Rs = Horizon des evènements pour qui ?

[Mailou75]

(...) à moins de faire confiance à la définition de la longueur d'un arc!

Je comprends bien que si on trace v(t) une horizontale constante alors d=v(t).t l'aire du rectangle (intégrale de 0 à t) est une distance.
Je veux bien admettre aveuglément que si la vitesse varie, l'intégrale mesure toujours la distance d.

Dans notre cas, comme tu le disais, on multiplie des mètres par un facteur (1/z+1), ce qui nous donne toujours des mètres.
Mais je persiste à dire qu'il n'est pas question de mesurer un segment d'arc comme sur la fig 9.2 mais bien de mesurer une aire (l'intégrale).
Ça ne me dérange pas qu'une surface soit une unité de distance (voir dernier dessin), mais il ne faut pas se tromper sur ce qu'on décrit

Alors la suite ça se passe comment? à quoi ça nous sert tout ce matos pour répondre à ma question ?

........

Ce n'est pas le cas. Un observateur en chute libre radiale ne verra pas d'horizon.

Tu ne nous en diras pas plus ?

Merci
Mailou
-----

[invite60be3959]

Salut,

Dans notre cas, comme tu le disais, on multiplie des mètres par un facteur (1/z+1), ce qui nous donne toujours des mètres.
Mais je persiste à dire qu'il n'est pas question de mesurer un segment d'arc comme sur la fig 9.2 mais bien de mesurer une aire (l'intégrale).
Ça ne me dérange pas qu'une surface soit une unité de distance (voir dernier dessin), mais il ne faut pas se tromper sur ce qu'on décrit

Tout ce que l'on peut trouver sur le net concernant la relation entre la distance propre(L) et la distance coordonnée(r2-r1)(par exemple ici, p295) montre que c'est bien la longueur de l'arc que l'on calcule ici. Ton problème vient simplement d'une mauvaise utilisation de la formule comme je te l'ai déjà dit(et le fait que l2-l1, après avoir posé r1=Rs et r2=r, soit égale à la fomule ci-dessous n'est q'une coïncidence mathématique, qui n'est pas à prendre au pieds de la lettre donc). J'ai tracé ci-dessous le graph de :



en posant r1= 4/3 et r2 = r.

On voit(puisqu'on ne peut le faire que visuellement) par exemple, que la longueur L correspondant à r1=4/3 er r2 = 2(courbe bleue en ordonnée)(numériquement L=1.08), est sensiblement égale à la longueur de l'arc sur la courbe rouge pris entre les mêmes valeurs(attention à la différence d'échelle entre les abscisses et les ordonnées). Donc je ne vois vraiment pas ce qui cloche!
Pour moi le sujet est clos concernant cette partie du sujet.

Alors la suite ça se passe comment? à quoi ça nous sert tout ce matos pour répondre à ma question ?

Initialement, j'avais introduit l'expression de L, du moins une approximation(#23), uniquement pour montrer que la coordonnée de Schw., r, à partir de laquelle on trouve Rs, n'est pas la distance radiale habituellement utilisée en espace plat. C'est tout! Après c'es toi et Zefram qui avez "trippé" sur cette formule, pas moi. Et comme je l'ai dit depuis longtemps, la réponse à la question à déjà été donné. La valeurs r=Rs, est la valeurs de la coordonnée r de Schw. qui sépare l'espace en 2 régions distinctes : une dont les photons peuvent s'échapper, l'autre non, et ce quelque soit le système de coordonnée utilisé(dans les autres SC, on retrouve une valeurs qui sépare également l'espace en 2 régions. Après être repassé en coordonnée de Schw. il s'agit de r=Rs).

Après si tu veux savoir que voit un observateur qui tombe radialement sur un TN, là c'est une autre question.

[Mailou75]

Salut,

Merci d'avoir pris le temps de faire ce graph.
Je vérifierai tout ça ce soir mais j'ai pas l'impression que ça marche car d'une part ça semble être un extrait des courbes que j'ai tracé avec une échelle doublée sur l'axe des x donc ça ne change rien sinon qu'on ne peut plus mesurer d'aire, et d'autre part comme tu as deux échelles différentes en x et en y je ne comprend même pas le sens que peut avoir une "mesure d'arc" ??
Bon je regarde tout ça ce soir et je reviens
a suivre...

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Bonjour,
Pour calculer le décallage d'Eisntein engendré par le Soleil j'expédie deux satellites. L'un se met sur l'orbite héliocentrique de Venus, l'autre sur l'orbite héliocentrique de la Terre. On va appeller ces satellites Vénus et Terre. On ne se place que dans le cas radial.

La formule donné par l'équation des champs dans la métrique de Schwarzschild donne pour le décallage en fréquence :



Rs : rayon de Schwarzschild pour l'observateur à l'oo
Rv, Rt : rayon de l'orbite de Vénus et Terre

Le problème est qu'on ignore leur valeur, puisque Venus et Terre ne sont pas à l'oo; Rs pour les même raison.

D'où la question : Est ce que deux obsevateur stationnaires respectivement situé localement en R' (Terre) et R" (Venus) ont la même mesure de Rs que l'observateur à l'oo ce qui revient à dire
Rs = Rs' = Rs".

On a établi la longueur l ( pour l'observateur à l'oo) d'une corde tendue entre Terre et Venus.

Peut être la longueur d'une règle de mesure locale et

Après mon interprétation est qu'il faille tracer la tangente à la courbe et projeter sur la tangente les points de coordonnée.

(0 , 0 ) ; ( Rs, 0 ) (R, l )

Pour K = 1 La valeur de l obtenue n'a rien de particulier, hormis le coté pratique de faire passer la Tangente par les points : (0 , 0 ) et (R, l )

J'ai deux projections qui me paraissent adaptés à répondre à la question, je voudrais bien savoir si je peux employer la projection 1 pour laquelle Rs = Rs' = Rs"

Je pressent que le cas stationnaire nous sera utile pour un cas plus général : ce que voit un observateur en chute libre depuis une altitude Ro (pour l'observateur à l'oo) ; R'o (pour l'observateur local)

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Re vous,

le fait que l2-l1 (...) soit égale à la formule ci-dessous n'est qu'une coïncidence mathématique

Impossib !!! J'ai vérifié les courbes est bien ce qu'il me semblait, ce que tu traces est la portion au dessus de r1 ramenée en y=0 mais c'est la même courbe.
Quand à la mesure de l'arc avec des unités différentes sur les deux axes c'est
Mais peu importe... le débat est clos et la définition de cette intégrale comme la "longueur du chemin parcouru" ou "longueur d'une corde tendue" ça me va !
...et on verra plus tard si on peut représenter physiquement cette longueur

Après si tu veux savoir que voit un observateur qui tombe radialement sur un TN, là c'est une autre question.

Ouep si ça te dis de continuer
#### inutile ####

.....

Ci joint un petit graph pour Zef
La pente des tangente est bien donnée par la valeur locale du 1/z+1 (dérivée) et ton fameux point à ~3,3 à l'air tout à fait particulier
Maintenant si tu arrivais à m'expliquer ce que tu veux leur faire dire ça serait cool, en deux mots et SANS CALCUL !

A+
Mailou

[invite60be3959]

### réponse à propos modéré

ci joint un petit graph pour Zef
La pente des tangente est bien donnée par la valeur locale du 1/z+1 (dérivée) et ton fameux point à ~3,3 à l'air tout à fait particulier
Maintenant si tu arrivais à m'expliquer ce que tu veux leur faire dire ça serait cool, en deux mots et SANS CALCUL !

Par contre je vous déconseille de tracer des tangentes sur la courbe de L, elle ne représente pas la géométrie de Schw. Cette géométrie est plutôt représentée par les "diagrammes plongées dans R^3 ou R^2" comme la figure 9.3 du fameux lien. La courbe à tracer dans le plan est simplement décrite par la fonction : pour r>Rs.

[Mailou75]

### réponse à propos modéré

La courbe à tracer dans le plan est simplement décrite par la fonction : pour r>Rs.

Aaaahh, ben la voilà !!
Ci joint un graph récapitulatif pour Rs=1m j'ai mis un (1) à chaque fois qu'on mesure 1m
(en bleu clair l'évolution de la courbe, homothétique, pour Rs=2m et 3m)

-sur la courbe verte on mesure la valeur de y valant (1)
-sur la rouge on mesure l'aire de l'intégrale valant (1)
-sur la bleue on mesure la longueur de l'arc valant (1)
...et en prime la tangente particulière de Zef (en violet) se fait à 2Rs et à 45°!

Ça commence à beaucoup me plaire cette histoire !!

Plusieurs questions:
-Cette longueur de corde est elle celle utilisée pour calculer l'effet Shapiro (retard de l'information) ?
parce que le calcul donne un résultat qui vaut exactement le moitié de ce qu'on devrait trouver...
-Est ce que c'est ça le paraboloïde de Flam ?

Merci
Mailou

[Mailou75]

Remarque : on se rend compte que la valeur sur x de la projection d'un mètre de corde a la valeur moyenne de la courbe orange mesurée sur y.
En gros l'intégrale de z+1 sur 1m projetés en x vaut toujours (z+1)²... ça va faire un peu mal au crane ce truc là au début, mais super jouet !! merci Vaincent

[invite60be3959]

Plusieurs questions:
-Cette longueur de corde est elle celle utilisée pour calculer l'effet Shapiro (retard de l'information) ?
parce que le calcul donne un résultat qui vaut exactement le moitié de ce qu'on devrait trouver...
-Est ce que c'est ça le paraboloïde de Flam ?

Oui effectivement c'est lié à l'effet Shapiro, mais je n'en sais pas plus. Et z(r) représente bien la 2-surface que l'on appelle "paraboloïde de Flamm". D'ailleurs, plus précisément le paraboloïde est décrit par l'expression . Mais z(r) ,n'a rien à voir avec la longueur d'une corde. Cette quantité ne possède pas de réalité physique. Il y a plein de choses sur ce sujet sur le net.

[Mailou75]

Salut,

Oui effectivement c'est lié à l'effet Shapiro, mais je n'en sais pas plus.

Cool !
et domage...

Et z(r) représente bien la 2-surface que l'on appelle "paraboloïde de Flamm".

Cooool !
Est-ce que par hasard tu connaitrais la formule de la "cuvette" allant avec ce Flamm dans le cas d'une planète (densité supposée homogène) et pas d'un trou noir ? stp ?
Pour calculer la hauteur d'un puit creusé dans une étoile à neutron, on sait jamais ça peut servir

Mais z(r) ,n'a rien à voir avec la longueur d'une corde. Cette quantité ne possède pas de réalité physique.

Non puisque c'est la fonction de la courbe verte qui la donne, isn't it ?

Sinon, pour l'observateur en chute libre qui ne voit pas d'horizon t'aurais des infos toi ?

.........

@Zef
A propos de Shapiro t'en étais où toi, t'arrivais au bon résultat avec ta méthode ou toujours à la moitié ?
Si je fais le calcul avec ces formules je trouve aussi pile la moitié c'est quoi l'ingrédient qui manque ? t'as identifié l'erreur ?

Et la tangente du dernier graph elle te parle, en tracer d'autres aurait t-il du sens ? je t'avoue que là je suis un peu dans le flou, pas encore digéré les nouvelles données...

Merci
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonjour,


la distance percourue par la lumière entre R1 et R2, C'est ce qui permet de retrouver l'effet Shapiro pour une trajectoire radiale.

la longueur d'une corde tendue entre R1 et R2.

Quest ce que donnerait selon vous ?

avec dr = cdt ???

J'ai plusieurs questions :

Que représentent la tangente en un point de la courbe verte?
Que représente la longueur d'un segment de courbe de la paraboloïde de Flamm?

Cordialement
Zefram

[Mailou75]

Merci,

Bonjour,


la distance percourue par la lumière entre R1 et R2, C'est ce qui permet de retrouver l'effet Shapiro pour une trajectoire radiale.

la longueur d'une corde tendue entre R1 et R2.

C'est là où je capte pas pourquoi on a deux formules et pourquoi l'une vaut la moité de l'autre... va falloir que je démèle tout ça dans ma tête

Que représente la tangente en un point de la courbe verte?

A la verte je dirais pas grand chose mais à la bleue ça sens le croustillant

Que représente la longueur d'un segment de courbe de la paraboloïde de Flamm?

Ben une corde tendue entre R1 et R2 sinon ce que tu dis au dessus est faux

[Zefram Cochrane]

Salut,
Je reviens sur la corde suspendue dans un champs de gravitation. Je fais un rappel pour éviter de devoir se plonger dans les onze pages précédentes :

Le principe est de calculer l'intégrale suivante :

on obtient une primitive de la forme :


ensuite on effectue la différence entre r1 la coordonnée ( pour l'observateur à l'oo) de l'extrémité basse de la corde, et r2 la coordonnée de l'extrémité haute de la corde

on obtient donc la longueur physique de la corde :

Et en posant r1=Rs et r2=r on aboutit à l'expresion citée ci dessous.

Tu t'égards là Zefram ( à cause de K. La primitive fait effectivement intervenir une constante qu'il faut sortir du logarithme. Lors du calcul de l'intégrale elle disparait. Ensuite on pose r1=Rs et r2=r, d'où l'expression :

Le paramètre K on prend pour fixer l'extrémité basse de la corde à r1 = 0.


soit

pour obtenir la projection de cette distance coordonnée de l'observateur à l'oo pour un observateur stationnaire en r2 il faut faire :


Le rapport tend vers 2 quand r2 tend vers Rs.

Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

En appliquant cette formule pour la durée de chute libre depuis r2 jusqu'à r1 =Rs,



on obtient la vitesse moyenne de chute libre pour le chuteur et cette vitesse moyenne tend vers c lorsque r2 est proche de Rs.

Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

Salut,
J'ai comparé la longueur propre d'une corde tendue entre un stationnaire dans un champ de gravitation et l'horizon du TN (abscisse) avec sa longueur apparente (ordonnée)

[Mailou75]

Salut,

Salut,
J'ai comparé la longueur propre d'une corde tendue entre un stationnaire dans un champ de gravitation et l'horizon du TN (abscisse) avec sa longueur apparente (ordonnée)

Si ceci est juste alors les trous noirs n'ont plus de secret pour toi... pourtant j'ai l'impression que ce que tu apelles "longueur apparente" va dépendre de l'observateur (differente pour chacun) et que ce que tu apelles "longueur propre" n'a rien de regulier aux abords d'un trou noir. Je ne sais pas si tu as raison ou tort, mais ce dont je suis sur c'est que c'est la méthode qui m'interesse plus que le resultat or cette methode passe necessairement par des "graphs de demonstration".

Pour moi la vraie question est surtout : comment un observateur va-t-il projeter son cone passé pour "voir" quelque chose ? Est ce systematiquement sur un plan virtuel euclidien perpendiculaire à son quadrivecteur instantané ?? (=un observateur agira toujours comme en espace temps plat et n'aura jamais conscience de la courbure de celui ci)

Et concernant ce fil, qui ne date pas d'hier, la question que soulevait le dernier schéma (message 157) est : si on prend le premier tronçon au delà de Rs (surface entourée de pointillés comme les autres mais collée à Rs), alors est ce une propriété mathématique "normale" que cette surface puisse avoir une surface finie (egale à 1) tout en ayant un perimètre infini (la pointe en haut est renvoyée à l'itersection entre une verticale et une hyperbole cad à l'infini) ? C'est ce que semble dire le graph mais ca me pique les neurones...

Merci

Mailou

[Zefram Cochrane]

Pièce jointe 356309
Salut,
J'ai comparé la longueur propre d'une corde tendue entre un stationnaire dans un champ de gravitation et l'horizon du TN (abscisse) avec sa longueur apparente (ordonnée)

Salut j'ai juste repris les formules du 163 :http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5054748

Avec R1 = Rs. et c'est la longueur propre de la corde tendue (abscisse) entre le Stationnaire et l'horizon du TN en f° de la longueur apparente (ordonnée) de celle-ci. Cette longueur apparente dépend évidemment de la position du Stationnaire :
le rapport entre longueur propre et longueur apparente tend vers 2 quand Ro (coordonnée du Stationnaire) tend vers Rs.

[mach3]

Moi je n'ai toujours pas compris ce que c'était qu'une "longueur apparente". C'est calculé? comment? c'est mesuré? comment?

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Moi je n'ai toujours pas compris ce que c'était qu'une "longueur apparente". C'est calculé? comment? c'est mesuré? comment?

C'est vu et ça peut etre calculé mais pas mesuré, sauf exception. La longueur apparente c'est la distance angulaire, si tu connais la taille de l'objet observé d c'est D = d / tan (angle sur le champ visuel). Pour un objet statique ca correspond a sa distance réelle que tu pourrais (exceptionnellement) mesurer. En RR c'est la distance à l'emission et en cosmo c'est vraisemblablement la même chose, c'est ce que j'essaye de verifier sur un autre fil.

Plus simplement si tu regardes un point avec tes deux yeux, que tu connais la distance entre tes yeux en metres et les deux angles qui vont former un triangle isocele avec l'objet alors la trigonometrie te donnera rapidement la distance vue/angulaire en metres à laquelle l'objet se trouve (ou se trouvait lorsqu'il a emis l'image que tu en vois aujourd'hui). Si on parle d'aberration de la lumiere, ce qui est vu deformé (intersection des objets en mouvement et du cone passé) est bien la distance angulaire.

Mais j'imagine que tu sais dejà tout ça... la question se trouve donc ailleurs ?

.......

@Zef

Je suis incapable de savoir si tu as raison ou pas, même la plus belle démonstration si elle se limite à des formules ne me convaincrait pas. Seule l'association d'un diagramme espace temps (RG en l'occurence), d'un mode de projection du cone passé et d'un resultat vu saurait me faire entendre raison. Peut etre retombera t on "encore" sur ton resultat (je te dois encore les accélérés de Rindler pour lesquels tu as raison) mais impossible de statuer avec juste une formule. Du moins pas pour moi...

a+

[Zefram Cochrane]

Moi je n'ai toujours pas compris ce que c'était qu'une "longueur apparente". C'est calculé? comment? c'est mesuré? comment?

m@ch3

Bonjour,
Voici la méthode :

Je pars de Schwarzschild pour une radiale avec Ro la coordonnée de l'Observateur stationnaire à cette coordonnée. Comme l'observateur et le stationnaires sont à une distance coordonnée constante, cdt'=cdt=0 et, Ro étant constant l'intégration donne :



C'est la même méthode utilisée pour voir comment un observateur voit la vitesse de battement d'une autre horloge stationnaire sur la radiale d'un champ de gravitation par rapport à la sienne.
tu prends

tu poses dr'=dr=0s.l car les horloges sont stationnaires.
Ce qui fait que pour son horloge et pour l'horloge stationnaire située à la coordonnée R.

ce qui donne :

Il s'agit bien là d'un écoulement apparent "du temps" de l'horloge stationnaire.

es-tu ok avec la méthode?

[Zefram Cochrane]

Salut,


@Zef

Je suis incapable de savoir si tu as raison ou pas, même la plus belle démonstration si elle se limite à des formules ne me convaincrait pas. Seule l'association d'un diagramme espace temps (RG en l'occurence), d'un mode de projection du cone passé et d'un resultat vu saurait me faire entendre raison. Peut etre retombera t on "encore" sur ton resultat (je te dois encore les accélérés de Rindler pour lesquels tu as raison) mais impossible de statuer avec juste une formule. Du moins pas pour moi...

a+

Salut, il faudrait trouver la formule donnant la coordonnée R ou R' (apparente) en f° de la longeur propre de la corde tendue entre Rs et R. Ce serait plus visualisable.

[mach3]

C'est vu et ça peut etre calculé mais pas mesuré, sauf exception. La longueur apparente c'est la distance angulaire, si tu connais la taille de l'objet observé d c'est D = d / tan (angle sur le champ visuel).

si c'est la distance angulaire, pourquoi alors ne pas l'appeler simplement distance angulaire? au moins c'est clair comme appellation. C'est la distance déduite de la mesure de taille angulaire d'un objet de dimension connue (en considérant naïvement que si alpha est la taille angulaire, d la dimension et R la distance, tan(alpha/2) = 2d/R ).

Si on mesure la taille angulaire d'un objet de taille connue par ailleurs, alors on en déduit sa distance angulaire. En cela on mesure indirectement la distance angulaire (et c'est tout aussi indirect que la mesure d'une distance radar par exemple où on mesure une durée puis on en déduit une distance).

En RR c'est la distance à l'emission et en cosmo c'est vraisemblablement la même chose, c'est ce que j'essaye de verifier sur un autre fil.

Plus simplement si tu regardes un point avec tes deux yeux, que tu connais la distance entre tes yeux en metres et les deux angles qui vont former un triangle isocele avec l'objet alors la trigonometrie te donnera rapidement la distance vue/angulaire en metres à laquelle l'objet se trouve (ou se trouvait lorsqu'il a emis l'image que tu en vois aujourd'hui). Si on parle d'aberration de la lumiere, ce qui est vu deformé (intersection des objets en mouvement et du cone passé) est bien la distance angulaire.

ça fait partie des choses dont je n'ai pour l'instant qu'un feeling, une intuition, faute de temps pour les explorer formellement en profondeur pour en vérifier la validité.

Mais j'imagine que tu sais dejà tout ça... la question se trouve donc ailleurs ?

la question était sur la définition de "longueur apparente", parce que je ne trouve pas ce terme dans la littérature que je lis (sachant que je ne lis qu'une infime fraction de l'existant... si il y a des références qui emploient ce terme, ça m'intéresse), donc le sens n'est pas clair pour moi.

m@ch3

[mach3]

Bonjour,
Voici la méthode :

[...]
es-tu ok avec la méthode?

pour être ok ou pas il faudrait que j'ai le temps de vérifier, hélas. Cependant ce n'est pas ça que je demandais de toutes façons. Dans ce qui précède, il s'agit du calcul de quelque chose appelé "longueur apparente", mais non défini précisément (et c'est là mon problème), dans le cas particulier de la solution de Schwarzschild (alors que j'attendais quelque chose de général).

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonsoir.
Nous avons une perception euclidienne des distances. La distance apparente d'une corde tendue entre deux points d'une radiale d'un champ de gravitation, sera la projection euclidienne de la longueur propre de cette corde dans le système de coordonnées local de l'observateur.
La question est de savoir si le calcul que je propose correspond à ça ?

[mach3]

Nous avons une perception euclidienne des distances.

Je serais plus nuancé. Je dirais qu'à partir de nos perceptions que nous avons du réel, nous avons tendance à reconstruire le réel dans un espace euclidien. Tendance seulement. La preuve en est les multiples illusions perceptives (erreurs dans les estimations à l'oeil des tailles et des distances, e.g. lune qui parait plus grosse si basse dans le ciel).
La géométrie euclidienne, permet néanmoins de corriger ces illusions, en effectuant des mesures précises et répétables, qu'on va nommer "réelles" sous l'hypothèse que la géométrie du réel est bien celle d'Euclide (alors que ces mesures ne sont en fait qu' "apparente" et non "réelles" (et là du coup je saisis le sens) parce que la géométrie du réel n'est pas celle d'Euclide).
Je dirais plutôt, donc, que nous avons une conception euclidienne des distances, fondée sur notre expérience de la vie quotidienne dans laquelle les vitesses relatives et les champs de gravitation sont faibles et où le découplage de l'espace-temps en un espace euclidien et un temps absolu permet une très bonne approximation.

La distance apparente d'une corde tendue entre deux points d'une radiale d'un champ de gravitation, sera la projection euclidienne de la longueur propre de cette corde dans le système de coordonnées local de l'observateur.

Là, j'ai un gros doute. Il va falloir préciser ce qu'est "le système de coordonnées local de l'observateur". Quel est il? quel argument pour choisir ce système de coordonnées locales plutôt qu'un autre? Pour mémoire il y a une infinité de systèmes de coordonnées qui vont mimer les coordonnées de Lorentz au voisinage d'un point, mais faire des trucs totalement différents et sans aucun rapport dès qu'on va s'éloigner de ce point. En gros tant que votre corde est très proche de l'observateur, cela ne pose pas de problème, mais dès que c'est significativement loin... Exemple simple en espace-temps plat, pour un observateur en mrua, les coordonnées de Kottler-Moller et les coordonnées de Lass miment toutes deux les coordonnées de Lorentz au voisinage de l'observateur en mrua, et ce ne sont que deux exemples de coordonnées mimant Lorentz au voisinage de l'observateur parmi une infinité...

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Salut,
Imagine une coquille sphérique de masse M et de rayon R telle que l'on puisse faire abstraction de la RG.
si tu place une tour d'une certaine hauteur à surface de cette sphère et qu'un observateur situé au sommet de cette tour cherche à déterminer la distance qui le sépare de l'horizon. un des moyens serait de placer un ruban-mètre flexible mais non extensible/compressible à la surface de la sphère puis jusqu'à ce qu'il ne puisse plus percevoir l'éclat d'une balise de l'extrémité du ruban-mètre puis tendre un second ruban entre le sommet et la balise.
Normalement, tu verrais ce second ruban-mètre rectiligne et avec l'aide de faisceaux lumineux tu pourra dire que la longueur apparente est égale à la longueur propre, c'est-à-dire lue sur le ruban-mètre.

Maintenant imaginons qu'on remplisse la sphère d'un liquide continuellement. Il arrivera un moment où il deviendra de plus en plus difficile de négliger les effet de la RG et la distance apparente de la balise va changer.

Riadialement même chose :
on place deux observateur aux sommet et à la base de la tour et grâce à un ruban-mètre on mesure la longueur propre de la tour . Lorsqu'elle est vide, cette hauteur propre correspond à la lhauteur apparente (parce que les observateurs sont pratiquement en apesanteur mais au fur et à mesure qu'on rempli la sphère, la gravité de surface de la sphère augmente et la hauteur apparente va différer de sa hauteur propre ie, l'observateur au sommet aura l'impression que la tour rapetisse tandis que celui à la base aura l'impression que la tour s'allonge.
Cordialement,
Zefram