de la lumière coordonnée est égale à la vitesse locale de la vitesse de la lumière multiplié par le facteur

    Pour reprendre ta formule que je corrige



    Soit un observateur local,O', à la surface d'une planète de masse M
    Soit un observateur local O" à la verticale de O' en
    O sera l'observateur à l'oo.

    Pour très proche de


    puisque

    Dans ma conception "restreinte" de la RG, pour l'observateur à l'oo, O la lumière parcourt la distance dl en un temps dt

    donc


    correspond à l'intervalle de temps coordonnée théorique que mettrait un photon pour aller de à dans un espace-temps plat.

    correspond l'allongement de la durée du temps de trajet du à la courbure de l'espace-temps ou la variation de la vitesse de la lumière (selon l'interprétation)

    est elle une longueur commune à tous les observateurs ou varie t'elle d'un observateur à l'autre?


    Cordialement,
    Zefram
    Dernière modification par obi76 ; 18/09/2013 à 13h42. Motif: latex - obi76
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  26. #55
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message

    est elle une longueur commune à tous les observateurs ou varie t'elle d'un observateur à l'autre?
    Quand on saura quel est le système de coordonnées "implicite" pour un observateur autre qu'à l'infini, on pourra peut-être répondre...

    (Remarquons aussi au passage que "espace-temps plat" est utilisé avec un beau manque de précision. Cela semble signifier "système de coordonnée de Schwarzschild" avec métrique de Minkowski, ou peut-être espace-temps de Minkowski tangent à l'infini en supposant un plongement particulier, comme on pourrait parler du plan tangent à l'infini de la surface z = e^{-(x^2+y^2)}
    Dernière modification par obi76 ; 18/09/2013 à 13h42. Motif: latex - obi76

  27. #56
    Zefram Cochrane

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Que veux tu savoir ?
    Par Quel moyen chaque observateur mesure une distance?
    Cordialement
    Zefram
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  28. #57
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Par exemple. Si c'est une "distance propre" (une intégration de ds le long d'un chemin de ds² partout spatial), c'est indépendant de tout "observateur". Si c'est autre chose, cela vient usuellement d'un système de coordonnées qui varie d'un "observateur" à un autre. Comme est-il défini?

  29. #58
    vaincent

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message
    est elle une longueur commune à tous les observateurs ou varie t'elle d'un observateur à l'autre?
    Oui c'est bien une distance propre, donc invariante selon l'observateur. On l'obtient en exprimant, dans un premier temps, à partir la métrique de Schwarzshlid(en coordonnée de Schw) l'élément de longueur 4D, ds, en fonction de r et dr, à t, theta et phi fixés : . Un développement limité à l'ordre 0 en Rs/r de la primitive donne . Enfin on intègre entre r1 et r2 ("rayons aréolaires" >> à Rs).
    Dernière modification par obi76 ; 18/09/2013 à 13h42. Motif: latex - obi76

  30. #59
    Amanuensis

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Serait bien que Zef arrive à ce genre de conclusion par lui-même...

  31. #60
    vaincent

    Re : Rs = Horizon des evènements pour qui ?

    Même si j'ai donné toute les étapes de calculs, ce n'est quand même pas si évident que ça d'arriver au résultat. Surtout pour trouver le bon changement de variable pour obtenir la primitive.

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