Choc élastique en RR

**Amanuensis** · 19/11/2015, 18h32

Oui, mais cela n'a de sens physique que si les deux masses sont immobiles l'une par rapport à l'autre et non liées.

Sinon, question de définition. Une autre possibilité pour un système de deux masses c'est

Ec = E -mc², avec m la masse du système (qui peut être strictement plus grande ou plus petite que M+M'...)

Quand les masses sont liées dans un même système, c'est ce qu'on prend!

Maintenant, quand elles sont libres, peut-être plus intéressant de prendre l'autre.

C'est une question d'usage et de sens qu'on met dans "énergie cinétique".

**phys4** · 19/11/2015, 20h58

Envoyé par Zefram Cochrane

Je pencherait plutôt pour la vitesse du centre de masse du système par rapport à mon référentiel d'observation où l'une des boule légère est fixe et l'autre massive égale à 0.8c; je voudrais avoir votre avis là-dessus

Oui c'est cela et les deux vitesses que j'ai indiquées sont les vitesses des deux masses dans ce référentiel, leur somme relativiste doit redonner 0,8 c.

**Amanuensis** · 19/11/2015, 21h15

Envoyé par Zefram Cochrane

Ensuite je trouve un $\text{[math]}$
de là je trouve une vitesse $\text{[math]}$

Envoyé par Zefram Cochrane

Il s'agit d'une vitesse coordonnée (cvoir la formule du \gamma_s)

Je pencherait plutôt pour la vitesse du centre de masse du système par rapport à mon référentiel d'observation où l'une des boule légère est fixe et l'autre massive égale à 0.8c; je voudrais avoir votre avis là-dessus

Envoyé par Amanuensis

Si le QEI du système est (E, pc) dans un "référentiel inertiel", la QV sera (E,pc)/sqr(E²-p²c²) et le gamma correspondant à la vitesse sera E/sqr(E²-p²c²)

Es est l'énergie du système dans le référentiel annulant la quantité de mouvement. Sa formule a été indiquée, et est symétrique par permutation entre M et M'.

Dans le référentiel où la masse M est immobile, on as comme QEI (Mc^2 + \gamma M'c^2, \gamma v M'), donc le gamma du référentiel annulant la qm est (Mc^2 + \gamma M'c^2)/Es, une formule qui n'est pas symétrique par permutation de M et M', et donc ne peut pas être égale à Es/(M+M')c²

**Zefram Cochrane** · 20/11/2015, 11h22

Envoyé par phys4

Sinon les vitesse relatives des repères de chaque particule c'est 0,7143 c et 0,1999 c

Je voudrais bien savoir comment tu les trouves STP?

**Zefram Cochrane** · 20/11/2015, 11h52

J'ai appliqué la formule donnée par Amanuensis.
$\text{[math]}$ cela me donne $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ cela me donne $\text{[math]}$

donc si je prends la configuartion ou je suis fixe par rapport à M' et M se dirige vers M' à V=0.8c: Après le choc, M revient vers moi à 0.2c et M' s'éloigne de moi à 0.7143c

Merci à vous deux.

**phys4** · 20/11/2015, 12h03

Dans le repère du centre de masse, le choc élastique est très simple, l'énergie cinétique se conserve et l'impulsion totale reste nulle donc chaque particule garde sa vitesse et elle reparte dans des directions opposées pout tout angle de renvoi. C'est comme en mécanique classique.

La complexité des formules commence quand l'on repasse dans le repère du laboratoire.
L'application sur un cas numérique donné est beaucoup plus simple que la formule générale.

Exemple si je prends le cas d'un choc frontal par M 5 fois plus lourd j'obtiens que les deux particules se déplacent à 0.945 c pour M' et 0.6 c pour M

**Zefram Cochrane** · 20/11/2015, 13h06

Je voudrais bien la démo pour le choc frontal, je ne trouve pas les même valeurs.

J'ai appliqué la loi de composition des vitesses $\text{[math]}$ avec tes valeurs la loi de composition des vitesses donne 0.986c.

**phys4** · 20/11/2015, 13h30

Ces valeurs correspondet à une masse M' qui tend vers zéro, donc insignifiante devant la masse M.

L'on a alors un cas très simplifié avec un centre de masse à vitesse 0,8 par rapport au laboratoire et une masse M' qui prend la vitesse 0,8 par rapport au centre de masse.
Ce qui conduit aux valeurs du dernier message .
J'avais donné les valeurs pour un rapport de masse = 5

**Amanuensis** · 20/11/2015, 13h31

Envoyé par Zefram Cochrane

donc si je prends la configuartion ou je suis fixe par rapport à M' et M se dirige vers M' à V=0.8c: Après le choc, M revient vers moi à 0.2c et M' s'éloigne de moi à 0.7143c

?? Les vitesses calculées sont celles avant le choc.

Après le choc, cela dépend de l'angle de rebond, qui est indéterminé.

(Après le choc, c'est toujours les modules des vitesses des deux masses dans le référentiel inertiel annulant la quantité de mouvement totale, mais cela n'a plus rien à voir avec le référentiel initial.)

**Zefram Cochrane** · 20/11/2015, 14h23

Dans le cas frontal ( sans angle de rebond?)

**Amanuensis** · 20/11/2015, 14h28

Si par "choc frontal" on entend la colinéarité des vitesses avant et après dans le référentiel annulant P, alors les vitesses sont simplement inversées dans ce référentiel.

Supposons qu'avant les vitesses soit 0 et v, et que la vitesse du référentiel annulant soit -w, alors dans ce référentiel les vitesses avant le choc sont w et z (à calculer), et après le choc supposé frontal -w et -z. Les vitesses dans le référentiel original sont -2w/1-w² et (à calculer). [Les deux calculs sont de simples compositions de vitesses relativistes.]

(Serait utile de faire l'exercice en classique avant de s'occuper de la RR! Qualitativement ce sera similaire...)

**Zefram Cochrane** · 20/11/2015, 14h54

Envoyé par Amanuensis

Si par "choc frontal" on entend la colinéarité des vitesses avant et après dans le référentiel annulant P, alors les vitesses sont simplement inversées dans ce référentiel.

Ce n'est pas ce que j'ai fait?

Envoyé par Zefram Cochrane

J'ai appliqué la formule donnée par Amanuensis.
$\text{[math]}$ cela me donne $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ cela me donne $\text{[math]}$

donc si je prends la configuartion ou je suis fixe par rapport à M' et M se dirige vers M' à V=0.8c: Après le choc, M revient vers moi à 0.2c et M' s'éloigne de moi à 0.7143c

**phys4** · 20/11/2015, 17h41

Non, cette dernière citation ce sont les vitesses dans le centre de gravité où l'impulsion totale est nulle, il faut encore remettre les vitesses dans le repère initial.

**Amanuensis** · 20/11/2015, 18h45

@ZC

Un exemple en classique, à comprendre avant de se lancer à autre chose!

Une boule de 1 kg immobile devant vous, une autre de 2 kg arrivant du nord à 30 km/h pour un choc frontal. Dans le référentiel du centre de masse des deux boules, celle de 1kg (et donc le référentiel d'origine) va à 20 km/h vers le nord et celle de 2 kg à 10 km/h vers le sud. Après le choc, toujours dans le référentiel du CM, les vitesses des boules sont inversées, mais pas celui du référentiel d'origine. Dans ce dernier, la boule de 1 kg va donc à 40 km/h (20 + 20) vers le sud et celle de 2 kg à 10 km/h (-10 + 20) vers le sud aussi.

Avant, -20+20 (= 0, immobile) et +10+20 (soit 30), après, 20 + 20 et -10 + 20.

(Avec un cochonnet et une boule de pétanque ce serait encore plus clair...)

**Zefram Cochrane** · 01/12/2015, 13h53

Envoyé par phys4

Cela ne correspond pas, car ton expression initiale n'est pas homogène :
Il faut une expression du type E² - P² c² pour être homogène

et il manque un c² dans le second terme
Sinon les vitesse relatives des repères de chaque particule c'est 0,7143 c et 0,1999 c

Bonjour,
j'ai finalisé je pense les calculs.

J'ai Vs = 0.3953c
ce qui donne comme vitesse pour la plus lourde -0.2c dans le ref du centre de masse soit 0.2120c dans le ref de départ et pour la plus légère 0.7143c dans le ref du centre de masse et 0.8653 dans le ref du centre de masse.

Cordialement,
Zefram

**phys4** · 02/12/2015, 12h17

Bonjour,

Je n'ai pas vraiment compris le dernier message, aussi je vais donner les formules pour le choc élastique frontal :
je pars des masses mobile M et fixe M', la masse M ayant une vitesse $\text{[math]}$ par rapport à c
cette vitesse définit le rapport $\text{[math]}$
Les vitesses finales s'écrivent pour M
$\text{[math]}$

et pour M'
$\text{[math]}$

Les vitesses sont notées positives dans le sens initial.
La vitesse du repère centre de masse s'écrit simplement :
$\text{[math]}$

Ces formules simples deviennent vraiment "imbuvables" dans le cas général.
Nous remarquons une inversion du sens de M pour M = M', le cas particulier M = M' correspond à l'échange total des vitesses et des énergies comme en mécanique classique.

Les collisions relativistes élastiques n'existent pas pour les solides ou les molécules car elles sont destructives, et s'accompagnent souvent d'autres réactions pour les particules telles que proton - proton.
Un cas particulier courant est le choc photon - électron, si nous faisons tendre tendre M vers 0 avec
$\text{[math]}$

nous retrouvons la rétrodiffusion
$\text{[math]}$
et une loi bien connue :

$\text{[math]}$
l'effet Compton peut être assimilé au choc élastique photon - électron.

Application pour M = 5 $\text{[math]}$ et M' = 1
les vitesses finales valent
$\text{[math]}$
et $\text{[math]}$

**Zefram Cochrane** · 04/12/2015, 13h28

Salut,

Je calcul d'abord l'énergie du système

$\text{[math]}$
Je calcule $\text{[math]}$

ce qui me donne la vitesse du centre de masse (normalement) car Ys = Es/Eo -> $\text{[math]}$

Je calcule $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

En faisant Ym = Em/Es j'obtiens $\text{[math]}$ qui doit être la vitesse de M dans le référentiel du centre de masse et j'applique la loi de composition des vitesses pour revenir à mon référentiel de départ et je trouve qu'après le choc, Vm = 0.2120c

Y'm = Em'/Es ce qui donne $\text{[math]}$ ce qui est pour moi la vitesse M' dans le référentiel du centre de masse ( mais dans ton explication et d'après les formules données ) cela correspond à $\text{[math]}$ ce qui me parait bizarre ??
ensuite j'applique la loi de composition des vitesse comme précédemment et je trouve Vm' = 0.8653c

Cordialement,
Zefram

**phys4** · 04/12/2015, 16h39

Envoyé par Zefram Cochrane

.....ce qui me donne la vitesse du centre de masse (normalement) car Ys = Es/Eo -> $\text{[math]}$

Je ne comprends pas ce calcul et cette vitesse ?
Je l'obtiens en écrivant l'égalité des impulsions dans le centre de masse.

Par contre la suite est presque correcte.

Envoyé par Zefram Cochrane

En faisant Ym = Em/Es j'obtiens $\text{[math]}$ qui doit être la vitesse de M dans le référentiel du centre de masse et j'applique la loi de composition des vitesses pour revenir à mon référentiel de départ et je trouve qu'après le choc, Vm = 0.2120c

Y'm = Em'/Es ce qui donne $\text{[math]}$ ce qui est pour moi la vitesse M' dans le référentiel du centre de masse ( mais dans ton explication et d'après les formules données ) cela correspond à $\text{[math]}$ ce qui me parait bizarre ??
ensuite j'applique la loi de composition des vitesse comme précédemment et je trouve Vm' = 0.8653c

La vitesse de M dans le centre de masse vaut bien 0,2 et la vitesse de M' vaut bien 0,714286 qui est aussi la vitesse du centre de masse puisque M' était immobile au départ.
Les erreurs ensuite proviennent de la mauvaise vitesse du centre de masse.

**Zefram Cochrane** · 07/12/2015, 13h31

Je vais détailler les calculs et pour être plus clair, je prend c=1

Donc dans un premier temps M' est en MRU à V et M fixe :
$\text{[math]}$
Je calcul l'impulsion
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Je fais le rapport $\text{[math]}$
ce qui me donne $\text{[math]}$

faisons M en MRU à V et M' fixe :
$\text{[math]}$
Je calcul l'impulsion
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Je fais le rapport $\text{[math]}$
ce qui me donne $\text{[math]}$

remarque : (V1 + V2)/(1+V1*V2) = 0,8v = V

C'est l'étape d'après où j'aurais des difficultés pour terminer l'exercice.

Cordialement,
Zefram

**phys4** · 07/12/2015, 14h31

Attention aux changements de données, il est bon de les remettre de temps à autre.
cette fois c'est M' la particule incidente à vitesse relative 0,8 et M = 5M' la particule fixe,

cela donne alors un centre de masse de vitesse 0,2 le calcul est donc correct

et les vitesses après le choc deviennent
pour M 0,3846 : il suffit de composer 0,2 deux fois.

pour M' c'est un recul de -0,6
la composition des deux vitesse redonne 0,8

des questions ?

**Zefram Cochrane** · 07/12/2015, 15h34

Oui pour voir si j'ai compris.

Avant le choc
Je suis fixe vis à vis de M et M' file vers M à V=0.8c après le choc
M aura une vitesse relative par rapport à moi de 0.3846c et M' de 0.6c

Si je fais l'inverse: je suis fixe par rapport à M' et M file vers M' à V=0.8c
Après le choc : La vitesse relative de M' par rapport à moi est 0.9459c et celle de M de 0.6c

Est-ce correct?

**phys4** · 07/12/2015, 16h55

OK attention aux signes :
Dans le premiers cas, les mobiles repartent en sens opposé

Dans le second cas ils vont dans le même sens.
La différence composée reste toujours de 0,8

**Zefram Cochrane** · 07/12/2015, 17h10

Oui, merci pour ces précisions et ta patience.

Je remarque également que l'une des boules a obligatoirement une vitesse de 0,6c après choc relativement à moi et dans la même direction, cers la boule la plus légère.
J'ai vérifié pour différentes valeur de M et d'autre valeur de V, il y a toujours une valeur commune.

Pourquoi?

**phys4** · 07/12/2015, 17h56

En effet,

Je me reporte au message 46, la formule donnant $\text{[math]}$ vitesse de la particule d'impact après le choc, est symétrique en M et M',

donc si l'on échange M et M' le signe change mais la valeur absolue ne change pas.

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