Rs = Horizon des evènements pour qui ?

[Amanuensis]

Je ne parlais pas du calcul, mais de la signification des variables, en particulier trier entre ce qui est "propre" et ce qui est "coordonnée".

Et c'est (déjà dit) un peu le fond de la question posée, ce "pour qui", et ces "observateurs"...
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[vaincent]

oui , c'est vrai. Mais à la fois si personne ne nous le dis, je ne vois pas comment le deviner ? (Tu l'avais deviner ? Je ne crois pas.)

[Amanuensis]

Pour tout dire je doute fort que ce soit une longueur propre Mais pour le moment je me situais sur le plan pédagogique.

[Je n'apprécie pas trop la méthode consistant à faire faire des calculs par les autres sur le forum, surtout que la plupart de ces calculs se trouvent dans des textes classiques, comme par exemple celui de Sean Carroll, dont d'ailleurs on peut voir des "extraits" dans au moins un lien cité...]

[vaincent]

Oui oui j'avais compris. Je ne vois pas ce qui fait que tu doutes ?

[Amanuensis]

Je doute parce qu'un segment de géodésique de type lumière n'a pas de longueur propre. Maintenant je mets aussi en doute ma compréhension comme quoi le calcul vise à déterminer une telle longueur.

[vaincent]

Effectivement. Puiqu'on est à t fixé(dt=0) il n'y a aucune chance que l'élément de longueur ds s'annule. On calcule ici la distance physique (taille d'un objet par exemple) dans notre espace courbe correspondant à longueur du segment [r1,r2] dans un espace euclidien. Et on voit apparaïtre un terme supplémentaire montrant l'effet de la courbure de l'espace.

[Amanuensis]

Quel espace euclidien?

[Amanuensis]

Par ailleurs, Zef parle dans son avant-dernier message de "trajectoire radiale de genre lumière".

Il y a bien un calcul clair, qui ne porte pas sur une trajectoire de genre nul, calcul consistant à trouver la longueur propre de la radiale spatiale d'extrémités de coordonnées de Schw. (t=0, r=r1) et (t=0, r=r2).

En tant que longueur propre c'est indépendant du système de coordonnée, certes. Mais la définition des extrémités est elle dépendante d'un système de coordonnées bien particulier (que je soupçonne être "l'espace euclidien", alors que ce n'est que l'espace dans les coordonnées de Schw.).

[vaincent]

Quel espace euclidien?

Les coordonnées spatiales de Schw. sont identifiables aux coordonnées sphériques de R^3 lorsque M=0 ou lorsque r tend vers l'infini. C'est illustré sur la figure 9.2 de ce lien.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Puis je proposer le système suivant :

Dans un univers de Schwarzschild avec une planète centrale de masse M, trois observateur O O' et O" constuisent un grand pylone cylindrique à des milliards de millards d'années lumière de la planète.
Le pylone est truffé de stroboscopes le long de la génératrice qui vont émettre des pulsations à une fréquence telle que les stroboscope sont espacé sur la génératrice d'une distance la longueur de la génératrice est au niveau du lieu de construction ( à l'oo ) les récepteurs sont situés aux deux extrémités du pylonne et sont capale d'identifier à la réception le strobocope qui a émis l'éclat (un système de polarisation me semble t'il ferait l'affaire) et de compter les pulsations.

O' et O" se séparent de O et posent le pylonne verticalement à la surface de la planète O' se met à la surface et O" à l'autre extrémité.

Ce système me semble adapté pour mettre en perspective les différents aspects de la trajectoire de genre lumière et de la métrique de Schwarzschild, je pense au décallage d'Einstein et l'effet Shapiro pour une trajectoire radiale.

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Les coordonnées spatiales de Schw. sont identifiables aux coordonnées sphériques de R^3.

Certes. C'est l'espace ou le référentiel de Schwarzschild.

Mais l'adjectif "euclidien" réfère à plus que cela, à une métrique particulière. Or justement, cette métrique ne s'applique pas à l'espace de Schwarzschild (1), au sens où elle n'a pas de sens physique.

(1) Alors qu'elle s'applique à un référentiel inertiel de l'espace-temps de Minkowski.

[vaincent]

Dans un univers de Schwarzschild avec une planète centrale de masse M, trois observateur O O' et O" constuisent un grand pylone cylindrique à des milliards de millards d'années lumière de la planète.
Le pylone est truffé de stroboscopes le long de la génératrice qui vont émettre des pulsations à une fréquence telle que les stroboscope sont espacé sur la génératrice d'une distance la longueur de la génératrice est au niveau du lieu de construction ( à l'oo ) les récepteurs sont situés aux deux extrémités du pylonne et sont capale d'identifier à la réception le strobocope qui a émis l'éclat (un système de polarisation me semble t'il ferait l'affaire) et de compter les pulsations.

O' et O" se séparent de O et posent le pylonne verticalement à la surface de la planète O' se met à la surface et O" à l'autre extrémité.

Je pense qu'un schéma serait le bienvenue pour visualiser un peu les choses!(peut-être pas d'ailleurs à "des milliards de milliards d'al" sinon on sortirait allégrement de l'univers observable!)

Ce système me semble adapté pour mettre en perspective les différents aspects de la trajectoire de genre lumière et de la métrique de Schwarzschild, je pense au décallage d'Einstein et l'effet Shapiro pour une trajectoire radiale.

Pour que l'effet Einstein et Shapiro soient observables il faudrait que les rayons lumineux rasent au moins une étoile. De simple planète ne suffiront pas je pense. Mais je ne vois pas le lien avec les trajectoires du genre lumière en métrique de Schw. Pour obtenir les équations(en coordonnées de Schw. et dans un plan (t,r)) des géodésiques radiales entrantes et sortantes, il faut intégrer l'équation :



Leurs intersections représentent les cônes de lumière que l'on voit se rétrécir à mesure que r, pour r >Rs, se rapproche de Rs, puis tourner à 90° pour r < Rs. Les équations de ces géodésiques sont d'ailleurs à l'origine des coordonnées d'Eddington-Finkelstein.

[Mailou75]

Salut à tous,

En fait, selon la figure 9.2, cela signifie que si l'on "projette" la vitesse de la lumière(dans un espace-temps courbe, décrit par ds) sur un espace-temps plat (décrit par dr) on obtient une "variation" de c et qui apparaît clairement illusoire(c'est pour Zef ça!). Autrement dit, on ne "voit" c varier, que lorsque l'on regarde un espace-temps-courbe avec des "yeux plats" !!

Okkéé !! C'est ce que je croyais intuitivement en étant persuadé que c'était faux : la lumière a une vitesse constante sur l'espace courbe et sa projection (pour un obs) ne l'est plus.
Sait-on calculer facilement le rapport entre et ?

On a toujours

Si c'est vrai comment peut on avoir un ds nul ? le est le temps pour qui ?

Et r' ?

Je n'apprécie pas trop la méthode consistant à faire faire des calculs par les autres sur le forum

Oui, on a le droit de poser des questions et toi celui de ne pas y répondre

Merci
Mailou

[vaincent]

Sait-on calculer facilement le rapport entre et ?

Oui, enfin plutôt entre ds et dr, grâce à la métrique de Schw. à t, theta et phi fixés(i.e. dt=dtheta=dphi=0). Sinon pour des distances arbitrairement grandes, le lien est donné par la formule du message #23(qui nécessite une intégration(désolé!) comme présenté au message #58)

Si c'est vrai comment peut on avoir un ds nul ? le est le temps pour qui ?

En fait cette formule ne marche pas pour le photon lui même. Mais stipule simplement la constance de la vitesse de la lumière(localement en RG, et globalement en RR) pour tous les observateurs(qui est un postulat en relativité). La définition de la vitesse de la lumière, ou plus généralement d'une onde électromagnétique, provient des équations de Maxwell dans le vide.

[Mailou75]

Sinon pour des distances arbitrairement grandes, le lien est donné par la formule du message #23(qui nécessite une intégration(désolé!) comme présenté au message #58)

C'est à dire

la distance entre 2 points très proches de coordonnées et est donnée par :

+

Un développement limité à l'ordre 0 en Rs/r de la primitive donne . Enfin on intègre entre r1 et r2 ("rayons aréolaires" >> à Rs).

?

Ben c'est surement pas moi qui vais le faire
C'est dommage pour le coup ça à l'air bêtement géométrique et même indépendant de la valeur de M (seulement en multiples de Rs).
Je ne pourrais donc pas trouver la formule "exacte", par contre si Zef s'y colle je pourrais peut être faire des vérifications

A suivre...

[Amanuensis]

Oui, on a le droit de poser des questions et toi celui de ne pas y répondre

Le point est ailleurs, la différence entre donner des poissons et donner des filets. C'est à l'aune du principe sur ce forum de ne pas résoudre les exercice à la place des demandeurs.

[Amanuensis]

Okkéé !! C'est ce que je croyais intuitivement en étant persuadé que c'était faux : la lumière a une vitesse constante sur l'espace courbe et sa projection (pour un obs) ne l'est plus.

Bel exemple. C'est une trivialité : si la métrique dans un SC est de forme ds² = a²c² dt² - b² dx² (les deux autres coordonnées étant fixées), la vitesse coordonnée de la lumière dans ce SC dans la direction des x est a/b fois c, et donc n'est pas constante si a² et b² dépendent de l'événement (comme dans le cas Schwarzschild).

Par ailleurs, pour moi l'image de la "projection pour un observateur" est fausse.

Comme déjà indiqué, la vitesse locale de la lumière est c tout simplement parce que ce qu'on appelle le SC local est tel que dt'=adt et dx' = bdx (pour utiliser une écriture non rigoureuse commune), à un facteur multiplicatif commun près.

Y voir une projection est assez acrobatique.

Le point à comprendre est le pourquoi de l'apparente tautologie entre la définition d'un SC local et la constance de la vitesse de lumière dans un SC local. Et ça ce ne sont pas des calculs prenant cette définition comme base qui permettent cette compréhension.

[Mailou75]

Salut,

Le point est ailleurs, la différence entre donner des poissons et donner des filets.

L'objectif est ici de répondre à la question posée en titre (poisson), une formule exploitable (filet) me serait plus utile que quelques équations au sens obscur (ficelle).
Même si tu me donnais des filets je ne suis pas sur d'attraper du poisson, on est à la 6eme page de ficelle et tu me regarde crever de faim... sadique !

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Soit trois observateurs
dans une station
dans un vaisseau
et dans un chasseur

Revenons à l'Univers de Minkowsky; poour un MRU le long de l'axe des x je peux écrire :



Si se déplace par rapport à O à la vitesse
en définissant




Alors l'équation des champs devient :



avec la formule


en posant pour le chasseur,




De là on obtient que :





On retrouve bien l'expression de la loi de composition des vitesses.

Si le chasseur est stationnaire dans le hangar du vaisseau et

L'équation des champs donne pour ce cas :



Pour une trajectoire de genre lumière, dans un univers de Minkowski,



implique




Maintenant, dans un Unvers de Schwarzschild , un univers stationnaire, infini avec un centre correspondant à celui d'une sphère de masse M.

Pour une trajectoire radiale,
si le vaisseau est posé à la surface de la planète et le chasseur dans le hangar du vaisseau,

je peux écrire,



Le fait que je puisse écrire que
m'indique que localement, l'Univers de Schwarzsxchild se comporte comme celui de Minkowsky.

En ce qui concerne Shapiro, ce qu'on appelle l'effet Shapiro est la combinaison de deux effets: la courbure de la trajectoire et son allongement du à la courbure de l'espace-temps et il n'est pas nécessaire que la trajectoire d'un rayon lumineux courbe la sphère de masse M pour que l'effet Shapiro se manifeste car on peut le relier directement à une variation de la vitesse de la lumière (coordonnées) pour une trajectoire radiale.

Dans son article de 1911 sur l'influence de la gravitation sur la propagation des ondes lumineuses , où il établissait en préliminaire le principe d'équivalence, Einstein avait procédé à une approximation classique de la variarion de la vitesse de la lumière ( il n'avait pas fait la nuance classique et instantannée ):

is the velocity of light at place whith the potential gravitation
is the velocity of light at the origin of co-ordinate

Je définis le rayon soit pendant un temps dt la lumière parcoure localement du point de vue de l'observateur à l'oo



Je pose
la longueur réelle parcourue par la lumière dans le SC de l'bservateur à l'oo [/TEX] dr = c_odt [/TEX] est la longueur parcourue localement par la lumière pendant un intervalle de temps dt à l'oo.


La primitive de

On retrouve une formule proche de l'approximation de Vaincent.
Cette formule dit que la lumière parcourt en un temps moins de distance à une distance r qu'à l'oo. C'est l'effet Shapiro avant l'heure.

Le problème dans ce calcul est que R'o varie avec c.

Pour le cacul demandé par Mailou qui sait faire de très beaux schémas, la réponse a été donnée par Jacquolintégrateur

http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post3759432



->

->





On prend



Maintenant si on revient à mon dispositif pour O” perché sur sa plateforme. S'il regarde un stroboscope. Plus le stroboscope est proche de O' et plus O” constatera que l'intervalle de temps entre deux pulsations émises par ce stroboscope est long; c'est le décallage d'Einstein du à la dilatation du temps. Si O” place un miroir sur la génératrice du pylone, s'il envoit un éclat lumineux à t” = 0, il aura le retour de l'écalt au bout d'un temps K étant le décallage de temps du à l'effet Shapiro.

Dilatation du temps : décallage d'Eisntein
Contraction des longueurs : effet Shapiro.

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut et merci,

On prend

Enfin une formule exploitable !! Ton serait la longueur effective parcourue "sur" l'espace déformé 2D+t de la figure 9.2 (lien de Vincent) ?
Et l'intervalle de temps mesuré par l'observateur à l'infini ? Ainsi quand la lumière tombe dans le puits elle semble ralentir en projection sur l'espace euclidien...
Je t'avoue que pour l'heure c'est ça qui m'intéresse, la résolution du problème de Vincent

Mais la question de fond reste la même : Pourquoi tous les observateurs voient ils le même horizon... indépendamment de leur position, de leur vitesse ou même de leur masse ?
Il y a quelque chose de pas très relativite dans tout ça...

A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonsoir Mailou,

correspond à la longueur effective parcourue par la lumière à savoir la somme des distances propre (noté ds pour la figure 9,2 ) entre
et

et est la longueur apparente dans le SC de l'observateur à l'oo.

Je te propose de faire un petit schéma en t'inspirant du 9,3 du lien de Vaincent et de mon dessin (tout pourave c'est pour cela que je te demande d'en faire 1 )

sur mon dessin j'ai dessiné quatre tangentes (en orange ) à la courbe dont le point de départ est plus ou moins proche du TN; le segment rouge au point de départ de chaque tangente correspond à la distance propre ds( longueur de la règle) . Au centre il y a un axe noir vertical, chaque tangente about it à un point sur l'axe noir, la longueur de chaque tangeante divisée par la distance par la longueur de la règle correspond à la distance apparente pour l'observateur local de ce dernier au centre du TN.

Parallèle à l'axe central, tu peux dessiner un cylindre dont le rayon est légèrement inférieur au rayon de la partie basse tronquée (ce que je n'ai pas fais puisque mes segments gris partent d'un point situé sur la partie basse tronquée) chaque tangente va intersecter un point sur le cylindre. La longueur du segement de la tangente partant de ce point à l'êtremité situé sur l'axe divisée par la longueur de la règle correspondra au rayon du TN du point de vue de l'observateur local.

Pour plus de calrté, je te propose de décaller de prendre 4 observateurs locaux plus ou moins loins du TN et de les placer dans le schéma
l'observateur 1 le plus éloigné à 45°
l'observateur 4 le plus proche à 225°
l'observateur 2 à 135°
l'observateur 3 à 315°

et de vois ce que ça donne.

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Mais la question de fond reste la même : Pourquoi tous les observateurs voient ils le même horizon... indépendamment de leur position, de leur vitesse

Ce n'est pas le cas. Un observateur en chute libre radiale ne verra pas d'horizon.

Un observateur ne se définit pas par une position et une vitesse, mais par une trajectoire.

[Mailou75]

Re,

correspond à la longueur effective parcourue par la lumière à savoir la somme des distances propre (noté ds pour la figure 9,2 )

J'ai testé ta formule, désolé mais ça ne marche pas
Promis je te ferais un graph quand tu auras trouvé la formule
Pour la suite avec les tangentes, je comprends ce que tu veux dire je crois, l'observateur mesure les distances avec son mètre local, mais je ne sais pas si c'est aussi simple...
Peut être dans le fond... je ne suis pas contre les solutions simples

Ce n'est pas le cas. Un observateur en chute libre radiale ne verra pas d'horizon.

Aaaah !
Comment tu l'expliques, avec les mains si possible? (j'ai bien ma petite idée mais j'aimerais avoir ta version...)

Merci
Mailou

[vaincent]

Salut,

Re,

J'ai testé ta formule, désolé mais ça ne marche pas

Tu compares à quoi pour dire que ça marche ou pas ?

[vaincent]

Salut,

On prend

Tu n'as pas la droit de poser ça. Ca marche dans un espace plat(ou alors loin de la source), mais pas ici.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Je suis tout à fait d'accord avec toi
pour moi localement,


La courbe est définie pour l'abscisse par r (vecteur unitaire dr )
et pour l'ordonnée vecteur unitaire dr toujours

Tu obtiens une courbe pour r € ] Rs ; +oo [ en abscisse qui varie sur l'intervalle ] +oo ; dr [ ( mathématiquement on écrit ] dr ; +oo [ je sais ) pour obtenir l'effet TN tu peux tracer

le correspond à la longuer de la courbe.

Tu peux faire tout sur un plan pour faciliter la comparaison.
Normalement la courbure est plus marquée à r = 1.5 Rs.

Cordialement,
Zefram
P.S tu notera que la perpendiculaire dr' semble converger peut être en un point (r , dr' )

[Mailou75]

Tu compares à quoi pour dire que ça marche ou pas ?

Ben simplement une longueur "d'arc" (ds) sur la courbe rac(1-Rs/r) et sa projection (dr) sur une horizontale, la figure 9.2 quoi... et ça marche pas !

[vaincent]

Ben simplement une longueur "d'arc" (ds) sur la courbe rac(1-Rs/r) et sa projection (dr) sur une horizontale, la figure 9.2 quoi... et ça marche pas !

Désolé mais je ne comprends pas. Tu compares une relation différentielle (entre "petits" éléments de longueur) avec une relation intégrale (qui elle représente la somme de ces "petits" éléments).

Pour effectivement savoir si ce que tu fais est correcte(ce dont je doute), je vais donner le résultat exact de l'intégration (on a assez tourné autour du pot!)
En partant de la métrique de Schw. usuelle à t, thêta et phi fixés, on obtient une relation entre l'élément de longueur physique(ds) et l'élément de longueur de la coordonnées r de Schw.(dr), en fonction de r :



Pour obtenir la longueur physique, notée , entre 2 points de l'espace repérés par les coordonnées(de Schw.) r₁ et r₂ (r₂ > r₁ > Rs), on intègre ds entre r₁ et r₂ :





Lorsque r₁ et r₂ sont grands devant Rs, on montre que peut être approchée par :

[Mailou75]

Salut,

Pour effectivement savoir si ce que tu fais est correct (ce dont je doute)

Tu fais bien de douter... j'me rends compte que l'échelle verticale du graph ne peux pas être quelconque (c'était le cas pour mes mesures, fausses donc).
Je te remercie pour la formule je vais essayer de bosser avec pour voir si j'arrive à quelque chose de cohérent.

A bientôt
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Je suis d'accord avec ta démarche, Vaincent.
Il faut tracer la courbe correspondant à la primitive de


On obtiendra ainsi la courbe suivante :



Ensuite il je voudrais que Mailou trace la tangente en un point de coordonnée (r , r' ) avec comme vecteur unitaire

la longueur de la règle de l'observateur local.

J'ai eu un doute sur la fonction


Je ne retombaispas sur mes pattes au départ quand je dérivais r'; je me propose de détailler pour une ultime vérification :





1er résultat.


2nd résultat

donc :

c'est la dérivée.


Comme le membre à droite de l'égalité doit être égal à 1

on en déduit que



ce qui est le cas donc ça roule.

La fonction recherchée est bien :

Merci Vaincent
Cordialement,
Zefram